伸缩变换下圆到椭圆的一个性质

伸缩变换下圆到椭圆的一个性质 225400 江苏省泰兴市第三高级中学数学组 陈亮 苏版教材选修4—4《坐标系与参数方程》一书中，第34页的内容是“平面直角坐标系中的伸缩变换”.通过例题教学，书中介绍了伸缩变换的两个性质: (1)在伸缩变换作用下，点的共线性质保持不变; (2)在伸缩变换作用下，线段的中点仍为中点. 书中还给出了一个思考:“圆的一组平行弦的中点是圆的直径.你能依据伸缩变换的性质，猜想椭圆的一组平行弦的中点的轨迹是什么吗,”结果轨迹是椭圆的过中心的一条弦.这里由圆的性质变换到了椭圆的性质.在伸缩变换前后圆的某些性质与椭圆的某些性质极为相似. 222Oxy:1，,看这样的一个问题:若直线过圆上的某一点lykxk:1,，， x，与轴相交于点，与轴相交于点，则 PABy y (1)是圆的切线; ABO B P1APAB,,(2)若点使，则,,. P A2，k1x O 证明:(1)圆心O(0,0)到直线的距离 l 2|001|kk,，， d,,121，k 所以，是圆的切线; ABO (2)设，则， ，,BAO,k,,tan, 2OAOPk，1OP1BA,,,, ？,,, ， AP,,,cossincosk,tank AP11,, ，即若点使，则. ？,PAPBA,,22，k1BAk，1 ',axx,22Oxy:1，, 若施以伸缩变换，则圆经过伸缩变换后的,(0)ab,,,byy,', 22xy2，,1方程变为.它示椭圆.直线变为直线lykxk:1,，，22ab b2. lykxbk:1,，，1a ''' yPAB,,三点经过变换后变为(如图).则 PAB,,' B' P''(1)AB是椭圆的切线; ' A1'''''x APAB,,(2)若点P使，则. ,,O2，k1 b2222222bxayab，,,0证明:(1)将代入椭圆 ykxbk,，，1a 22222 ？，，，，,(1)210kxakkxak ak,,,,0,x 计算得 21，k akb'''P(,),AB 所以，是椭圆的切线，且切点; 2211，，kk '2OAak1，''BA,,, (2) ,,coscosk ''APbkbkcos,,？ ,,''222BAaktan(1)，,1sin1，,，kak, 1 ,2k，1 1'''''P 即若点使APBA,,，则,,. 2，k1 xk10Pxy(,)P(,),k,, 在问题中，求出切点，又设，则， 0022y11，，kk0 222Oxy:1，,xxyy，,1变为，即为常见的过圆上的点lykxk:1,，，00 akb''Paxby(,)Pxy(,)P(,),的切线方程.在伸缩变换下的变为，00002211，，kk xxyyb22200xxyy，,1Oxy:1，,变为.即若是圆的切lykxbk:1,，，，,1001aba 22xxyyxyakb'00，,1线，则就是椭圆的切线.另外，若将P(,),，,12222abab11，，kk bxxxyyb'2000Pxy(,)看作点，则k,,，变为，是过lykxbk:1,，，，,100122ayaba0 22xyxxyy'00Pxy(,)，,1椭圆椭圆上的点的切线.此时，就是圆，,10022abab 22Oxy:1，,的切线. bc2若取，则直线变为，由上面推理过程k,lykxbk:1,，，yexa,，1ba 222xyb'，,1Pc(,),可知直线是椭圆的切线，切点是椭圆通径的一个yexa,，22aab 21b2,,,,,端点.此时， 1e. 222c，bc，12b 这正好是2005年湖南省高考中的一道试题的第一问: 22xy已知椭圆C:，,1(a,b,0)的左、右焦点为F、F，离心率为1222ab e. 直线 l:y,ex，a与x轴、y轴分别交于点A、B，M是直线l与椭圆C的一个公共 AMAB点，P是点F关于直线l的对称点，设,. ,1 2 (?)证明:,1,e; , (?)略. 圆与椭圆之间的这种伸缩变换，保持了某些性质的结构相似性。其实，伸缩变换的实质是仿射变换。