等比数列求和试题

§3.3 等比数列及其求和 一、典型例： 1.(1) 若成等比数列，则的值为__________ .      (2) 在2与6之间插入n个数，使它们组成等比数列，则这个数列的公比为________ .    2. 如果一个数列既是等差数列，又是等比数列，则此数列（  B    ） （A）为常数数列      （B）为非零的常数数列      （C）存在且唯一      （D）不存在 3. 设等比数列的前n项和为，前n项的倒数之和为，则的值为（   A ）. （A）            （B）            （C）                    （D） 4. 在等比数列中，（ C    ）.     A．    B．    C．或    D．－或－ 5. 等比数列的首项，前n项和为Sn，若,_________ .  6. 已知数列是公比的等比数列，给出下列六个数列：（1）； (2) ； (3) ；(4) ；(5) ；(6) . 其中仍是等比数列的个数为（ B  ） （A）4              （B）5                  （C）6                （D）3 7. 若六个数成等比数列，则=        .    8. 设是公比为q的等比数列，Sn是它的前n项和，若｛Sn｝是等差数列，则q= _____.  1 9. 在正项数列中，，则___________ . 10. 已知数列的通项公式为，求数列的前n项和为 . 11. 已知定义在R上的函数和数列满足：， 且 （1）令，证明数列是等比数列；    （2）求数列的通项公式 . 解（1）     由此推知：…2分 当 …4分     是一个首项为2公比为2的等比数列………………………6分     （2）由（1）知：………7分     当时，…9分     而     ……11分 对n=1时也成立，………………12分 12. 设数列的首项a1=1，前n项和Sn满足关系式：，其中为 已知常数. （1）求证：数列{an}是等比数列； （2）设的公比为，作数列，使，，求的通项bn ； （3）求和：b1b2－b2b3+b3b4－b4b5…+b2n－1b2n－b2nb2n+1. 12. 解：（1）由a1=S1=1，S2=1+a2，得a2=  又3tSn－（2t+3）Sn－1=3t    ① 3tSn－1－（2t+3）Sn－2=3t      ②      ①－②得3tan－（2t+3）an－1=0  ∴， 所以{an}是一个首项为1，公比为的等比数列. （2）由f（t）=，得bn=f+bn－1.    ∴bn=1+（n－1）= （3）由bn=，可知{b2n－1}和{b2n}是首项分别为1和，公差均为的等差数列于是 b1b2－b2b3+b3b4－b4b5+…+b2n－1b2n－b2nb2n+1 =b2（b1－b3）+b4（b3－b5）+b6（b5－b7）+…+b2n（b2n－1+b2n+1） =－（b2+b4+…+b2n）=－=－（2n2+3n） 二、练习题： 1. 已知正项数列为等比数列，且，则_______ .  5 2. 等差数列的公差，且成等比数列，则=      .  3. 设等比数列的前n项和为Sn，若S3＋S6＝2S9，则数列的公比_________. 3.解：若q=1，则有S3=3a1，S6=6a1，S9=9a1.    因a1≠0，得S3+S6≠2S9，显然q=1与题设矛盾，故q≠1. 由S3+S6=2S9，得，整理得q3（2q6－q3－1）=0，由q≠0，得 2q6－q3－1=0，从而（2q3＋1）（q3－1）=0，因q3≠1，故q3=－，所以q=－. 4. 等比数列的前项的乘积记为，若，则_______ .      5. 设An为数列的前n项和，An=（an－1），且. （Ⅰ）求数列｛an｝的通项公式； （Ⅱ）若d∈｛a1，a2，a3，…，an，…｝∩｛b1，b2，b3，…，bn，…｝，则称d为数列｛an｝与｛bn｝的公共项，将数列｛an｝｛bn｝的公共项，按它们在原数列中的先后顺序排成一个新的数列｛dn｝，求证：数列的通项公式为： . 5.解：（Ⅰ）由已知An=（an－1）（n∈N），当n=1时，a1=（a1－1）， 解得a1=3， 当n≥2时，an=An－An－1=（an－an－1），由此解得an=3an－1，即=3（n≥2）.  故an=3n（n∈N*）； （Ⅱ）证明：由计算可知a1，a2不是数列｛bn｝中的项， 因为a3=27=4×6＋3，所以d1=27是数列｛bn｝中的第6项 设ak=3k是数列｛bn｝中的第n项，则3k=4m+3（k，m∈N）， 因为ak+1=3k+1=3·3k=3（4m+3）=4（3m+2）+1， 所以ak+1不是数列｛bn｝中的项. 而ak+2=3k+2=9·3k=9（4m+3）=4（9m+6）+3，  所以ak+2是数列｛bn｝中的项 由以上讨论可知d1=a3，d2=a5，d3=a7，…，dn=a2n+1  所以数列｛dn｝的通项公式是dn=a2n+1=32n+1（n∈N*） 练习题答案： 1.  5        2.         3.         4.         5.