向量的大小

向量的大小 向量的大小，也就向量的大小，也就是向量的长度(或称模)。向量a的模记作|a|。 注: 1(向量的模是非负实数，是可以比较大小的。向量a=(x,y)， 。 2(因为方向不能比较大小，所以向量也就不能比较大小。对于向量来说“大于”和“小于”的概念是没有意义的。例如，“向量AB>向量CD”是没有意义的。 单位向量 长度为一个单位(即模为1)的向量，叫做单位向量(与向量a同向，且长度为单位1的向量，叫 单位向量 做a方向上的单位向量，记作a0，a0=a/|a|。 负向量 如果向量AB与向量CD的模相等且方向相反，那么我们把向量AB叫做向量CD的负向量,也称为相反向量。 零向量 长度为0的向量叫做零向量，记作0(零向量的始点和终点重合，所以零向量没有确定的方向，或说零向量的方向是任意的。 相等向量 长度相等且方向相同的向量叫做相等向量(向量a与b相等，记作a=b( 规定:所有的零向量都相等。 当用有向线段表示向量时，起点可以任意选取。任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关(同向且等长的有向线段都表示同一向量。 自由向量 始点不固定的向量，它可以任意的平行移动，而且移动后的向量仍然代表原来的向量。 在自由向量的意义下，相等的向量都看作是同一个向量。 数学中只研究自由向量。 滑动向量 沿着直线作用的向量称为滑动向量。 固定向量 作用于一点的向量称为固定向量(亦称胶着向量)。 位置向量 对于坐标平面内的任意一点P，我们把向量OP叫做点P的位置向量，记作:向量P。 方向向量 直线l上的向量a以及与向量a共线的向量叫做直线l上的方向向量 设a=( ， )，b=( ， )。 加法 向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。 向量的加法 OB+OA=OC。 a+b=( ， )。 a+0=0+a=a。 向量加法的运算律: 交换律:a+b=b+a; 结合律:(a+b)+c=a+(b+c)。 减法 如果a、b是互为相反的向量，那么a=-b，b=-a，a+b=0. 0的反向量为0 OA-OB=BA.即“共同起点，指向被 向量的减法 减” a=(x,y)b=(x',y') 则a-b=(x-x',y-y'). 如图:c=a-b 以b的结束为起点，a的结束为终点。 交换律:a+(-b)=a-b 数乘 实数λ和向量a的叉乘乘积是一个向量，记作λa，且?λa?=?λ?*?a?。 当λ>0时，λa的方向与a的方向相同; 当λ<0时，λa的方向与a的方向相反; 当λ=0时，λa=0，方向任意。 当a=0时，对于任意实数λ，都有λa=0。 注:按定义知，如果λa=0，那么λ=0或a=0。 实数λ叫做向量a的系数，乘数向量λa的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩。 当?λ?>1时，表示向量a的有向线段在原方向(λ>0)或反方向(λ<0)上伸长为原来的?λ?倍 当?λ?<1时，表示向量a的有向线段在原方向(λ>0)或××反方向(λ<0)上缩短为原来的?λ?倍。 实数p和向量a的点乘乘积是一个数。 数与向量的乘法满足下面的运算律 结合律:(λa)?b=λ(a?b)=(a?λb)。 向量对于数的分配律(第一分配律):(λ+μ)a=λa+μa. 数对于向量的分配律(第二分配律):λ(a+b)=λa+λb. 数乘向量的消去律:? 如果实数λ?0且λa=λb，那么a=b。? 如果a?0且λa=μa，那么λ=μ。 需要注意的是:向量的加减乘除运算满足实数加减乘除运算法则。 数量积 定义:已知两个非零向量a,b。作OA=a,OB=b，则角AOB称作向量a和向量b的夹角，记作〈a,b〉并规定0?〈a,b〉?π 定义:两个向量的数量积(内积、点积)是一个数量(没有方向)，记作a?b。若a、b不共线，则a?b=|a|?|b|?cos〈a，b〉(依定义有:cos〈a,b〉=a?b / |a|?|b|);若a、b共线，则a?b=??a??b?。 向量的数量积的坐标表示:a?b=x?x'+y?y'。 向量的数量积的运算律 a?b=b?a(交换律) (λa)?b=λ(a?b)(关于数乘法的结合律) (a+b)?c=a?c+b?c(分配律) 向量的数量积的性质 a?a=|a|的平方。 a?b〈=〉a?b=0。 |a?b|?|a|?|b|。(该公式证明如下:|a?b|=|a|?|b|?|cosα| 因为0?|cosα|?1，所以|a?b|?|a|?|b|) 向量的数量积与实数运算的主要不同点 1(向量的数量积不满足结合律，即:(a?b)?c?a?(b?c);例如:(a?b)??a??b?。 2(向量的数量积不满足消去律，即:由a?b=a?c(a?0)，推不出b=c。 3(|a?b|与|a|?|b|不等价 4(由 |a|=|b| ，不能推出a=b，也不能推出a=-b，但反过来则成立。 向量积 定义:两个向量a和b的向量积 向量的几何表示 (外积、叉积)是一个向量，记作a×b(这里“×”并不是乘号，只是一种表示方法，与“?”不同，也可记做“?”)。若a、b不共线，则a×b的模是:?a×b?=|a|?|b|?sin〈a，b〉;a×b的方向是:垂直于a和b，且a、b和a×b按这个次序构成右手系。若a、b垂直，则?a×b?=|a|*|b|(此处与数量积不同，请注意)，若a×b=0，则a、b平行。向量积即两个不共线非零向量所在平面的一组法向量。 运算法则:运用三阶行列式 设a,b,c分别为沿x,y,z轴的单位向量 A=(x1,y1,z1)B=(x2,y2,z2)则A*B= a b c x1 y1 z1 x2 y2 z2 向量的向量积性质: ?a×b?是以a和b为边的平行四边形面积。 a×a=0。 a平行b〈=〉a×b=0 向量的向量积运算律 a×b=,b×a (λa)×b=λ(a×b)=a×(λb) a×(b+c)=a×b+a×c. (a+b)×c=a×c+b×c. 上两个分配律分别称为左分配律和右分配律。在演算中应注意不能交换“×”号两侧向量的次序。 如:a×(2b)=b×(2a)和c×(a+b)=a×c+b×c都是错误的～ 注:向量没有除法，“向量AB/向量CD”是没有意义的。 三向量混合积 定义:给定空间三向量a、b、c，向量a、b的向量积a×b，再和向量c作数量积(a×b)?c， 向量的混合积 所得的数叫做三向量a、b、c的混合积，记作(a,b,c)或(abc)，即(abc)=(a,b,c)=(a×b)?c 混合积具有下列性质: 1(三个不共面向量a、b、c的混合积的绝对值等于以a、b、c为棱的平行六面体的体积V，并且当a、b、c构成右手系时混合积是正数;当a、b、c构成左手系时，混合积是负数，即(abc)=εV(当a、b、c构成右手系时ε=1;当a、b、c构成左手系时ε=-1) 2(上性质的推论:三向量a、b、c共面的充要条件是(abc)=0 3((abc)=(bca)=(cab)=-(bac)=-(cba)=-(acb) 例题 正方形ABCD,EFGA,CHIK首尾相连，L是EH中点，求证LB?GK, 设AE=a,向量,, AG=a', AD=c, AB=c', CH=b,CK=b'有 aa'=bb'=cc'=0, a2=a'2, b2=b'2 ,c2=c'2,a'b=ab',a'c'=-ac,a'c=ac', bc=b'c'. b'c=-bc',*,EH=-a+c+c'+b LB=EH/2-b-c=,-a-c+c'-b,/2, GK=-a'+c'+c+b'从,*,:,-a-c+c'-b,?,-a'+c'+c+b',=……=0. LBGK ?? 二重向量积 由于二重向量叉乘的计算较为复杂，于是直接给出了下列化简公式以及证明过程: 二重向量叉乘化简公式及证明 向量积和数量积的关系式 给定空间内四个向量a、b、c、d，则这四个向量之间满足如下关系: 证明: 由混合积的性质可知 (即把c×d看成一个新的向量e，利用性质(a×b)?e=a?(b×e)) 再根据二重向量积的性质可知 该公式可用于证明三维的柯西不等式 证明:令公式中a=c、b=d，则: 设 ，那么: 即 等号成立的条件是 ，即a、b共线( 或b=0) 向量定理编辑 共线定理 若b?0，则a//b的充要条件是存在唯一实数λ，使a=λb。 若设a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，则有x1y2=x2y1。即与平行概念相同x1y2 - x2y1=0 零向量0平行于任何向量。 垂直定理 a?b的充要条件是a?b=0，即x1x2+y1y2=0。 分解定理 平面向量分解定理:如果e1、e2是同一平面内的两个不平行向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数λ1，λ2使a=λ1e1+λ2e2我们把不平行向量e1、e2叫做这一平面内所有向量的一基底。 定比分点公式 定比分点公式(向量P1P=λ?向量PP2) 设P1、P2是直线上的两点，P是直线上不同于P1、P2的任意一点。则存在一个任意实数 λ且λ不等于-1，使 向量P1P=λ?向量PP2，λ叫做点P分有向线段P1P2所成的比。 若P1(x1,y1)，P2(x2,y2)，P(x,y)，则有 OP=(OP1+λOP2)/(1+λ);(定比分点向量公式) x=(x1+λx2)/(1+λ), y=(y1+λy2)/(1+λ)。(定比分点坐标公式) 我们把上面的式子叫做有向线段P1P2的定比分点公式 三点共线定理 已知0是AB所在直线外一点,若OC=λOA+μOB ,且λ+μ=1 ,则A、B、C三点共线 证明:?OC=λOA+(1-λ)OB=λOA+λBO+OB=λBA+OB ?BO+OC=λBA 即BC=λBA ?A、B、C三点共线 重心判断式 在?ABC中，若GA+GB+GC=O，则G为?ABC的重心。 垂心判断式 在?ABC中，若HA?HB=HB?HC=HC?HA，则H为?ABC的垂心。 内心判断式 在?ABC中，若aIA+bIB+cIC=0，且PI=(aPA+bPB+cPC)/(a+b+c)，则I为?ABC的内心。 外心判断式 在?ABC中，若|OA|=|OB|=|OC|，则O为?ABC的外心， 此时O满足(OA+OB)?AB=(OB+OC)?BC=(OC+OA)?CA=0。 向量空间编辑 定义 给定域F，一个F上的向量空间是一个F-模。 同构 给定域F上的两个向量空间V与V' ，如果存在一个双射φ:V?V'，并且φ(αu+bv)=αφ(u)+bφ(v)，a, b?F，u,v?V。这样V与V' 便是同构的。 映射 给两个向量空间V和W在同一个F场，设定由V到W的线性变换或“线性映射” . 这些由V到W的映射都有共同点就是它们保持总和及标量商数。这个集合包含所有由V到W的线性映像，以 L(V，W) 来描述，也是一个F场里的向量空间。当V及W被确定后，线性映射可以用矩阵来表达。同构是一对一的一张线性映射。如果在V 和W之间存在同构， 我们称这两个空间为同构;他们根本上是然后相同的。一个在F场的向量空间加上线性映像就可以构成一个范畴，即阿贝尔范畴。 延伸 研究向量空间一般会涉及一些额外结构。额外结构如下: 一个实数或复数向量空间加上长度概念。就是范数称为赋范向量空间。 一个实数或复数向量空间加上长度和角度的概念，称为内积空间。 一个向量空间加上拓扑学符合运算的(加法及标量乘法是连续映射)称为拓扑向量空间。 一个向量空间加上双线性算子(定义为向量乘法)是个域代数。 子空间及基 一个向量空间V的一个非空子集合W在加法及标量乘法中表现密闭性，被称为V的线性子空间。给出一个向量集合B，那么包含它的最小子空间就称为它的扩张，记作span(B)。给出一个向量集合B，若它的扩张就是向量空间V， 则称B为V的生成集。一个向量空间V最大的线性独立子集，称为这个空间的基。若V=0，唯一的基是空集。对非零向量空间 V，基是 V 最小的生成集。如果一个向量空间 V 拥有一个元素个数有限的生成集，那么就称V是一个有限维空间。向量空间的所有基拥有相同基数，称为该空间的维度。例如，实数向量空间:R0，R1，R2，R3。。。，R?，。。。中，Rn 的维度就是n。空间内的每个向量都有唯一的方法表达成基中元素的线性组合。把基中元素排列，向量便可以坐标系统来呈现。 向量的中线公式 若P为线段AB的中点，O为平面内一点，则OP=1/2(OA+OB) 3(