2极限与连续

2极限与连续 第2章 极限与连续 第2章 极限与连续 （1）数列的极限：，（正整数），当时，恒有 x,A,,,,,0，Nn,Nn x,A 或 (n,,)limx,Annn,, 几何意义：在,,xx,x,？,x之外，至多有有限个点 (A,,,A，,)n12N （2）函数的极限 x,,的极限：，，当时，恒有 x,Xf(x),A,,,,,0，X,0 或 f(x),A (x,,) limf(x),Ax,, 几何意义：在（,X,x,X)之外，f(x)的值总在(A,,,A，,)之间。 xx,的极限：，，当时，恒有 0,x,x,,f(x),A,,,,,0，,,000 (x,x)f(x),Alimf(x),A 或 0x,x0 几何意义：在xxxxx,,，(,)(,),,f(x)(A,,,A，,)邻域内，的值总在之间。 0000 （3） 左右极限 左极限：x,,,x,x，，当时，恒有 f(x),A,,,,,0，,,000 f(x),f(x,0),Alimf(x),A 或 ,00,x,x0 右极限：x,x,x，,，，当时，恒有 f(x),A,,,,,0，,,000 f(x),f(x，0),Alimf(x),A 或 ，00，x,x0 极限存在的充要条件：lim()lim()fxAfx,, ,，xxxx,,00 （4）极限的性质 唯一性：若limf(x),A，则唯一 Ax,x0 保号性：若xlimf(x),A，则在的某邻域内 0x,x0 (0)A,fx()0,(()0)fx,fx()0,(()0)fx,(0)A, ； A,0A,0,, 1 第2章 极限与连续 x有界性：若，则在的某邻域内，有界 f(x)limf(x),A0x,x0 （1）定义：以0为极限的变量称无穷小量；以,为极限的变量称无穷大量；同一极限 过程中，无穷小（除0外）的倒数为无穷大；无穷大的倒数为无穷小。 注意： 0是无穷小量；无穷大量必是无界变量，但无界变量未必是无穷大量。 例如当x,,时，是无界变量，但不是无穷大量。 xsinx （2）性质：有限个无穷小的和、积仍为无穷小；无穷小与有界量的积仍为无穷小； xxx,,，(,),,成立的充要条件是（，） f(x),A，,limf(x),Alim,,000x,x0 （3）无穷小的比较（设 ，）： lim,,0lim,,0 ,若,,，则称是比高阶的无穷小，记为；特别称为,o(),,,,,，,，o()lim0,, 的主部 ,若,，则称,是比低阶的无穷小； lim,,, ,若,，则称,与是同阶无穷小； lim,C, ,若,，则称,与是等价无穷小，记为,,~； lim1,, ,若,，（C,0,k,0）则称,为的阶无穷小； lim,Ckk, u（4）无穷大的比较： 若uv，，且，则称是比高阶的lim,,limu,,limv,,v无穷大，记为uvovv，,，()ov()u；特别称为的主部 11 ,,若同一极限过程的无穷小量,,lim,~,，，且存在，则 ,~,,, ,,,fxfx()()limlim, ,,,gxgx()() ,,sin,,,,21tan1cos~,,,,,,,2,,,arcsin,,,,1,,11~，,,,,常用等价无穷小arctan~,,,2,, 1,,,(lim0),,，ln(1)1,,,n,(1)1~，,,,,,,,e1n,,,,,,,,,1~ln,aa，,,11,,,, 2 第2章 极限与连续 注意：（1）无论极限过程，只要极限过程中方框内是相同的无穷小就可替换； （2）无穷小的替换一般只用在乘除情形，不用在加减情形； （3）等价无穷小的替换对复合函数的情形仍实用，即 若,,ff()~(),,，，则 lim()(0)ff,,,~, （设 ，） limf(x),Alimg(x),B（1） ,,limf(x),g(x), limf(x),limg(x),A,B（2） ,,limf(x),g(x), limf(x),limg(x),A,B nnn特别地，,,,,limf(x),limf(x),A,,limCf(x),Climf(x)， f(x)limf(x)A（3） lim,() B,0,g(x)limg(x)B （，lim0,,） lim0,, 准则1：（夹逼定理）若,(x),f(x),,(x)，则 lim,(x),lim,(x),A limf(x),A , 准则2：（单调有界数列必有极限） 若单调，且（），则存在（收敛） limxxxM,xM,0,,,,nnnnn,, 准则3：（主部原则） ,,,，o(),，,,oo()()11111limlim,limlim,； ,,,，o(),，,,oo()()21212 sinxsin,公式1： lim1, lim1,,x,0x, 11,,,,,x，lim(1)x，,,lim(1),,,0,,,,x,公式2： ,,ee,,,, ,11n,,,,,，lim(1)，lim(1)n,,,,,,,,,,,n ,,,lim,fflim,,公式3： lim(1)，,,elim(1)，,,e，一般地， ,0nm, ,nnn,1axaxaaxa，，，,nnnn,10公式4： limlim,,,nm,mmm,1xx,,,,bxbxbbxb，，，mmmm,10, ,,,nm, 3 第2章 极限与连续 (0,1)aa,, xxnn（1），； （2），； lima,1limn,1limx,1limx,，,，n,,n,,,，,xx,0 11xx（3），； （4）； lime,，,lim0e,limlnx,,,，,，x,0x,0x,0 ,,01q1,,limarctan,,,，,,,q1x,02,xn（5）,； （6） limq,,1,,n,11q,,limarctan,,,,x,0,2,x,不存在q,,1, （设U(x)f(x)在有定义）0 （1）若x,x，则称f(x)在处连续 lim,y,00,x,0 （2）若x,x，则称f(x)在处连续 limf(x),f(x)00x,x0 连续的三条件：f(x)A,f(x)limf(x),A,limf(x)由定义；； 00,，x,xx,x00 （3）若x,xlimf(x),f(x)limf(x),f(x)，则称f(x)在处左连续；若，则000,，x,xx,x00称x,ax,xf(x)f(x)(a,b)在处右连续；若在内连续，在处右连续， 在处左连x,b0 续，则称,,a,bf(x)在 上连续。 xxf(x)f(x)（1）若在处不连续，则称点为的间断点。 00 （2）左右极限都存在的间断点称为第一类间断点（跳跃间断和可去间断）；左右极限至 少有一个不存在的间断点称为第二类间断点（无穷间断和振荡间断）。 fx()（1）若g(x),0xf(x)g(x)f(x),g(x)fxgx()()，均在处连续，则；；（），00gx()在x处也连续。 0 （2）若lim()()fgxfa,lim()gxa,，，则，且 lim()()fufa,,,xx,xx,ua,00 ，，lim()lim()fgxfgx,（交换符号次序）； ,,,,xxxx,,00，， 4 第2章 极限与连续 （变量代换） lim()lim()fgxfu,,,xxua,,0 特别地，若，，则 lim()()fgxfgx,lim()()gxgxa,,lim()()fufa,,,,,00xx,xx,ua,00 ,1（3）若函数y,f(x)在某区间上单值、单调、连续，则其反函数在相应区 y,f(x) 间上也单值、单调、连续。 有界与最值定理：若,,,,在a,b 上连续，则在a,b上有界，且必有最大值f(x)f(x)（fM,fm,）与最小值（）。 maxmin 介值定理：若,,c在a,b上连续，则对介于两端点之间的任意实数，至少有一点f(x) ，使得，或，至少有一点，使得 f(,),cf(,),c,,ab,,,cmM,,,ab,,,,,,, 零点定理：若,,a,bf(x)在上连续，且f(a)f(b),0，则至少存在一点,,(a,b)， 使得f(,),0。 注意：基本初等函数在其定义区间内连续；一切初等函数在其定义区间内连续。 利用恒等变形和不等式的缩放化简n,，求出与的关系或利fnA(),,,用已知关系，确定的取值。 N 求证下列各题 （2）已知，，证明 ； limxa,limxa,limxa,2n21n，nn,,n,,n,, 由于，N22nN,，，，当时，有； limxa,xa,,,,,,0112n2nn,, 由于，N2121nN，,，，，，当时，有； limxa,xa,,,,,,02221n，21n，n,, 取，则当时，有，即 limxa,NNN,，max2,21xa,,,nN,,,n12nn,, （3）已知xay,,，且，证明 。 lim()0yx,,limlimxya,,nnnnnnn,,nn,,,, 由于，，，当时，有 lim()0yx,,yx,,,,,,0，NnN,nnnnn,, 又xay,,，则 nn 5 第2章 极限与连续 0,,,,axyx limxa,xayx,,,,,,,nnnnnnnn,, 或,,,,,yax，则 nn 0,,,,yayx limya,yayx,,,,,,,nnnnnnnn,, 利用已知展开式、分子分母同乘共轭因子、变量代换、恒等变形等求解 求下列极限 nnxa,（1）lim(3)nnnn，,,lim； （2）(0)a,22xan,,,xa, ,x2（3）limsin(1)n，,； （4）； lim(1)tanx,n,,x,12 xarctanxxxe,xx（5）lim； （6） (x,0)limcoscos？cosxnx,,n,,e，x242 nnnnnnn,,,,,12211xaxaxaxaxanan,,，，，，()()n,2（1）limlim,,,a 2222xaxa,,xaxaa,,22 44n（2）原式,,,limlim2 nn,,,,31nnnn，，,3 11 ，，, nn 2n2，，，，（3）原式 ,，,，,,，,limsin1)nnn,,lim(1)sin(1)nn,nn,,,,，，，， ,n,,,lim(1)sin0 n2,,nn，，1 yx,,1,x,,,yy2（4） lim(1)tanx,limtan()limcot()yy，,,,, x,1yy,,002222, xxexxxex,,arctan1(/)arctan（5） limlim1,,； xx,，,,，,xxexxe，，1/ xxxexxexx,,arctan/arctan,arctane,xx limlimlim,,，故不存在 xxxx,,,,,,,,xxe，xexex，，/12 xxxxn2sincoscoscosnnsinsinxx2242（6） 原式 limlim,,,,,,,nnxxxnn2sin2sinnn22 6 第2章 极限与连续 fx()（1）利用极限，确定是x的n阶无穷小； fx()lim0,,An,0xx （2）熟记等价无穷小的公式。一般乘除情形才能替换，加减情形：若拆项分别极限存 在（分母不为零）可替换，若拆项分别极限不存在可考虑用无穷小的主部原则或泰勒展开式 求解。 求解下列各题 6x（1）当x时，是的多少阶无穷小； x,021cos,x 6266xxxx(1cos)2，2 x是的二阶无穷小 (0)x,,,4x222211cos,x1cos,x()x2 n，2（3）当(1)x,n时，与是同阶无穷小，求的值 x,1321lnxxx,,, 2(31)(1)ln(11)xxx，,,，,321lnxxx,,, limlim,nn，，,,xx11(1)(1)xx,, 3234ln(1)uuuu，,，3令,,lim2limn,，原式 ux,,1,nn，，uu,,00uu2 求下列极限(a,0,a,1) mn11，,,,,xxlim（2） x,0x mmnn11，,,,,xx11,,,x11，,,,,x（2） lim,,,，limlim xxx,0,,00xxxmn xx()axa，,（4）lim 2x0,x xxxln(1)，ax111x，，，，xa（4）原式lim(1)1lim(1)e,，,,,,，,limln(1)x 22,,2xx,,00,,0x,xax，，xaa，， 2ln(cos1)xx,（5）lim； x,0tanln(1)xx， 1122ln(1sin)ln(1),，,xx22sin,,xx22（5） 原式limlimlim1,,，,, 222xxx,,,00022xxx xxn （6）lim(cossin)，k ,,nnn 7 第2章 极限与连续 nxxlim(cos1sin),，nkxx，，kxn,,nn（6）原式,，,，,,keelim1(cos1sin),,n,,nn，， xxxxxnnnnkx lim(cossin)lim(cos)(1tan)，,，kk,，,lim(1tan)ke,,,,,,nnnnnnnn ,,,lim(),lim(1)，,,e 求下列极限 11xx（1） lim()e，,,xx 11111xtttxt（1）令，，,tlim()lim()lim1(1)eetet，,，,，,，， ，，,,,,xtt00xx t111e,1tx2xlim(1)lim(1)2et,，,，, lim()ee，,,tt,,00,,xttx 1xlim()11x,,11xxx2xxelim()lim(1)eeeee，,，,, 1,,,,xxxxxe xxx，lnxln（2）lim() x,，,xx,ln xxxxx，ln2lnxxlnln（2）lim()lim(1),， xx,，,,，,xxxx,,lnln xxx，ln2ln22xxxx2xlnlim(),e limlimlim2,,,,,x,，,xxx,，,,，,,，,xx,lnxxxxxx,,lnlnln 1xxxabc，，x（3）lim() 0x,3 11xxxxxxabcabc，，，，,3xx（3）lim()lim(1),， ,,xx0033 xxxxxx1111abc,,,，，,31abc因为 lim(),，，(limlimlim) ,,,000,0xxxxx33xxx 13,，，,(lnlnln)lnabcabc 3 1xxx3abc，，lnabc3x所以 lim(),eabc, 0x,3 1nnn（4） lim(123)，，n,, 8 第2章 极限与连续 1121，，nn1，lim()()n,,21，，nnnnn,,n33，，nelim(123)3lim1()()33，，,，，,,（4）1 ,,nn,,,,33，， xxx2ln23ln33ln3，11xxlimlimlimln(123)，，xxxnn1233，，xx,，,,，,x,，,nx2 lim(123)3，，,,,,eee ,,n 1111nnnnnnnn3 3,(1，2，3),3,3，且，故 lim(1，2，3),3lim333,,n,,n,, 求下列极限 （1），，； lim()()xpxqx，，,，，x,，, 2()()()xpxqxpqxpq，，,，，（1）原式,,,limlimxx,，,,，,xx，2()()xpxqx，，， 2()()()xpxqxpqxpqpq，，,，，，原式,,,limlim xx,，,,，,2()()xpxqxpq，，，xx(1)(1)，，，xx 2411xxx，,，，（2）； lim2x,,,xx，sin 2241142xxxxxxx，,，，，,，（2）原式 ,,,,limlimlim122xxx,,,,,,,,,,xxxx，sin 1111141(41),，,，，,，,,,xxx22xxxxx原式limlim1,,, xx,,,,,,sinsinxx11,，,，xx22xx （3） lim(x，x，x,x)x,，, xxx，1（3） lim()limlimxxxx，，,,,,xxx,，,,，,,，,2xx，xxxx，，， xxe,2（4） limxxx,,e，2 xxxxxxxxee,2e,,22e,2（4）；； limlim1,,limlim1,,lim1,xxxxxxxxxx,，,,，,xx,,,,，,x,,ee，2e，22e，2 求下列极限 9 第2章 极限与连续 222arctansin1cosxxx，,，sinsin(1/)xxx，limlim（1）； （2） 3x00xx,,sin(sin)2xx，ex,，1sin2 1223当时，，；，，；xsinsinx2xx,0sinsin~xx1cos,xarctan~xxx x均是的高阶无穷小，求极限时可略去 2arctan()2arctan2xoxxx，（1）原式,,,,limlimlim2 xxx,,,000sin(sin)()sin(sin)xoxxx， sin()sinxoxxx，（2）原式 ,,,limlimlimxxx,,,000xxxexexex,，,，,，1sin21sin21sin2 111 ,,,limx,0xex,1sin2123，，xx 利用已知不等式和函数的缩放，或考虑fx()的最值建立不等式。证明下列极限 f(x)2（1） 设总有，求证：； lim,0f(x),x,xx,0x 222因为,x,f(x),x，即 f(x),x f(x)f(x)当时，， ,x,,xlim(,x),limx,0lim,0x,0,，，，x,0x,0x,0xx f(x)f(x)当时，， x,,,xlimx,0lim,0lim(),,xx,0,,,,x,0x,0x,0xx f(x)由夹逼定理知 lim,0 x,0x 1nnnn（2）设a,0ik,1,2,,，，求 lim()aaa，，ik12,,n 设，则 aa,max,,i1,,ik nnnnnnnaaakaak，，，,, 12m nnnnn limlim(1)0aaaaak，，，,,,,,k12nn,,,, nnnn由夹逼定理知 limmaxaaaaa，，，,,ik,1,2,,，,,ki12nik1,,,, 22xxnnn（5）， xlim1()，，,x,2n,,22 由于，则 x,2 10 第2章 极限与连续 222nxxxxnnnnn,nnn xxx,，，,，，,1()(1)2()n2222 2222xxxxnnnnn ， xlim2(),lim1()，，,x,2,n,,n,,2222 22xxnnn 1()()，，x， ()n,,22 222xxxnnnnn xlim1()lim()，，,,nn,,,,222 n （1）用数列求和公式或分项的方法求项和的表达式； n （2）适当放大缩小用夹逼定理求解； *（3）用定积分的定义求解； *（4）用数项级数求和的方法求极限。 求下列极限 111（2）x,，，，limlim() n222nn,,,,nnnn，，，12 nnn1 由于x,,,，且 n,222knnnkn11，，，, nnlim,1lim,1， lim1x,,n22n,,n,,n,,，，1nnn 1111（3）x,，，，，limlim(1)(1)(1)(1) 2nn222,,,,nn2222 11111(1)(1)(1)(1)(1),，，，，2n222122222 limlimlim2(1)2,,,,xn1，n2nnn,,,,,,12(1),2 111（5）limx,lim(1，，，？，)； nn,,n,,，，，，，？，1212312n 1222 由于,,,，则 1，2，？，nn(n，1)nn，1 1111112，，xlimlim12()lim(2)2,，,，,，，,,，, n,,nnn,,,,,,nnn233411，，，， 11 第2章 极限与连续 nnn2limlimxa,aaaa,,,,（6）（，，） n,1,2,a,2nk,,kn12nnn,,,,kk1,1, 111n，，，lim()nn242n,,242 limlimlim222xa,,,,,,,22 nk,nnn,,,,,,k1, n，，11111(1/2)11,其中， lim()lim()1，，，,,,,,nnn,,,,242211/2211/2,,，， （1）利用参变量的不同取值范围分别求极限； （2）利用参变量的递推关系求出系数的部分和求解。 nxxx(1sin)sin，，,,求fx()lim,n，，为正整数。 x,,1,1,,nn,,(1sin)1，，x, nn(1)101,,，1101,，f(1)lim,,,,f(1)lim,,；； f(0)0,nn,,,,nn112，112， n当时，，，故 fxx()sin,,lim(1sin)0，,,x,,,10x01sin1,，,,x,,n sin,xx，n1si(，n),xn当fxx()lm,,i时，，，故 lim(1sin)，,，,,x01,,x1sin1，,,xn,,,,n1n1，，1si(n)x, ,,,1/21x, ,sin10xx,,,,n,xxx(1sin)sin，，,,,综上所述 ， fx()lim,,00x,,n,,n(1sin)1，，x,,xx01,,, 1/21x,,, xn求fxxa()lim()arctan(),,，（） a,1,,na xn当时，limarctan()不存在； xa,,,,na xn当,,,axa时，limarctan()0,； ,,na xn当xa,fxxa()lim()arctan()0,,,时，； ,,na x,n当xa,limarctan(),时， ,,na2 12 第2章 极限与连续 不存在xa,,, x,n()lim()arctan()0综上所述， fxxaaxa,,,,,,,n,,a,,()/2xaxa,,, 2设fxqfqxx()(),,在的邻域有界，且，，求 fx()01,,qfx()x,0 2 由fxqfqxx()(),,x，用替换，两边乘递推得 qxq 2232223362qfqxqfqxqx()(),,qfqxqfqxqx()(),,；； nnnnn,,,113(1)2,qfqxqfqxqx()(),, 将上述各式相加得 3n1,qnnn363(1)22,fxqfqxqqqxx()()(1),,，，，，, 31,q 32n，，1,qx2nn fxxqfqx()lim(),，,,,33,,n11,,qq，， fx()（1）利用已知极限确定常数：一般地，设lim,A， gx() 若gx()0,fx()0,fx()0,gx()0,，则；若，且，则 A,0 （2）利用已知极限存在求极限：设limxA,，对已知关系式再取极限，通过解极限n 方程求出；或利用已知极限同阶无穷小的关系，间接求解； A （3）利用已知极限求函数的解析式：由已知极限同阶无穷大/小的关系确定函数的多项式结构，带回极限式求出常数。 由下列已知条件求ab,的值 2（2）lim(31)2xaxbx,，，,； x,，, 22(3)(1)xaxbx,，，2（2） lim(31)lim2xaxbx,，，,,2xx,，,,，,31xaxbx，，， 90,,a,a,9,,比较分子分母的系数得 ,,b,,,2b,,12,,3，a, b12 lim(31)lim(3)2xaxbxxa,，，,,，，, 2xx,，,,，,xx 13 第2章 极限与连续 b1lim(3)30aa,，，,,, a,9,,2x,，,xx ,,,,bxbxb1原式,,,,limlim2 b,,12,22xx,，,,，,639139xxbxxx，，，， 2 lim(31)lim(3)lim(3)2xaxbxxaxax,，，,,,,, xxx,，,,，,,，, 30,,a a,9,, ,,,,bxbxb1原式,,,,limlim2 b,,12,22xx,，,,，,639139xxbxxx，，，， an（3）lim2007,； bbn,,nn,,(1) （3） aababab,,,，1nnnnlimlimlimlim2007,,,, bbbnnnn,,,,,,,,nnnbnb,,,,,,(1)1(11/)(1/) 12006 b,ab,,,,1ab,，,10,,,20072007 x(2)2x,（4）lim1, 2x1,axbx(1)(1),，, （4） (1)ln2lnxxx,，xxx,1，，21e,(2)22(21)xx,,，，limlimlim,, 222xxx,,,111axbxaxbxaxbx(1)(1)(1)(1)(1)(1),，,,，,,，, (1)ln2ln(1)ln2lnxxxxxx,，,，,,2lim2lim 2xx,,11axbxaxbox(1)(1)(1)(1),，,,，, ，，2(1)ln2ln2(1)xxxxx,，, ,,，limln2lim,,xx,,11axax(1)(1),,，， 2a,，2(ln21),，,(ln21)1 ，任意 b,a xx,1xxxxxx,,，1ln(2)(1)ln2ln其中，2xee,,lnln(11)~1xxx,，,,(1)x,； 求解下列各题 un（1）若数列uuu,，u,0limlim,x收敛，且，，求； x,,nnnn,,12nnnn,,,,un，1 14 第2章 极限与连续 uu11nn设，则,,,, xlimxA,nnn,,，，，uuuuux1/1nnnnnn，,,,1111 ,，15,,151两边取极限得A,A, ，（舍去） A,,221，A 2（2）已知 存在，且，求的值； f(x),x，x,2limf(x)limf(x)limf(x)x,1x,1x,2 2 设 f(x),x，x,2A，则，两边取极限得 limf(x),Ax,1 22 A,lim()lim(2)fxxxA,，,A,2,2A,,xx,,113 4414222则，故 fxxxAxx()2,，,,，,lim()lim()fxxx,，,,xx,,22333 ln(1()/sin)，fxxf(x)（3）设，求 lim,Alim2x,0xx,0xa,1 f(x)x 由于极限存在，且，可知 ，则 limln(1，),0lim(1)0a,,,0x,0xxsin fx()f(x)f(x)f(x)f(x) 原式 ln(1，)~~,,limAlim,Alna,,22x,0x,0sinxsinxxxxaln 3fxx()2,fx()设lim1,fx()为多项式，且，，求fx() lim3,2x,,x,0xx 3fxx()2,32 由lim1,fxxxbxc()2,,，，得知分子为二次多项式，故设 2x,,x fx()又因lim3,，得，即 lim()0fx,x,0x,0x 32 lim()lim(2)0fxxxbxcc,，，，,,xx,,00 32fxxxbx()2，，2则 limlimlim(2)3,,，，,,xxbb xxx,,,000xx 32故 fxxxx()23,，， f(x)f(x)设f(x)(a,0)fx()是三次多项式，且lim,lim,1，求及x,2ax,4ax2axa,,4f(x)lim x,3ax,3a f(x)f(x) 因为fafa(2)(4)0,,lim,lim,1，所以，故，x,2ax,4ax,2ax,4ax2axa,,4 f(x)f(x),A(x,2a)(x,4a)(x,B)均为的因式，令, 则 15 第2章 极限与连续 fxAxaxaxB()(2)(4)(),,,limlim2(2),,,,AaaBxaxa,,22xaxa,,22 fxAxaxaxB()(2)(4)(),,, limlim2(4),,,AaaBxaxa,,44xaxa,,44 ,2Aa(2a,B),1,1 ， A,B,3a,,22a2Aa(4a,B),1, 1 fxxaxaxa()(2)(4)(3),,,,22a 1,,,(x2a)(x4a)(x3a)2f(x)12a lim,,,limx,3a3x,ax3a,,x3a2 （1）证明极限存在：利用数学归纳法或比较相邻项大小确定数列的单调性，由通项式 的递推关系和缩放确定其有界性； （2）令，代入取极限的通项关系式，化为代数方程求解； limx,Ann,, （3）若数列不具单调的，则极限的存在性可用定义求证。为从证法获得提示，可先求 极限值，后证存在性。 设x,a,x,a，a，？，a(0)a,，证明x,a，a,？,limx1n2nn,, 存在，并求其值 x,xaxax，,，，设，，则 x,a，x,xkk,1kk,1211 x,x a，x,a，xx,,,,,k，1kkk,1n 2由于xaaaaaa,，,，，,，,，21(1)1，设，则 x,a，12k 2，，a，2a，1,a，1,a，1 x,a，x,a，a，1,k，1k 即,,x，故有界，极限存在。设，则 xa,，1limx,Annnn,, 2A,a，Alima，x A,A,a,0limx,,,n,1nn,,n,, 11解得A,(1,1，4a)，负根舍去，所以 lim(114)xAa,,，， n,,n22 11已知x,，22x,2x,，，，，，证明存在，并求其值。 limx12n，1nn,,xx1n 1 若极限存在limlim(2)x,，，，则，即 limxA,n，1nnn,,,,n,,xn 16 第2章 极限与连续 1 ，（舍去） A,，12A,,12A,，2,A 11存在性：由于，x,，,，则 22A,，,，,1222,,,0n，1xAn Ax,1111n,1 xA,,，,，,,,(2)(2)nxAxAxAnnn,,,111 xAxAxAxA,,,,nnn,,,1231,,,,, 231n,4444 2(12)12,，,21,n（当足够大时） ,,,,,nnn,,,111444 由极限定义知 lim12xA,,，nn,, （1）若已知函数在某点连续，则该点极限符号与函数符号可以交换次序，函数的极限 值等于函数值； （2）若已知分段函数在分段点连续求常数，则根据函数连续三条件求解； （3）讨论分段函数的连续性实际上就是讨论函数在其分段点的左右极限； 设2fxfx()(),fx()在(0,)，,上连续， ，，且f(3)5,，求fx() ,,x0 111n2242由于，则 fxfxfxfxfx()()()()(),,,,, 11nn，，22 fxfxfxf()lim()lim()(1),,,,,nn,,,,，，取ff(3)(1)5,,fx()5,x,，,(0,)，得，故， x,3 讨论f(x)在处的连续性 x,0 ,2x,(cos)0xx,,（1）fx(), ,ax,0,, ,,2221,,,lim(cos1)limxxxx1,,22,2xx,,002xx lim(cos)lim(1cos1)xxeee,，,,,,xx,,00 1,2故当f(x)时，在处连续. x,0fae(0),, 1,,sin0xx,,（2）fx(), x,x,，,0ex,, f(0)1,，,； 17 第2章 极限与连续 0,0,,1x,； lim()1e，,，,,limxsin,,,，,0xx,0不存在,0x,, 当，时，在处连续； ,,,1f(x),,0x,0 当，时，是的第一类（跳跃）间断点； ,,,1f(x),,0x,0 当时，是的第二类（振荡）间断点。 f(x),,0x,0 2n,1x，ax，b设f(x),lim为连续函数，求 a,b2nn,,x，1 由参变量的不同取值范围求极限即的表达式，再根据连续三条件求解 f(x) 1,(1)lim1,,,,f,,ax，bx,1,,,,x1x,,1(1)lim(),,，,,，faxbabx,1,，,,,,x1，x,, ,f(x),1(1)lim(),，,，,faxbab,,,x1(1，a，b)x,1,,,21,1,，(1)lim1,,f,,(,1,a，b)x,,1x1,,x，2, 1,,1,,a，b,(,1,a，b)fff(1)(1)(1),,,,,,,,，2 ,,,1fff(1)(1)(1),,,,，,1,a，b,(1，a，b)2, a,1,b,0 , （1）将方程移项为fx()0,fx()fx()，即为辅助函数；验证在上满足零点定ab,,,理或介质定理的条件； （2）形如f()0,,fx()或的命题，作辅助函数或；验证Ff,,,()0,Fxfx,(),,,,fx()或在上满足零点定理或介质定理的条件； Fxfx,()ab,,,,, （3）反证法：若方程不成立（无零点），则区间上函数不变号，由区间端点函数值符号 相异得出矛盾结论。 证明方程xx,a，b（，），至少有一个正根，且。 x,asinx，ba,0b,000 令,,0,a，bF(x),x,asinx,bF(x)，显然在上连续，又 18 第2章 极限与连续 ；,, ,a1,sin(a，b),0F(0),,b,0F(a，b),a，b,asin(a，b),b ,若，取即为方程正根； 1,sin(a，b),0xab,，,02 若,,，有，则F(0)F(a，b),,ab1,asin(a，b),0，1sin()0,，,abF(a，b),0 由零点定理有至少存在一点x,(0,a，b)F(x),0，使得 00 2n，12n 证明奇次方程ax，ax，a,0(a,0)ax，？，必有实根。 02n2n，101 2n，12n 设f(x),ax，ax，？，ax，a，则在连续，且 f(x)(,,,，,)2n2n，101 ，,,，,()x,21n， fxax(),,0,,,,,()x, 故当充分大时，存在，使得fM()0,,，fM()0,，由零点定理必有 xM,0 f()0,,，,,,,,,，,(,)(,)MM 设nf(x)在上连续，且对任何自然数，f(x)在上严格单调，0,，,nn,1，，,,, 2,若limsin,,，(,1)nnf()0,,nfnfn()(1)0，,，求证存在唯一的，使得，并求 nnn,,,n 由题设条件知，,,，(,1)nnf(x)满足零点定理条件，至少存在一点 ，使得n f()0,,,f(x)(,1)nn，，又在 上严格单调，故是内的唯一零点，则 nn,1，,,nn nn2,nlimsinlim22nnn,,，,1,,1,,,, ,,nnn,,,,,，1,,nnnn 设,,a,bf(x),,(a,b)在上连续，且，证明：至少存在一点， a,c,d,b 使得pf(c)，qf(d),(p，q)f(,)，其中，为任意正常数。 p,q 1 ,,a,bf(x)mfxM,,()在上连续，必有 ，则 pmpfcpM,,()qmqfdqM,,()， pfcqfd()()，mM,,()()()()pqmpfcqfdpqM，,，,， ,pq， pf(c)，qf(d)由介质定理，至少存在一点,f(,),,(,)ab，使得 p，q 19 第2章 极限与连续 2 令，显然在,,上连续，且 a,bF(x),(p，q)f(x),pf(c),qf(d)Fx() ,, F(c),(p，q)f(c),pf(c),qf(d),qf(c),f(d) ,,F(d),(p，q)f(d),pf(c),qf(d),pf(d),f(c) 当时，取或，命题成立； f(c),f(d),,c,,d 2当,,F(c)F(d),,pqf(c),f(d),0时，，由零点定理有 f(c),f(d) ， F(,),0pf(c)，qf(d),(p，q)f(,),,(c,d),(a,b), 设,,在上连续，且ff(x),x，证明：存在一点，使得 f(x),f(,),,R 1 设,,,,，显然在x,f(x)或f(x),x上连续，又 F(x),f(x),xF(x) ,,,,Ff(x),ff(x),f(x),x,f(x) 当f(x),x,0时，取,,x，命题成立； 2当,,,,F(x)Ff(x),,f(x),x,0fxx()0,,时，，由零点定理知，至少存在一点 ,,(x,f(x)),,(f(x),x)F(,),0f(),,,或，使得，即 2 反证法，设fxx(),fxx(),(,),,，,，则由函数的连续性知在内不变号，不妨设fxx()0,,，则 ffxfx()()0,,ffxfxx()(),,,,,,, 这与,,ff(x),x矛盾，故存在一点,,,,，,(,)，使得f(,),, 设,,,,0,10,1f(x)f(0),f(1),在上连续，且。证明：在上至少存在一点， 1使得f(,),f(,，) n 1n,1，， 设F(x)F(x),f(x),f(x，)，则在上连续 0,,,nn，， 1F(0),f(0),f()； n 112F(),f(),f()； nnn ； 20 第2章 极限与连续 n,1n,1 F(),f(),f(1)nn 12n,1 F(0)，F()，F()，？，F(),f(0),f(1),0nnn 11n,故或全为0或至少有两个值异号，由介质定理知： FFF(0),(),,()nn 11n,n,1，，当全为0时，，有 ,,,FFF(0),(),,()0,,,nnn，， 1 F()0,,f(,),f(,，),n 11n,i，1i当不全为0时，至少有两个异号，设，异FFF(0),(),,()F()F()nnnn号，则 ii，11n,1，，F(,),0 ， f(,),f(,，),,,(,)0,,,,nnnn，， 21