用对换证明一个行列式

用对换证明一个行列式 第十二誊 第四期 江南大学学报 JOURNALOFJIANGNANUNIVERSITY Voll2NO.4 1997 c【6厂]用对换证明一个行列式 孙锡林 r ———一 (=)/, 【摘要】按定义,n阶行列式D的展开式的每一项中,其行标的排列.列标为某一任 意排列.现利用对换的性质证明了,D的展开式的每一项.也可以袁成列标为标准排列.行标 的某一任意排列. 【关键词】 .兰堡苎,妻堡盐三 塞堡n阶行列式可定义为 d1id12 d2Ld22 n1 d2n j芪. ?(一1)ta%l”…d 其中,为排列glq2…的逆序数,记为=r(gLg2…).g1q2…q为l,2,…,的一个级 排列. 堕由阶行列式的定义… D=?(一1)1p2…dm 其中,=r(plp2…P),z为户lP2…P的逆序数. 把排列P1户2…P对换,1次,使得排列PP2…P所调成标准排列l,2,…..在把 PL户2…P调成标准排列的同时,把行标旧标准列1,2,…,调换成排列qlg2…. 因=r(pap2…P),若t为偶数.则户P2…P为偶排列.根据对换定理,偶排列调换 成标准排列的对换次数为偶数.因此,这时,必为偶数.行标的标准排列l,2.….,对换, 次,调换成排列glg2…,由于1为偶数,因此q1g2…必为偶排列.若,为奇数.则排列 P户…P为标准排列.对换t次使P2…P为标准排列,?4t必为奇数;同时使得行标准排 列l,2,…,对换成q1g2…口,则q1g2…q必为奇排列.因此与,1有相同的奇偶性.故有 (,1)=(,1) 另外,个数的乘积dtPlgt2…”中,把纵标排列ptpz…P对换,1次,调成标准排列1. 2,…,仅不过是把个数dl1,d2.…,,前后次序调换1次,而得到乘积d.1dq, 2… 口,由于数的乘法满足交换律,因此有:alp’a2p:’…’口&.12’…’. . 96.. 所以:(,1alpJ ‘2’’?=(一1)IdJ l’d 2 2,…’ 取整数s,使得r(口l口2…):rl+,则s必为偶数.因为当tI为奇数时,q【,q2,…,为 奇排列.故tl+s为奇数.因此必为偶数;当fl为偶数时,qg2…为偶排列,则f1十为偶 数,这时必为偶数.所以.不管t为奇数或偶数,必偶数.所以有 (一1)’I2…=(一1)I=(一1)I 于是得到’ (一1)Ip【’a~.p2…’’咖=(一1)耵 l 亦即(一1)I旷d1l,d2…d=(一日l I,n2,…,n(*) 又arp’(12p’…’口是阶行列式D的不同行不同列的个元素的乘积,而【’dv: ‘…’口一是由d’a2p’…’.交换r1次位置而得到的?因此n. 1’口2’…’”也是 D的不同行不列的个元素的乘积.而PIP2…P是1,2,…,的某一级排列,qlq:…q,也 是1,2,…,H的某一级排列.?(一1)lp,”2…,”,其中”?”是对l,,…所有不 同排列求和,共有!项相加.另一方匝.?(一,)’ 口”?…?口,其 2 1中”?”也是 对1,2,…,的所有不同排列求和.共有!项相加.再据(*)可得: D=?(一1)l.?口zp?…?n=?(一1)-n.?”???口 参考文献 1同济大学教研室编工程数学(线性代数’.第二版.4 2同济大学数学教研室编工程数学(线性代数’.第二版,8 proofoftheDeterminantofbyExchange SunSilin Abstract Accordingtothedefinition:theabscis~ofeachtermoftheexpan~onofthedeterminantD isastandardpermutation;anditsordinateisal1arbitrarypermutionAndnowtheauthorusesthe natureofexchangeloprovethattheordinateofeachtermoftheexpansion]ofthedeterminantD Canbeexpressed;isstandardpernutation,anditsabscissacanbeexpressedascertainarbitrary permutation Keywords:exchange;contraryordernumber;evenpermutation;oldpermutation