数列通项公式的求法---函数不动点、方程特征根

数列通项公式的求法---函数不动点、方程特征根 利用函数的不动点(方程的特征根) 22bb,2bb,2221 若数列满足，且是方程的最小根，则xaxbxa,，，,0xxaxbx,，，,，，,,nnn，n14a4a 2xx,,,,,,,( ，，，nn1 2 已知数列x满足，求数列x的通项公式( xxxx,，，,241,1,,,,nnnnn，11 22xx，,，121xxx,，，241 解:令，则是其最小根，得，由题意知， x,,1x,0，，nn，1n 两边取对数，得log12log11xx，,，，，两边同时加1，得: ，，，，212nn， log112log11xx，，,，，， ，，，，，，212nn， 故log11x，，是首项为log112x，，,公比为2的等比数列， ，，，，,,2n21 n21,nx,,21log112x，，,所以 ， 故 ( ，，n2n axb，axb，n10,02 若数列x满足xcadbc,,,,且( x,,,，，n，1n1cxd，cxd，1n xx,,,,ac,,axb，nn，1,,, 2(1 若方程,,有两个相异实根，则 ( x,xacx,,,cxd，,,,nn，1 72x,n已知数列xxx,,,3x满足，求数列的通项公式( ,,,,nn，11nx，4n xx,,11672x,nn，1,,,,1,2,,解:令，得为其两根，所以有， x,xx,,252x，4nn，1 ,,x,1x,161n 所以数列是以为首项，以为公比的等比数列， ,2,,x,25x,21n,, n,11x,16,,nx,，2 所以， 故 ( ,,2n,,n,1x,256,,,,n,,21,,5,, 121caxb，,，ad,,2(2 若方程有两个相等实根，且，则( x,,,,,，,xadxcxd，nn，1 31x,1nxxx,,,x 已知数列满足，求数列的通项公式( ,,,,nnn，11472x，n 11431x,1,，解:令，得为其根，所以 ， x,x,,11547x，2xx，，nn，122 ,, 14,,1 所以数列是以为首项，以为公差的等差数列， ,1,,115,,x，x，1n2,,2 1494,n 所以， 故 ( ,，,,n11x,，，n1528，nx，n2 22axc，axc，n,,,x, 3 若数列满足，若是方程的两个相异实根，则x0xa,,,,，，n，n12axf，2axf，n 2,,xx,,,,nn，1 ,,,xx,,,,nn，1,, 232x，19n 已知数列x满足，求数列x的通项公式( xx,,,,,,,nn，n11656x,n 211,,xx，，2nn，1,,32x，133解:令x,，得为其两根，所以， ,,,,,,,2,,65x,xx,,223nn，1,, ,, 11xx，，nn，133log2log,两边取对数，得， 33xx,,22nn，1 11,,x，x，1n,,33log1,所以数列是以为首项，以2为公比的等比数列， log,,33x,2x,21n,, ,, 1n,1x，2n631,，n,13x,log2, 所以 ， 故 ( n,1n32x,2333,,n 2,,,，fx()0,(),,,fx()fx() 相关高考:已知函数，是方程的两个根，是 的fxxx()1,，, fa()n,,,，，aan(12)导数(设，( a,1，1nn1,fa()n,,，(1)求的值; a,,nln(12)bbn,,，，(2)已知对任意的正整数有，记(求数列的前项a,,nn,,nnna,,n和( Sn ,，15,,15,,,,解:(1)求根公式得, 22 2a，122n,fxx()21,， (2) ,,,,,,,,1,1a,，n121a，n222aaaaaa,,，,,，,212,,,,,,2nnnnnn，1 bb,,,,,lnlnlnln()2nn，1222aaaaaa,,，,,，,212,,,,,,nnnnnn，1 ,,a51，1 ?数列是首项,公比为2的等比数列 ， {}bq,b,,ln4lnn1a,2,1 nbq(1),51，n1 ? S,,,,4(21)lnn12,q 不动点法 pa，qpa，qnna,a,，如果数列满足下列条件:已知的值，且对于，都有(其中n,N{a}a，1，1nnn1ra，hra，hnn hpx，qph,qrr,a,,p、q、r、h均为常数，且)，那么，可作特征方程， x,,0,1rrx，h ,,1当特征方程有且仅有一根时，则是等差数列; x,,0ax,n0,, ,,ax,n1当特征方程有两个相异的根、时，则是等比数列( xx,,12ax,n2,, 2124a,n例、已知数列满足aa,,，4，求数列的通项公式( {}a{}an，11nn41a，n 2124x,2124x,2420240xx,，,解:令，得，则是函数的两个不动点(因xx,,23，x,fx(),1241x，41x，为 2124a,n,2,,aaaaaa,，,,，,,24121242(41)1326213a,2nnnnnn，1n,,,,(所以数列是以,,2124a,aaaaa,,,，,,321243(41)92793a,3nnnnnn，1n,,,341a，n a,2a,242,13113n,1n1,2(),,2为首项，以为公比的等比数列，故，则a,，( 3n139a,39a,,343,1n1n,2()19 2124x,2124x,评注:本题解题的关键是先求出函数的不动点，即方程的两个根fx(),x,41x，41x， ,,aa,,2213a,2nn，1n,,xx,,23，，进而可推出，从而可知数列为等比数列，再求出数列,,12aa,,393a,3nn，1n,,,,a,2n的通项公式，最后求出数列的通项公式( {}a,,na,3n,, 72a,n例、已知数列满足，求数列的通项公式( aa,,，2{}a{}an，11nn23a，n 72x,31x,22420xx,，,解:令，得，则是函数的不动点( x,1x,fx(),23x，47x， 7255aa,,nn因为，所以 a,,,,11，1n2323aa，，nn 35a，na，2312212n22， ,,,,，,，(1)aaaaa,,,,,155515115，1nnnnn ,,121112所以数列是以为首项，以为公差的等差数列，则,，,n，故,,11(1),,5a,,121a,15a,1n1n,, 28n，( a,n23n， 31x,72x,评注:本题解题的关键是先求出函数的不动点，即方程的根，进而可推出x,1fx(),x,47x，23x， ,,,,11211,，，从而可知数列为等差数列，再求出数列的通项公式，最后求出数,,,,aa,,115a,a,11nn，1nn,,,,列的通项公式( {}an 特征根法 2对于由递推公式，给出的数列，方程，叫做数列a,pa，qa,,ax,px,q,0a,,,a,,n，2n，1nn12 的特征方程(若是特征方程的两个根， ,,ax,xn12 nn当时，数列的通项为aAxBx,，，其中A，B由决定(即把和,,ax,xa,,,a,,a,a,x,xnn1212121212 nnn,1,2，代入aAxBx,，，得到关于A、B的方程组); n12 n当时，数列的通项为aABnx,，()，其中A，B由决定(即把,,ax,xa,,,a,,a,a,x,xn112121212n nn,1,2和，代入aABnx,，()，得到关于A、B的方程组)( 1n 例、已知数列满足，求数列的通项公式( aaanaa,,,,,3(2)1，{}a{}annnn，,1112n 2,,,，,310解:aaan,,,3(2)的相应特征方程为，解之求特征根是nnn，,11 nn,,,,3535，,，,3535,,,,，，所以(由初始值aa,,1，得方程组acc,，,,,,121212n,,,,2222,,,, ,,525,3535，,11c,1()(),，cc,,112,,522求得 ,,3535，,525，,,221()(),，ccc,122,,,225, ,，，,5253552535nna,，从而()()( n5252 c，c评注:本题解题的关键是先求出特征方程的根(再由初始值确定出，从而可得数列的通项公式( {}a12n ,nN,在数列{}中，，当，，求通项公式. a,5a,6aaaa,,1,a,2n，2n，1nnn12 2,,,，,560解:的相应特征方程为，解之求特征根是，所以a,5a,6a,,,,23，n，2n，1n12 5,c,,1,,,，123cc,,212nn(由初始值，得方程组求得 acc,，23a,,1,a,2,,1212n4249,，cc,12,c,2,3,54nnnn,,11从而( a,,，,,234352n23 待定系数法:原式可化为: a，,a,(5，,)(a，,a)n，2n，1n，1n 比较系数得=-3或=-2， ,, 不妨取,=-2.?式可化为: a,2a,3(a,2a)n，2n，1n，1n则是一个等比数列，首项=2-2(-1)=4，公比为3. {a,2a}a,2an，1n21 n,1n,1n,1?a,2a,4,3.有:a,4,3,5,2. n，1nn