定积分应用及广义积分

定积分应用及广义积分 第四节 定积分的应用 积分有着广泛的应用。在这里我们要掌握(1)直接用公式计算(主要是面积、弧长、体积的公式)(2)用元素法计算。遇到具体问题时，如能直接用公式，我们就用公式去做，如没有现成的公式可用或公式忘了，我们可用元素法去解。元素法同样适用于重积分的应用问题，还可以用元素法建立微分方程，所以说掌握了元素法就可以做到以不变应万变。 ,x1)曲线与轴所围成的图形的面积为( 例,((____xy,2esinx (x,0) x(,)曲线的弧长为( y,sintdt(0,x,,)____,0 ，,(k1),，,，xx,,解:(,)所求的面积为 A,|2esinx|dx,2e|sinx|dx,,,0k,k0,(k，1),,,k,t,x,,k,,,而 2e|sinx|dx,2eesintdt,e(1，e),,0k,,,,,1，ee，1,,k,, ,A,(1，e)e,,,,,e,11,ek0, ,2,(,)弧长为 l,1，[f(x)]dx,4,0 例,(过点作曲线的切线， (4,0)y,(x,1)(3,x) (,) 求切线方程; (,) 求由这切线与该曲线及轴围成的图形绕轴旋转一周所得旋转体的体积( xx 2,x, 解:(,)y, (x,1)(3,x) (x,1)(3,x)2,xy,00000设切点为，则有 ,, (x,y)00x,4x,4(x,1)(3,x)0000 15x,k,,解得 ，那么切线的斜率为 023 1切线方程为 ，即 y,,(x,4)x，3y,4,0 3 (,) 旋转体的体积为 431,,2[(4)](1)(3) V,x,dx,x,,xdx, ,,55,,6322 下面介绍一下元素法 我们先看一个例子 2x,3例,(求曲线与直线围成的图形绕直线旋转一周的旋转体的体积( y,0y,2x,x 分析:求旋转体的体积是我们熟悉的问题(但本题没有现成的公式好用，应考虑用元素法将所求的体积化为一个积分，然后计算积分得结果(在学习定积分概念时，讲过将曲边梯形的面积化为一个定积分的几个步骤:分割、近似、求和、取极限(用元素法将所求的量化为一个定积分的步骤稍微简化一点:分割、近似后得元素、积分(以得到的元素为被积表达式在 yx相应区间上积分)得结果(先要选好积分变量并确定积分区间，本题中可选也可选(若y选为积分变量，则积分区间为[0,1]，分割:在[0,1]上任取一个小区间[y,y，dy]，近似: x,3,V该小区间对应的一小片绕直线旋转一周的旋转体的体积近似为 22,V,,[(2，1,y),(2,1,y)]dy,8,1,ydy，从而得体积元素 111681V,dV,,,ydy,,xdV,8,1,ydy，积分得结果:(若选为积分变量，,,003 Page - 1 - of 2 则积分区间为，分割:在上任取一个小区间，近似:该小区间对应的[x,x，dx][0,2][0,2] x,3,V小曲边梯形绕直线旋转一周的旋转体的体积近似为 22322 ,V,, y[(3,x),(3,x,dx)],2,(x,5x，6x)dx,, y(dx) 3232dV，从而得体积元素，积分得结果:,2,(x,5x，6x)dx,2,(x,5x，6x)dx 2116322(56)(解答过程自己完成( V,dV,,x,x，xdx,,,,003 U的一般步骤: 总结:用元素法求某个量 (,) 建立坐标系，选取积分变量，比如(确定该变量的变化区间即为积分区间，比如x ( [a,b] ,U(,) 在区间上任取一个小区间，对应该小区间的部分量记为，找出[a,b][x,x，dx] U该部分量的近似值 ，那么得到量的元素 ( ,U,f(x)dxdU,f(x)dx U(,) 以元素为积分表达式在区间上积分便得欲求的量 dU,f(x)dx[a,b] bb U,dU,f(x)dx,,aa 这里关键是找出元素，找元素的思想是:以直代曲，以常代变( dU,f(x)dx 例,(设有半径为R的密度不均匀的圆盘(已知其面密度为，其中为所考虑的点到,,ar，b圆盘中心的距离，为正常数，求圆盘的质量( a,b 解:以圆盘上的点到圆心的距离为积分工变量，则，任取上的一个小区间r,[0,R][0,R]r ，该小区间对应的小圆环的质量近似为 [r,r，dr] 22 ,M,[,(r，dr),, r](ar，b),2, r(ar，b)dr ，所以圆盘质量为 于是质量元素为 dM,2, r(ar，b)dr R22M,2, r(ar，b)dr,, R(aR，b) ,03 注:本题可用二重积分计算。 . Page - 2 - of 2