数学期望值

数学期望值 1. 事件的數學期望值（簡稱期望值）：設某事件成功之機率為，若該事p m件成功即可得到元，則元稱為此事件的數學期望值。 mp 2. 試驗的數學期望值（簡稱期望值）：設一試驗的樣本空間為Ｓ，{A,A,？,A}A為樣本空間Ｓ的一個分割，且設事件發生的機率為12nk npmpAm，k,1,2,3？,n。若事件發生，可得元，則稱為此試,kkkkkk,1驗數學期望值，簡稱期望值。 3. 期望值有平均價值的概念。 重要例題： 例1. 統一發票共八碼，每期開出一個特獎號碼，五個頭獎號碼。與特 獎號碼完全相同可得2000000元，與頭獎任一號碼相同，可得 200000元，與頭獎末7碼相同可得40000元(貳獎)，與頭獎末6碼 同可得10000元(參獎)，與頭獎末5碼同可得4000元(肆獎)，與頭 獎末4碼同可得1000元，與頭獎末三碼同可得200元。則一張統 1 一發票的平均價值為多少？(期望值) 例2. 投擲一粒公正的骰子一次，若出現點則可得元，求其期望值。 kk例3. 投擲二粒公正的骰子，(1)若出現點數和為，則可得元，則其kk rr期望值為 ；(2)若出現點數差為，則可得元，則其期望 值為 。 2 類1. 投擲十粒公正的骰子，若出現點數和為，則可得元，則其期望kk 值為 。 類2. 袋中有大小相同的紙牌10張，分別寫3張100元，2張50元，5 張10元，任取一張，則獎金的期望值為多少？ 3 nn類3. 設袋中有1號球1個，2號球2個．．．號球個，自袋中任取 一球，若取得號球可得元，則其期望值為 。 kk 2n，1ANS: 1.35，2.45，3. 。 3 例4. 投擲四顆骰子有如下的獎金，則期望值為 。 出現 四骰同點 恰三骰同點 兩兩同點 獎金 200元 100元 50元 類1. 設袋中有10元、5元硬幣各3枚，自袋中任取2枚，則期望值 為 。 k2類2. 同時擲10個公正的硬幣，若有個硬幣出現正面，可得元，則k (1)恰得32元之機率為 ；(2)期望值為 。 4 類3. 一人擲三個公正的硬幣一次，若出現個正面，則可得元k3k,1 ()，若不出現正面則輸15元，求其期望值。 k,1,2,3 633710ANS: 1. 15，2. (1),(2)，3. 。 ()25624 例5. 一袋子中有12個球，其中有4個白球，(1)從中一次取出3球， (2)每次取一球，取後放回，連取三次，(3)每次取一球，取後不放回， 連取三次，求白球個數的期望值。 321A,B,C,,類1. 三人同解數學題，解出之機率分別為，今三人合432 5 解48題，則解對題數的期望值為 。 類2. 一箱子內有9個燈泡，其中有4個是壞的，從中取出3個，求壞 燈泡個數的期望值。 類3. 一袋中有3紅4白球，每次從中取出一球，取後不放回，取到紅 球取完為止，求所取次數的期望值。 類4. 從1,2,3,4,5中取出三相異數相加，求所得和的期望值？ 4ANS: 1. 46，2. ，3. 6，4. 9。 3 6 例6. 將5個球任意分配到三個不同的箱子中，求空箱的期望值。 類1. 將3個球投入3個不同的袋子中，每次投一球，連續投3次，則(1)每個袋子都有球的機率為？(2)3個球都在同一個袋子的機率為？(3)空袋子個數的期望值為？ 類2. 依據經驗，某人完成一件工作，可能是1天、2天、3天、4天，在1天完成的機會是0.2，2天完成的機會是0.4，3天完成的機會是0.3，4天完成的機會是0.1，求完成此工作天數的期望值。 218ANS: 1.(1),(2),(3)。 999 例7. 某次考試中，(1)單一選擇題每題有五個選項，答對得五分，若希 7 望五個選項用猜的得分的數學期望值為0，則答錯應倒扣幾分？(2) 複選題，每題五個選項，至少有一個選項是正確的，完全答對給六 分，若希望隨機猜題的得分期望值為0，則答錯應到倒扣幾分？ Ans:(1) 1.25,(2)0.2。 類1. 一遊戲機，投10元玩一次，若中獎則得100元，若希望讓玩家每 玩10次，商家則得50元，則商家在機器的設定上應讓玩家贏的機 率為 。 類2. 擲三個均勻的硬幣，若規定出現3正面可得12元，2正面可得8 元，一正面可得4元，為了公平起見，出現三反面應賠 。 8 3Ans: 1. ，2.48。 22 例8. 甲乙二人桌球比賽，規定先勝3場者為贏，敗者應付給贏者100 元，已知兩人獲勝機率均等，於甲勝2場、乙勝1場時，因故終止 比賽，則乙應付給甲 元才合理。 類1. 1654年在法國有甲乙兩人棋藝相等，約定比賽，先勝三場者可得 賭金64披索(金幣名)，開始比賽甲先勝一次後，有要事停止比賽， 9 對賭金難於分配，於是請教當時有名的數學家巴斯卡。這些賭金應 如何分配？ 1類2. 設一年間一家失火的機率為，鄰家失火而被波及的機率為1000 1，且各家同時失火的機率為0。若投保期間一年100萬元的火險5 時，住在相鄰二家中之一家的人應至少繳多少錢才合理。 類3. 某保險公司銷售一年期的人壽保險給一位59歲的先生，保額 100000，保費520元，根據統計，59歲男人活到60歲的機率為 0.997，求保險公司的期望利潤？ 類4. 設擲某銅板出現正面的機率為，0,p,1。連續擲此銅板4次，p 1若第次出現正面則得，否則得0，1、2、3、4。設總所得kk,k2 1aa的期望值為，總所得超過的機率為，則 (A) 為之一次多pb3 152p,b,p，p項式 (B) ,a,1 (C) 為之二次多項式 (D) pb16 2(E) a,b。 10 3000000Ans: 1. 甲44,乙20，2. ，3. 220，4. ADE。 2497 例9. 某人擲兩粒骰子，若擲出之點數和為7點時，可得100元，並得 繼續投擲的權利，否則就停止，求此人所得的期望值。 1類1. 某人射箭，每回射中紅心的機率為，(1)若欲使命中紅心的機率3 達，至少需幾發？(2)若規定射中一次紅心可得 1000元，且可90% 繼續發射直到沒有射中為止，求獲利的期望值？ 類2. 一袋中有6個黑球、3白球，今自袋中取出一球，若取出的球為白 11 球，則停止取球，若取出黑球，則將球放回袋中，再從袋中取出一 球，如此進行，直到取得白球為止。求取球次數的期望值。 Ans: 1.(1)6,(2)500，2. 3。 12 13 預備題目： 類2. 設擲某銅板出現正面的機率為，0,p,1。連續擲此銅板4次，p 1若第次出現正面則得，否則得0，1、2、3、4。設總所得kk,k2 1aa的期望值為，總所得超過的機率為，則 (A) 為之一次多pb3 152p,b,p，p項式 (B) ,a,1 (C) 為之二次多項式 (D) pb16 2(E) a,b。 0,p,1類2. 設擲某銅板出現正面的機率為，。連續擲此銅板4次，p 1若第次出現正面則得，否則得0，1、2、3、4。設總所得kk,k2 14 1aa的期望值為，總所得超過的機率為，則 (A) 為之一次多pb3 152p,b,p，p項式 (B) (C) 為之二次多項式 (D) ,a,1pb16 2(E) 。 a,b ,？,nn,？,類2. 設一袋中裝有1個1號球，2個2號球個號球 25個 25號球，。現自袋中任取一球，設每一個球被取到的機1,n,25 n會都相等，而取得號球可得元，則取到19號球的機率(100,n) 為 ，而任取一球的期望值為 元。(80.社) 例10. 甲乙二人輪流投擲二粒公正骰子，約定先擲得點數和為7者可得 110元，若由甲先擲，則甲乙兩人的期望值各為多少？ 類1. 甲乙丙三人輪流投擲二粒公正骰子，約定先擲得點數和為6者可得 15 110元，若由甲先擲，則甲乙丙三人的期望值各為多少？ 類2. 甲出資60元，乙出資40元，甲先乙後輪流擲一骰子，先擲出6 點的可獲此100元，何者較有利？ Ans: 1. 16