【小学奥数题库系统】1

【小学奥数题库系统】1 【小学奥数题库系统】1-3-6 公式运用.教师版公式法计算 一、常用公式 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. n × (n + 1) ; 1+ 2 + 3 +? + n = 2 n × (n + 1) × (2n + 1) ; 12 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. n × (n + 1) ; 1+ 2 + 3 +? + n = 2 n × (n + 1) × (2n + 1) ; 12 + 22 + 32 + ? + n 2 = 6 n 2 × (n + 1)2 2 13 + 23 + 33 + ? + n3 = (1 + 2 + 3 + ? + n ) = ; 4 1 + 3 + 5 + 7 + ? + ( 2n ? 1) =1 + 2 + 3 + ? + ( n ? 1) + n + ( n ? 1) + ? + 3 + 2 + 1 = n 2 ; n ?1 Sn a1q 0 + a1q1 + ? ? ? + a1q= 等比数列求和公式:= a1 (q n ? 1) ( q ? 1 ); q ?1 平方差公式: a 2 ? b 2 = ( a + b )( a ? b ) ; 完全平方公式: ( a + b ) =a 2 + 2ab + b 2 ， ( a ? b ) =a 2 ? 2ab + b 2 ; 用文字述为: 两数和(或差)的平方， 等于这两个数的平方和， 加上(或者减去)这两个数的积的 2 倍， 两条公式也可以合写在一起: ( a ? b ) =a 2 ? 2ab + b 2 (为便于记忆，可形象的叙述为:“首平方，尾 平方， 2 倍乘积在中央”( 二、常用技巧 1. 2. 3. abcabc = abc × 1001 ; ababab = ab × 10101 ; ? ? ? ? ? ? 1 2 3 = 0.142857 ， = 0.285714 ， = 0.4 28571 ， 7 7 7 ? ? ? ? ? ? 5 6 4 = 0.571428 ， = 0.714285 ， = 0.85714 2 ; 7 7 7 111 ?1 × 111 ?1 = 123? n? 321 ，其中 n ? 9 ( ??? ??? n个1 n个1 一、前 n 项和 【例 1】 12 + 32 + 52 + ? + 192 【考点】公式法之求和公式 【难度】2 星 【解析】 12 + 32 + 52 + ? + 192 = (12 + 22 + 32 + ? + 192 ) ? (22 + 42 + ? + 182 ) 1 = × 19 × 20 × 39 ? 4 × ( 12 + 22 + ? + 92) 6 1 = = 2470 ? × 9 × 10 × 19 2470 ? 285 = 2185 6 【答案】 2185 1-3-6.公式运用.题库 教师版 【题型】计算 page 1 of 10 【巩固】 12 + 22 + 42 + 52 + 7 2 + 82 + 102 + 112 + 132 + 142 + 162 【考点】公式法之求和 公式 【难度】3 星 【解析】 原式 = (12 + 22 + ? + 162 ) ? (32 + 62 + 92 + 122 + 152 ) 【题型】计算 = (12 + 22 + ? + 162 ) ? 32 × (12 + 22 + 32 + 42 + 52 ) = = 1496 ? 495 = 1001 【答案】 1001 【例 2】 计算: 36 + 49 + 64 + 81 + ? + 400 【考点】公式法之求和公式 【难 度】3 星 2 2 2 2 【解析】 原式 = 6 + 7 + 8 + ? + 20 1 1 × 20 × 21 × 41 ? × 5 × 6 × 11 6 6 = 2870 ? 55 = 2815 【答案】 2815 = 16 × 17 × 33 5 × 6 × 11 ? 9× 6 6 【题型】计算 =12 + 22 + 32 + ? + 202 ? (12 + 22 + 32 + 42 + 52 ) 【例 3】 计算: 13 + 33 + 53 + 73 + 93 + 113 + 133 + 153 【考点】公式法之求和公式 【难 度】3 星 【解析】 原式 =1 + 2 + 3 + 4 + ? + 14 + 15 ? 2 + 4 + ? + 14 3 3 3 3 3 3 3 3 【题型】计算 152 × (15 + 1) 4 ? 8 × (13 + 23 + ? + 73 ) 57600 ? 2 × 7 2 × 82 = 8128 4 【答案】 8128 【巩固】 计算: 13 + 33 + 53 + ? + 993 = ? ? 1 ?7 ? 1 × ?1 ? ? ? ? 7 ? ? 3? ? ? = ?1 ? ? 1 ? ? × 3 = 1 264 原式 = ? ? ? ? ? 1 729 ? ?3? ? ? 2 ? 1? 3 1-3-6.公式运用.题库 教师版 【题型】计算 page 3 of 10 法二:错位相减法( 1 1 1 1 1 1 设 S =+ + + + + + 1 3 32 33 34 35 36 1 1 1 1 1 1 364 ( 则 3S = 3 + 1 + + 2 + 3 + 4 + 5 ， 3S ? S = 3 ? 6 ，整理可得 S = 1 3 3 3 3 3 3 729 法三:本题与例 3 相比，式子中各项都是成等比数列，但是例 3 中的分子为 3，与公比 4 差 1， 所 以可以 采用“借来还去”的，本题如果也要采用“借来还去”的方法，需要将每一项 的分子变得 也都与公比差 1(由于公比为 3，要把分子变为 2，可以先将每一项都乘以 2 进行算，最 后 再将所得的结果除以 2 即得到原式的值( 2 2 2 2 2 2 1 由题设， 2S = 2 + + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 ，则运用“借来还去”的方法可得到 2 S + 6 = 3， 3 3 3 3 3 3 3 364 整理得到 S = 1 ( 729 364 【答案】 1 729 【例 9】 计算 27 + 26 × 3 + 25 × 32 + 24 × 33 + 23 × 34 + 22 × 35 + 2 × 36 + 37 的值。 (已知 37 = 2187 ， 38 = 6561 ， 9 10 7 8 9 10 3 = 19683 ， 3 = 59049 ， 2 = 128 ， 2 = 256 ， 2 = 512 ， 2 = 1024 ) 【考点】公式法之求和公式 【难度】3 星 【题 型】计算 【解析】 注意到式子的特点是从第一个加数开始，每一个加数比前一个加数 2 的 指数减少 1 ， 3 的指数增加 1. 3 3 所以每一个加数是前一个加数的 倍，如果将题中加数 按原来的顺序排列起来就是一个公比为 的 2 2 等比数列，于是按照错位减法进行运算即 可。 记 S = 27 + 26 × 3 + 25 × 32 + 24 × 33 + 23 × 34 + 22 × 35 + 2 × 36 + 37 , 3 38 S = 26 × 3 + 25 × 32 + 24 × 33 + 23 × 34 + 22 × 35 + 2 × 36 + 37 + 2 2 3 S 38 S?S = = ? 27 ，那么 S = 38 ? 28 = 6561 ? 256 = 6305 ，即原式的值为 6305 . 2 2 2 【答案】 6305 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 【例 10】 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 + 19 = ( 2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024 【考点】公式法之求和公式 【难度】3 星 【题型】填空 【关键词】浙江省， 小学数学活动课夏令营 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 【解析】 原式 =1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 + 19 + + + + + + + + + + 2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024 10 1 ? ?1? ? × ?1 ? ? ? ? 2 ? ? ? 1 ?10 ? ? ?2? ? ? 1 1023 = × (1 + 19 ) × 10 + = 100 + ?1 ? ? ? ? = 100 1 2 1024 ? ? ?2? ? ? 1? 2 1023 【答案】 100 1024 3 3 3 3 3 3 + + + + + = 4 16 64 256 1024 4096 【考点】公式法之求 和公式 【难度】3 星 3 3 3 3 3 3 1 1 【解析】 原式 = + 2 + 3 + 4 + 5 + ( 6 + 6 ) ? 6 4 4 4 4 4 4 4 4 3 3 3 3 3 1 1 = + 2 + 3 + 4 +( 5 + 5)? 6 = ?? 4 4 4 4 4 4 4 3 1 1 4095 =( + )? 6 = 4 4 4 4096 【解析】 计算: ( 【题型】填空 1-3-6.公式运用.题库 page 4 of 10 【答案】 4095 4096 3 3 3 3 + 2 + 4 + ? + 16 = 【考点】公式法之平方差公式与完全平方公式 【难度】3 星 【关 键词】2007 年，第 5 届，走美杯，6 年级，决赛 【解析】 题目分析:答案为 100000。 记原式为 X，则 10X=314×314+628×686+686×686 =3142+2×314×686+6862 =(314+686)2=1000000，所以，X=100000。 【答案】 100000 【题型】填空 【例 13】 有一串数 1 ， 4 ， 9 ， 16 ， 25 ， 36 ……它们是按一定规律排列的，那 么其中第 1990 个数与第 1991 个数相差多少, 【考点】公式法之平方差公式与完全平方 公式 【难度】2 星 【题型】填空 【解析】 这串数中第 1990 个数是 19902 ，而第 1991 个数是 19912 ，它们相差 19912 ? 19902 = (1991 + 1990) × (1991 ? 1990) = 1991 + 1990 = 3981 【答案】 3981 【巩固】 a、b 代表任意数字，若 (a + b) × (a ? b) = a × a ? b × b ，这 个公式在数学上称为平方差公式(根据公 式，你来巧算下列各题吧( ? 98 × 102 ? 67 × 73 ? 64 × 28 ? 2 × 29 × 3 × 31 【考点】公式法之平方差公式与完全平方公式 【难度】2 星 【题型】计算 【解析】 这个公式可以给我们的计算带来很多便利,在以后的奥数学习中 会经常遇到,同学们最好记住哦.我们 就依据公式 (a + b) × (a ? b) = a × a ? b × b 来进行下面 的计算: ? 98 × 102= (100 ? 2) × (100 + 2)= 100 × 100 ? 2 × 2= 10000 ? 4= 9996 ? 67 × 73 = (70 ? 3) × (70 + 3) = 70 × 70 ? 3 × 3 = 4900 ? 9 = 4891 ? 64 × 28 = 2 × 32 × 28 = 2 × (30 + 2) × (30 ? 2) = 2 × (30 × 30 ? 2 × 2) = 1792 ? 2 × 29 × 3 × 31 = 2 × 3 × (30 ? 1) × (30 + 1) = 6 × (900 ? 1) = 5400 ? 6 = 5394 【答案】? 9996 ? 4891 ? 1792 ? 5394 【例 14】 计算: 11 × 19 + 12 × 18 + 13 × 17 + 14 × 16 = ( 【考点】公式法之平方差公 式与完全平方公式 【难度】3 星 【关键词】2008 年，迎春杯，中年级组，决赛 【解析】 本题可以直接计算出各项乘积再求和，也可以采用平方差公式( 原式 = 152 ? 42 + 152 ? 32 + 152 ? 22 + 152 ? 12 【题型】填空 = 152 × 4 ? (12 + 22 + 32 + 42 ) = 900 ? 30 = 870 其中 12 + 22 + 32 + 42 可以直接计算，但如果项数较多，应采用公式 1 2 12 + 22 + ? + n = n ( n + 1)( 2n + 1) 进行计算( 6 【答案】 870 1-3-6.公式运用.题库 page 6 of 10 【例 15】 ? ? 2007 ? ( 8.5 × 8.5 ? 1.5 × 1.5 ) ? 10 ? ? ? 160 ? 0.3 = 【考点】公式法之平方差公式与完全平方公式 【难度】2 星 【题型】填空 【关键词】 2008 年，迎春杯，初赛 【解析】 原式 = ? = ? ? 2007 ? ( 8.5 + 1.5 )( 8.5 ? 1.5 ) ? 10 ? ? ? 160 ? 0.3 ? 2007 ? 10 × ( 8.5 ? 1.5 ) ? 10 ? ? ? 160 ? 0.3 【答案】 12.2 = ( 2007 ? 7 ) ? 160 ? 0.3 12.5 ? 0.3 = 12.2 三、公式综合运用 【例 16】 计算: 1 × 4 + 3 × 7 + 5 × 10 + ? + 99 × 151 = ( 【考点】公式法之综合运用 【难 度】3 星 【题型】填空 【关键词】2008 年，仁华学校 【解析】 观察可知式子中每一项 乘积的被乘数与乘数依次成等差数列，被乘数依次为 1，3，5，……，99， 乘数依次为 4， 7，10，……，151，根据等差数列的相关知识，被乘数可以表示为 2n ? 1 ，乘数可以 表示 为 3n + 1 ，所以通项公式为 ( 2n ? 1) × ( 3n + 1)= 6n 2 ? n ? 1 (所以， 原式 = 6 × 12 ? 1 ? 1 + 6 × 22 ? 2 ? 1 + ? + 6 × 502 ? 50 ? 1 =6 × (12 + 22 + ? + 502 ) ? (1 + 2 + ? + 50 ) ? 50 1 = 50 × 51 × 101 ? × 50 × 51 ? 50 = 256225 2 另解:如果不进行通项归纳，由于式子中每一 项的被乘数与乘数的差是不相等，可以先将这个差变 为相等再进行计算( 1 原式 = × ( 3 × 8 + 9 × 14 + 15 × 20 + ? + 297 × 302 ) 6 1 = ×? 3 × ( 3 + 5 ) + 9 × ( 9 + 5 ) + 15 × (15 + 5 ) + ? + 297 × ( 297 + 5 ) ? ? 6 ? 1 = × ( 32 + 3 × 5 + 92 + 9 × 5 + 152 + 15 × 5 + ? + 297 2 + 297 × 5 ) 6 1 = ×? ( 32 + 92 + 152 + ? + 2972 ) + 5 × ( 3 + 9 + 15 + ? + 297 )? ? 6 ? 1 = ×? 9 × (12 + 32 + 52 + ? + 992 ) + 5 × 3 × (1 + 3 + 5 + ? + 99 ) ? ? 6 ? 3 5 = × (12 + 32 + 52 + ? + 992 ) + × (1 + 3 + 5 + ? + 99 ) 2 2 2 2 2 2 而 1 + 3 + 5 + ? + 99 和 1 + 3 + 5 + ? + 99 都是我们非常熟悉的( 12 + 32 + 52 + ? + 992 = (12 + 22 + 32 + ? + 1002 ) ? ( 22 + 42 + 62 + ? + 1002 ) 1 1 × 100 × 101 × 201 ? 4 × × 50 × 51 × 101 6 6 1 = × 100 × 101 × ( 201 ? 102 ) 6 1 = × 99 × 100 × 101 = 166650 ， 6 1 + 3 + 5 + ? + 99 = 502= 2500 ， 3 5 所以原式 = × 166650 + × 2500 = 256225 2 2 1 小 结 : 从 上 面 的 计 算 过 程 中 可 以 看 出 ， 12 + 32 + 52 + ? + 992 = × 99 × 100 × 101 ， 而 6 1 1 × 2 + 2 × 3 + ? + 99 × 100 = × 99 × 100 × 101 ， 3 1-3-6.公式运用.题库 教师版 page 7 of 10 1 × 2 + 2 × 3 + ? + 99 × 100 所以有 12 + 32 + 52 + ? + 992 × 2 = 【答案】 256225 1 1 ? ?1 1 1 ? 1 ? 【例 17】 计算: 24 × ? ( + +?+ +?+ 2 = ??? 2 + 2 2 2 2 ? 20 × 21 ? ? 1 1 + 2 1 + 2 + ? + 10 ? ? 2×3 4×5 【考点】公式法之综合运用 【难度】4 星 【题型】填空 ? ? 1 1 1 6 24 12 × ? = ? 【解析】 = = ?， 2 2 2 1 + 2 +? + n n ( n + 1)( 2n + 1) 2n ( 2n + 1)( 2n + 2 ) ? 2n ( 2n + 1) ( 2n + 1)( 2n + 2 ) ? ? ? 1 1 1 + 2 +? + 2 2 2 2 1 1 +2 1 + 2 + ? + 102 ?? 1 1 ? ? 1 1 ? 1 ?? ? 1 = 12 × ?? ? ? ? ?+? ? +? + ? ? ， × × × × × × 2 3 3 4 4 5 5 6 20 21 21 22 ? ? ? ? ? ? ?? ? 所以原式 1 1 ? 1 1 1 1 1 ? ? 1 ? 1 = 24 × ? + +? + ? + ? +? + ? ? ? 12 × ? ? 20 × 21 ? 20 × 21 21 × 22 ? ? 2×3 4×5 ? 2 × 3 3× 4 4 × 5 5× 6 1 1 1 1 1 ? ? 1 = 12 × ? + + + +? + + ? 20 × 21 21 × 22 ? ? 2 × 3 3× 4 4 × 5 5× 6 1 1 ? ?1 1 1 1 = 12 × ? ? + ? + ? + ? ? 21 22 ? ?2 3 3 4 6 5 ?1 1 ? =5 =12 × ? ? ?= 6 ? 11 11 2 22 ? ? 5 【答案】 5 11 【例 18】 计算: 12 ? 22 + 32 ? 42 + ? + 20052 ? 20062 + 2007 2 【考点】公式法之综合 运用 【难度】3 星 【题型】计算 【关键词】北京二中，入学测试 【解析】 原式 = 2007 2 ? 20062 + ? + 52 ? 42 + 32 ? 22 + 12 = (2007 ? 2006) × (2007 + 2006) + (2005 ? 2004) × (2005 + 2004) + ? + (3 ? 2) × (3 + 2) + 1 = 2007 + 2006 + 2005 + 2004 + ? + 3 + 2 + 1 1 = × ( 2007 + 1) × 2007 = 2015028 2 【答案】 2015028 【巩固】 计算 12 ? 22 + 32 ? 42 + 52 ? 62 + ... + 17 2 ? 182 + 192 【考点】公式法之综合运用 【难度】3 星 【题型】计算 2 2 2 2 2 2 2 【解析】 这个题目重新整理得: 1 + (3 ? 2 ) + (5 ? 4 ) + (7 ? 6 )... + (192 ? 182 ) = 1 + (3 + 2)(3 ? 2) + (5 + 4)(5 ? 4) + ... + (19 + 18)(19 ? 18) =1 + 3 + 2 + 5 + 4 + ... + 19 + 18 =1 + 2 + 3 + 4 + ... + 17 + 18 + 19 = 20 × 9 + 10 = 190 【答案】 190 【巩固】 计算: 20 × 20 ? 19 × 19 + 18 × 18 ? 17 × 17 + ? + 2 × 2 ? 1 × 1 ( 【考点】公式法之综合运用 【难度】3 星 【题型】计算 【解析】 做这道题的时候， 可能有些以前记住了 20 以内平方数的同学就高兴了， 但是其实并不需 要， 大家看， 利 用 平 方 差 公 式 : 20 × 20 ? 19 × 19 = (20 + 19)(20 ? 19) = 20 + 19 ， 18 × 18 ? 17 × 17 = 18 + 17 ， ? ， 2 × 2 ? 1×1 = 2 + 1 ( 1-3-6.公式运用.题库 教师版 page 8 of 10 于是，原式 = 20 + 19 + 18 + 17 + ? + 2 + 1 = (20 + 1 ) × 20 ? 2= 210 【答案】 210 【例 19】 1 × 3 + 2 × 4 + 3 × 5 + ? 9 × 11 【考点】公式法之综合运用 【难度】3 星 【解析】 原 式 = ( 2 ? 1)( 2 + 1) + ( 3 ? 1)( 3 + 1) + ? + (10 ? 1)(10 + 1) 【题型】计算 = = = 【答案】 375 ( 2 ? 1) + ( 3 ? 1) + ? + (10 ? 1) ( 2 + 3 + ? + 10 ) ? 9 (1 + 2 + 3 + ? + 10 ) ? 10 10 × 11 × 21 = ? 10 375 6 【例 20】 计算: 11 × 29 + 12 × 28 + ? + 19 × 21 = 【考点】公式法之综合运用 【难度】 3 星 【解析】 原式 = 20 ? 9 ( 【题型】填空 ) + ( 20 ? 8 ) + ? + ( 20 × 9 ? (1 + 2 + ? + 9 ) 2 2 2 2 2 2 1 = 3600 ? × 9 × 10 × 19 = 3315 6 【答案】 3315 【巩固】 计算: 1 × 99 + 2 × 98 + 3 × 97 + ? + 49 × 51 = ( 【考点】公式法之综合运用 【难 度】3 星 【题型】填空 【解析】 观察发现式子中每相乘的两个数的和都是相等的，可以 采用平方差公式( 原式 = ( 50 ? 49 ) × ( 50 + 49 ) + ( 50 ? 48 ) × ( 50 + 48 ) + ? + ( 50 ? 1) × ( 50 + 1) = ( 502 ? 492 ) + ( 502 ? 482 ) + ? + ( 502 ? 12 ) = 502 × 49 ? (12 + 22 + ? + 492 ) = 502 × 49 ? (12 + 22 + ? + 492 ) 1 = 502 × 49 ? × 49 × 50 × 99 6 = 502 × 49 ? 49 × 25 × 33 = 49 × 25 × (100 ? 33) = 49 × 25 × 67 = 82075 【答案】 82075 _________ 【巩固】 50 × 50 + 49 × 51 + 48 × 52 + 47 × 53 + 46 × 54 = 【考点】公式法之 综合运用 【难度】3 星 【题型】填空 【关键词】2010 年，学而思杯，4 年级 【解析】 原 式 = 502 + ( 50 ? 1) × ( 50 + 1) + ( 50 ? 2 ) × ( 50 + 2 ) + ( 50 ? 3) × ( 50 + 3) + ( 50 ? 4 ) × ( 50 + 4 ) = 502 + 502 ? 12 + 502 ? 12 + 502 ? 22 + 502 ? 32 + 502 ? 42 = 5 × 2500 ? (1 + 4 + 9 + 16 )= 12500 ? 30 = 12470 【答案】 12470 1-3-6.公式运用.题库 教师版 page 9 of 10 【例 21】 计算: 1 × 99 + 2 × 97 + 3 × 95 + ? + 50 × 1 【考点】公式法之综合运用 【难度】 3 星 【题型】计算 【解析】 原式 = (99 + 97 + ? + 3 + 1) + (97 + ? + 3 + 1) + ? + (3 + 1) + 1 1 = 502 + 492 + ? + 22 + 12 = × 50 × 51 × 101 = 42925 6 【答案】 42925 【巩固】 计算: 1 × 49 + 2 × 47 + 3 × 45 + ? + 25 × 1 = ( 【考点】公式法之综合运用 【难度】3 星 【题型】 填空 【解析】 原式= ( 49 + 47 + ? + 1) + ( 47 + 45 + ? + 1) + ? + ( 3 + 1) + 1 = 252 + 242 + ? + 22 + 12 1 = × 25 × 26 × 51 = 5525 6 【答案】 5525 【例 22】 计算: 1 × 2 × 3 + 2 × 3 × 4 + 3 × 4 × 5 + ? + 8 × 9 × 10 【考点】公式法之综合运用 【难度】3 星 【解析】 原式 =2 × 2 ? 1 + 3 × 3 ? 1 + 4 × 4 ? 1 + ? + 9 × 9 ? 1 2 2 2 2 【题型】计算 = 23 + 33 + 43 + ? + 93 ? ( 2 + 3 + 4 + ? + 9 ) = (1 + 2 + 3 + ? + 9 ) ? 1 ? ( 2 + 3 + 4 + ? + 9 ) = 452 ? 45 = 1980 【答案】 1980 (22 + 42 + 62 + ? ? ? + 1002 ) ? (12 + 32 + 52 + ? ? ? + 992 ) 1 + 2 + 3 + ? ? ? + 9 + 10 + 9 + 8 + ? ? ? + 3 + 2 + 1 【考点】公式法之综合运用 【难度】3 星 【题型】计算 2 2 2 2 2 2 2 2 (2 ? 1 ) + (4 ? 3 ) + (6 ? 5 ) + ? ? ? + (100 ? 99 ) 【解析】 原式 = 102 (2 + 1) × (2 ? 1) + (4 + 3) × (4 ? 3) + (6 + 5) × (6 ? 5) + ? ? ? + (100 + 99) × (100 ? 99) = 100 1 + 2 + 3 + 4 + ? ? ? + 99 + 100 5050 1 = = = 50 100 100 2 1 【答案】 50 2 【例 23】 计算: 1-3-6.公式运用.题库 page 10 of 10