沈阳高考家教2014高考数学一轮复习资料

2014年高考数学总复习 §01. 集合与简易逻辑  知识要点 一、知识结构: 本章知识主要分为集合、简单不等式的解法（集合化简）、简易逻辑三部分： 二、知识回顾： （一） 集合 1. 基本概念：集合、元素；有限集、无限集；空集、全集；符号的使用. 2. 集合的表示法：列举法、描述法、图形表示法. 集合元素的特征：确定性、互异性、无序性. 集合的性质： ①任何一个集合是它本身的子集，记为 ； ②空集是任何集合的子集，记为 ； ③空集是任何非空集合的真子集； 如果 ，同时 ，那么A = B. 如果 . [注]：①Z= {整数}（√）  Z ={全体整数} （×） ②已知集合S 中A的补集是一个有限集，则集合A也是有限集.（×）（例：S=N； A= ，则CsA= {0}） ③ 空集的补集是全集.          ④若集合A=集合B，则CBA = ， CAB =     CS（CAB）= D    （ 注 ：CAB = ）. 3. ①{（x，y）|xy =0，x∈R，y∈R}坐标轴上的点集. ②{（x，y）|xy＜0，x∈R，y∈R 二、四象限的点集.    ③{（x，y）|xy＞0，x∈R，y∈R} 一、三象限的点集. [注]：①对方程组解的集合应是点集. 例：   解的集合{(2，1)}. ②点集与数集的交集是 . （例：A ={(x，y)| y =x+1}  B={y|y =x2+1}  则A∩B = ） 4. ①n个元素的子集有2n个.  ②n个元素的真子集有2n －1个.  ③n个元素的非空真子集有2n－2个. 5. ⑴①一个命的否命题为真，它的逆命题一定为真. 否命题 逆命题. ②一个命题为真，则它的逆否命题一定为真. 原命题 逆否命题. 例：①若 应是真命题. 解：逆否：a = 2且 b = 3，则a+b = 5，成立，所以此命题为真. ②     . 解：逆否：x + y =3 x = 1或y = 2. ,故 是 的既不是充分，又不是必要条件. ⑵小范围推出大范围；大范围推不出小范围. 3. 例：若 .  4. 集合运算：交、并、补. 5. 主要性质和运算律 （1） 包含关系： （2） 等价关系： （3） 集合的运算律： 交换律：       结合律:       分配律:. 0-1律： 等幂律： 求补律：A∩CUA=φ  A∪CUA=U CUU=φ CUφ=U 反演律：CU(A∩B)= (CUA)∪(CUB)  CU(A∪B)= (CUA)∩(CUB) 6. 有限集的元素个数 定义：有限集A的元素的个数叫做集合A的基数，记为card( A)规定 card(φ) =0. 基本： (3) card(UA)= card(U)- card(A) (二)含绝对值不等式、一元二次不等式的解法及延伸 1.整式不等式的解法 根轴法（零点分段法） ①将不等式化为a0(x-x1)(x-x2)…(x-xm)>0(<0)形式，并将各因式x的系数化“+”；(为了统一方便) ②求根，并在数轴上表示出来； ③由右上方穿线，经过数轴上表示各根的点（为什么？）； ④若不等式（x的系数化“+”后）是“>0”,则找“线”在x轴上方的区间；若不等式是“<0”,则找“线”在x轴下方的区间. （自右向左正负相间） 则不等式 的解可以根据各区间的符号确定. 特例① 一元一次不等式ax>b解的讨论； ②一元二次不等式ax2+box>0(a>0)解的讨论.   二次函数 （ ）的图象 一元二次方程 有两相异实根 有两相等实根 无实根 R         2.分式不等式的解法 （1）化：移项通分化为 >0(或 <0)； ≥0(或 ≤0)的形式， （2）转化为整式不等式（组） 3.含绝对值不等式的解法 （1）公式法： ,与 型的不等式的解法. （2）定义法：用“零点分区间法”分类讨论. （3）几何法：根据绝对值的几何意义用数形结合思想方法解题. 4.一元二次方程根的分布 一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0) （1）根的“零分布”：根据判别式和韦达定理列式解之. （2）根的“非零分布”：作二次函数图象，用数形结合思想分析列式解之. （三）简易逻辑 1、命题的定义：可以判断真假的语句叫做命题。 2、逻辑联结词、简单命题与复合命题： “或”、“且”、“非”这些词叫做逻辑联结词；不含有逻辑联结词的命题是简单命题；由简单命题和逻辑联结词“或”、“且”、“非”构成的命题是复合命题。 构成复合命题的形式：p或q(记作“p∨q” )；p且q(记作“p∧q” )；非p(记作“┑q” ) 。 3、“或”、  “且”、  “非”的真值判断 （1）“非p”形式复合命题的真假与F的真假相反； （2）“p且q”形式复合命题当P与q同为真时为真，其他情况时为假； （3）“p或q”形式复合命题当p与q同为假时为假，其他情况时为真． 4、四种命题的形式： 原命题：若P则q；  逆命题：若q则p； 否命题：若┑P则┑q；逆否命题：若┑q则┑p。 (1)交换原命题的条件和结论，所得的命题是逆命题； (2)同时否定原命题的条件和结论，所得的命题是否命题； (3)交换原命题的条件和结论，并且同时否定，所得的命题是逆否命题． 5、四种命题之间的相互关系： 一个命题的真假与其他三个命题的真假有如下三条关系：(原命题 逆否命题) ①、原命题为真，它的逆命题不一定为真。 ②、原命题为真，它的否命题不一定为真。 ③、原命题为真，它的逆否命题一定为真。 6、如果已知p q那么我们说，p是q的充分条件，q是p的必要条件。 若p q且q p,则称p是q的充要条件，记为p?q. 7、反证法：从命题结论的反面出发（假设），引出(与已知、公理、定理…)矛盾，从而否定假设证明原命题成立，这样的证明方法叫做反证法。 高中数学第二章-函数 考试： 数学探索?版权所有www.delve.cn映射、函数、函数的单调性、奇偶性． 数学探索?版权所有www.delve.cn反函数．互为反函数的函数图像间的关系． 数学探索?版权所有www.delve.cn指数概念的扩充．有理指数幂的运算性质．指数函数． 数学探索?版权所有www.delve.cn对数．对数的运算性质．对数函数． 数学探索?版权所有www.delve.cn函数的应用． 数学探索?版权所有www.delve.cn考试要求： 数学探索?版权所有www.delve.cn（1）了解映射的概念，理解函数的概念． 数学探索?版权所有www.delve.cn（2）了解函数单调性、奇偶性的概念，掌握判断一些简单函数的单调性、奇偶性的方法． 数学探索?版权所有www.delve.cn（3）了解反函数的概念及互为反函数的函数图像间的关系，会求一些简单函数的反函数． 数学探索?版权所有www.delve.cn（4）理解分数指数幂的概念，掌握有理指数幂的运算性质，掌握指数函数的概念、图像  和性质． 数学探索?版权所有www.delve.cn（5）理解对数的概念，掌握对数的运算性质；掌握对数函数的概念、图像和性质． 数学探索?版权所有www.delve.cn（6）能够运用函数的性质、指数函数和对数函数的性质解决某些简单的实际问题． §02. 函数  知识要点 一、本章知识网络结构： 二、知识回顾： （一） 映射与函数 1. 映射与一一映射 2.函数 函数三要素是定义域，对应法则和值域，而定义域和对应法则是起决定作用的要素，因为这二者确定后，值域也就相应得到确定，因此只有定义域和对应法则二者完全相同的函数才是同一函数. 3.反函数 反函数的定义 设函数 的值域是C，根据这个函数中x,y 的关系，用y把x表示出，得到x= (y). 若对于y在C中的任何一个值，通过x= (y)，x在A中都有唯一的值和它对应，那么，x= (y)就表示y是自变量，x是自变量y的函数，这样的函数x= (y) (y C)叫做函数 的反函数，记作 ,习惯上改写成 （二）函数的性质 ⒈函数的单调性 定义：对于函数f(x)的定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值x1,x2, ⑴若当x1f(x2),则说f(x) 在这个区间上是减函数. 若函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，则就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做函数y=f(x)的单调区间.此时也说函数是这一区间上的单调函数. 2.函数的奇偶性 7. 奇函数，偶函数： ⑴偶函数： 设（ ）为偶函数上一点，则（ ）也是图象上一点. 偶函数的判定：两个条件同时满足 ①定义域一定要关于 轴对称，例如： 在 上不是偶函数. ②满足 ，或 ，若 时， . ⑵奇函数： 设（ ）为奇函数上一点，则（ ）也是图象上一点. 奇函数的判定：两个条件同时满足 ①定义域一定要关于原点对称，例如： 在 上不是奇函数. ②满足 ，或 ，若 时， . 8. 对称变换：①y = f（x） ②y =f（x） ③y =f（x） 9. 判断函数单调性（定义）作差法：对带根号的一定要分子有理化，例如： 在进行讨论. 10. 外层函数的定义域是内层函数的值域. 例如：已知函数f（x）= 1+ 的定义域为A，函数f[f（x）]的定义域是B，则集合A与集合B之间的关系是          . 解： 的值域是 的定义域 ， 的值域 ，故 ，而A ，故 . 11. 常用变换： ① . 证： ② 证： 12. ⑴熟悉常用函数图象： 例： → 关于 轴对称.              → → → 关于 轴对称. ⑵熟悉分式图象： 例： 定义域 ， 值域 →值域 前的系数之比. （三）指数函数与对数函数 指数函数 的图象和性质   a>1 00时，y>1;x<0时，00时，01. （5）在 R上是增函数 （5）在R上是减函数         对数函数y=logax的图象和性质: 对数运算： （以上 ）   a>1 00 时 时 （5）在（0，+∞）上是增函数 在（0，+∞）上是减函数         注⑴：当 时， . ⑵：当 时，取“+”，当 是偶数时且 时， ，而 ，故取“—”. 例如： 中x＞0而 中x∈R）. ⑵ （ ）与 互为反函数. 当 时， 的 值越大，越靠近 轴；当 时，则相反. （四）方法总结 ⑴.相同函数的判定方法：定义域相同且对应法则相同. ⑴对数运算： （以上 ） 注⑴：当 时， . ⑵：当 时，取“+”，当 是偶数时且 时， ，而 ，故取“—”. 例如： 中x＞0而 中x∈R）. ⑵ （ ）与 互为反函数. 当 时， 的 值越大，越靠近 轴；当 时，则相反. ⑵.函数表达式的求法：①定义法；②换元法；③待定系数法. ⑶.反函数的求法：先解x,互换x、y，注明反函数的定义域(即原函数的值域). ⑷.函数的定义域的求法：布列使函数有意义的自变量的不等关系式，求解即可求得函数的定义域.常涉及到的依据为①分母不为0；②偶次根式中被开方数不小于0；③对数的真数大于0，底数大于零且不等于1；④零指数幂的底数不等于零；⑤实际问题要考虑实际意义等. ⑸.函数值域的求法：①配方法(二次或四次)；②“判别式法”；③反函数法；④换元法；⑤不等式法；⑥函数的单调性法. ⑹.单调性的判定法：①设x ,x 是所研究区间内任两个自变量，且x ＜x ；②判定f(x )与f(x )的大小；③作差比较或作商比较. ⑺.奇偶性的判定法：首先考察定义域是否关于原点对称，再计算f(-x)与f(x)之间的关系：①f(-x)=f(x)为偶函数；f(-x)=-f(x)为奇函数；②f(-x)-f(x)=0为偶；f(x)+f(-x)=0为奇；③f(-x)/f(x)=1是偶；f(x)÷f(-x)=-1为奇函数. ⑻.图象的作法与平移：①据函数表达式，列表、描点、连光滑曲线；②利用熟知函数的图象的平移、翻转、伸缩变换；③利用反函数的图象与对称性描绘函数图象. 高中数学 第三章  数列 考试内容： 数学探索?版权所有www.delve.cn数列． 数学探索?版权所有www.delve.cn等差数列及其通项公式．等差数列前n项和公式． 数学探索?版权所有www.delve.cn等比数列及其通项公式．等比数列前n项和公式． 数学探索?版权所有www.delve.cn考试要求： 数学探索?版权所有www.delve.cn（1）理解数列的概念，了解数列通项公式的意义了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项． 数学探索?版权所有www.delve.cn（2）理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前n项和公式，并能解决简单的实际问题． 数学探索?版权所有www.delve.cn（3）理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n项和公式，井能解决简单的实际问题． §03. 数 列 知识要点   等差数列 等比数列 定义 递推公式 ； ； 通项公式 （ ） 中项 （ ） （ ） 前 项和 重要性质       1. ⑴等差、等比数列：   等差数列 等比数列 定义 通项公式 = +（n-1）d= +（n-k）d= + -d 求和公式 中项公式 A= 推广：2 = 。推广： 性质 1 若m+n=p+q则 若m+n=p+q，则 。 2 若 成A.P（其中 ）则 也为A.P。 若 成等比数列 （其中 ），则 成等比数列。 3 ． 成等差数列。 成等比数列。 4 ， 5             ⑵看数列是不是等差数列有以下三种方法： ① ②2 ( ) ③ ( 为常数).    ⑶看数列是不是等比数列有以下四种方法： ① ② ( ， )① 注①：i. ，是a、b、c成等比的双非条件，即 a、b、c等比数列. ii. （ac＞0）→为a、b、c等比数列的充分不必要. iii. →为a、b、c等比数列的必要不充分. iv. 且 →为a、b、c等比数列的充要. 注意：任意两数a、c不一定有等比中项，除非有ac＞0，则等比中项一定有两个. ③ ( 为非零常数). ④正数列{ }成等比的充要条件是数列{ }（ ）成等比数列. ⑷数列{ }的前 项和 与通项 的关系： [注]： ① （ 可为零也可不为零→为等差数列充要条件（即常数列也是等差数列）→若 不为0，则是等差数列充分条件）. ②等差{ }前n项和   → 可以为零也可不为零→为等差的充要条件→若 为零，则是等差数列的充分条件；若 不为零，则是等差数列的充分条件.  ③非零常数列既可为等比数列，也可为等差数列.（不是非零，即不可能有等比数列） 2. ①等差数列依次每k项的和仍成等差数列，其公差为原公差的k2倍 ； ②若等差数列的项数为2 ，则 ； ③若等差数列的项数为 ，则 ，且 ， .      3. 常用公式：①1+2+3 …+n =     ②     ③ [注]：熟悉常用通项：9，99，999，… ； 5，55，555，… . 4. 等比数列的前 项和公式的常见应用题： ⑴生产部门中有增长率的总产量问题. 例如，第一年产量为 ，年增长率为 ，则每年的产量成等比数列，公比为 . 其中第 年产量为 ，且过 年后总产量为： ⑵银行部门中按复利计算问题. 例如：一年中每月初到银行存 元，利息为 ，每月利息按复利计算，则每月的 元过 个月后便成为 元. 因此，第二年年初可存款： = . ⑶分期付款应用题： 为分期付款方式贷款为a元；m为m个月将款全部付清； 为年利率. 5. 数列常见的几种形式： ⑴ （p、q为二阶常数） 用特证根方法求解. 具体步骤：①写出特征方程 （ 对应 ，x对应 ），并设二根 ②若 可设 ，若 可设 ；③由初始值 确定 . ⑵ （P、r为常数） 用①转化等差，等比数列；②逐项选代；③消去常数n转化为 的形式，再用特征根方法求 ；④ （公式法）， 由 确定. ①转化等差，等比： . ②选代法： . ③用特征方程求解： . ④由选代法推导结果： . 6. 几种常见的数列的思想方法： ⑴等差数列的前 项和为 ，在 时，有最大值. 如何确定使 取最大值时的 值，有两种方法： 一是求使 ，成立的 值；二是由 利用二次函数的性质求 的值. ⑵如果数列可以看作是一个等差数列与一个等比数列的对应项乘积，求此数列前 项和可依照等比数列前 项和的推倒导方法：错位相减求和. 例如： ⑶两个等差数列的相同项亦组成一个新的等差数列，此等差数列的首项就是原两个数列的第一个相同项，公差是两个数列公差 的最小公倍数. 2. 判断和证明数列是等差（等比）数列常有三种方法：(1)定义法:对于n≥2的任意自然数,验证 为同一常数。(2)通项公式法。(3)中项公式法:验证 都成立。 3. 在等差数列｛ ｝中,有关Sn 的最值问题：(1)当 >0,d<0时，满足 的项数m使得 取最大值. (2)当 <0,d>0时，满足 的项数m使得 取最小值。在解含绝对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用。 （三）、数列求和的常用方法 1. 公式法:适用于等差、等比数列或可转化为等差、等比数列的数列。 2.裂项相消法:适用于 其中{ }是各项不为0的等差数列，c为常数；部分无理数列、含阶乘的数列等。 3.错位相减法:适用于 其中{ }是等差数列， 是各项不为0的等比数列。 4.倒序相加法: 类似于等差数列前n项和公式的推导方法. 5.常用结论 1）: 1+2+3+...+n =     2） 1+3+5+...+(2n-1) = 3）   4）   5）    6）  高中数学第四章-三角函数 考试内容： 数学探索?版权所有www.delve.cn角的概念的推广．弧度制． 数学探索?版权所有www.delve.cn任意角的三角函数．单位圆中的三角函数线．同角三角函数的基本关系式.正弦、余弦的诱导公式． 数学探索?版权所有www.delve.cn两角和与差的正弦、余弦、正切．二倍角的正弦、余弦、正切． 数学探索?版权所有www.delve.cn正弦函数、余弦函数的图像和性质．周期函数．函数y=Asin(ωx+φ)的图像．正切函数的图像和性质．已知三角函数值求角． 数学探索?版权所有www.delve.cn正弦定理．余弦定理．斜三角形解法． 数学探索?版权所有www.delve.cn考试要求： 数学探索?版权所有www.delve.cn（1）理解任意角的概念、弧度的意义能正确地进行弧度与角度的换算． 数学探索?版权所有www.delve.cn（2）掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义；了解余切、正割、余割的定义；掌握同角三角函数的基本关系式；掌握正弦、余弦的诱导公式；了解周期函数与最小正周期的意义． 数学探索?版权所有www.delve.cn（3）掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式；掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式． 数学探索?版权所有www.delve.cn（4）能正确运用三角公式，进行简单三角函数式的化简、求值和恒等式证明． 数学探索?版权所有www.delve.cn（5）理解正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质，会用“五点法”画正弦函数、余弦函数和函数y=Asin(ωx+φ)的简图，理解A.ω、φ的物理意义． 数学探索?版权所有www.delve.cn（6）会由已知三角函数值求角，并会用符号arcsinx\arc-cosx\arctanx表示． 数学探索?版权所有www.delve.cn（7）掌握正弦定理、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形． 数学探索?版权所有www.delve.cn（8）“同角三角函数基本关系式：sin2α+cos2α=1，sinα/cosα=tanα,tanα?cosα=1”．