碰壁分子的平均速率和平均能量
14物理与
Vo1.12No.32002
碰壁分子的平均速率和平均能量
朱曙华赵若云沈抗存
(广西柳州广播电视大学,柳州545001)
(岳阳师范学院物理系,岳阳414000)
(.湖南大学应用物理系,长沙410082)
(收稿日期:20020111)
摘要本文对气体系统内的碰壁分子的平均速率和平均能量为什么会大于系统内
分子的平均速率和平均能量进行了定性解释,并求出了这两类不同平均值
之间的一般关系,最后针对经典理想气体算出了定量结果.
关键词概率;平均速率;碰壁分子的平均速率
AVERAGEVELoCITYANDAVERAGEENERGY
oFTHEMEETINGMoLECULE
ZhuShuhuaZhaoRuoyunShenKangcun.
fTheBroadcastTelevisionUniversityinLiuzhouofGuangxi.Liuzhou515001) (ThePhysicsDepartmentofYueyangTeachers'TrainingCollege.Yueyang411000) (.TheAppliedPhysicsDepartmentofHunanUniversity,Changsha410082) AbstractWeexptainedqualitativelythedifferenceoftheaveragevelocityandthe averageenergybetweenthemeetingmoleculeinsidetheairsystemandtheaverage velocityandaverageenergyofthemoleculeinsidethesystem.Weobtainedthe generalrelationbetweenthesetwodifferentaveragesandquantitativeresultsfor idealgas.
KeyWordsrate;averagevelocity;averagevelocityofmeetingmolecule 我们用和e来
示单原子分子理想气
体系统内分子的平均速率和平均能量,用
和e来表示碰壁分子的平均速率和平均能
量.一些初学者往往凭直觉认为和以 及e和e应该是相等的,即使经过定量计算 得出>和,>,后也仍感到困惑.下面 我们将对此作出定性解释,并求出两类平均 值之间的关系,最后针对经典理想气体算出 和碰的定量结果.
1定性解释
和e是对全体分子的平均,和e是
对部分分子即碰壁分子的平均."部分"不等 于"全体",一般也不同于"全体".因此对"部 分"的平均不一定总会等于对"全体"的平均 (关键在于"部分"是怎样从"全体"中挑选出 来的!),所以?和,?,应该是可以理 解的.
本文所指的"部分"是通过"碰撞器壁"的
物理与工程Vo1.12No.3200215 方式从"全体"中挑选出来的,而我们知道,分 子的速率愈大(相应地能量也愈大),碰壁的 概率也愈大,自然对和e的贡献也会愈 大,因此必然会导致>和,>,.我们还 可举一个既直观又形象的例子来说明这一结 果.设在一个有限的一维容器中盛有两个粒 子"1"和"2",它们的速率和能量分别为,, 11
和2,,2,因此一?(l+2),,=?(,l+厶厶 ,:).很明显,只要?2,就一定有碰>和 e>e.为了便于想像,我们进一步假定》 .(自然e》e?),则在相同的时间间隔内粒子
1的碰壁次数将远大于粒子2的碰壁次数,因 此对碰和e的贡献主要来自粒子1,于是有 ,
73?l>和?,l>.
2两类平均值之间的关系
2.1嚏=+1/l,
根据气体的各向同性可知,分子的速度 分布律仅与速度的大小有关,而与速度的方 向无关.若我们用_厂()d来表示分子的速率 处在—+dv间隔内的概率,则—
r11r
I()dv和,一去优.一告I.()dv.但?厶厶J 如果要求的是碰壁分子的平均速率碰和平 均能量E,则考虑到速率大的分子碰壁的慨 率也大,可认为系统内任一分子的速率处在 —
+d间隔内同时又能碰壁的概率将要与 和,'()dv的乘积成正比
P(73)d73.C73f(73)d73(1)
由上式可得
——f"P()df,一-()d一
J_Pdv一d,vI碰()I'()
73碰一或:碰一戥
:
或:_==旦
一
等或一戥
—
_
面
'
'
(3)
(4)
(4)
f1一(5)\碰/
式(5)告诉我们,碰壁分子速率倒数的平均值 同系统内分子速率平均值的倒数总是相等 的.但要注意,只要分子速率具有某种分布 (即不全都相等),()和以及()和\,\肼,础 一
般是不相等的.
2.2l,>
我们知道,只要分子的速率不全都相等 就必定有
(一).一,?一:>0(6) 再根据式(3)知
利用式(6)可得
.
>
将它代入(73--).—.+一2??中,得 (一百)<一73.?
只要不全都相等,又因?0,必有(,一) >0,于是由上式又可知
\>.
在此基础上运用归纳法,即可证明 >.
再结合式(2)可得
>(8)
上式也包含了>和>一.U2(或>,)的 结果在内.
__=
73n+
_
1
3定量结果_定量结果'一…'.
(2)
该式表明.速率的幂函数对碰壁分子的平均值可 通过速率的幂函数对全体分子的平均值表示出 来,因此只要求出了后者也就知道了前者. 我们只要在式(2)中分别令"取不同的 值,就可得
3.1气体分子具有相同的速率l, 由式(2)得
一73
于是有:,一:一或,一,,这是叮
以予料得到的结果.
(下转第26页)
26物理与工程Vo!.12No.32002 S—AS一(AS)M一/77.2S?一7nS 一m:(S2一S)
一7n2[cIn(T?/T)一Rln(P2/p)] 一
0.83(1.0041n1.4—0.2871ln0.5) 一0.83×0.5368
—
0.4456(kJ/K)
(式中:C一定压质量比热,kJ/(kg?K)) ,一丁S一300×0.4456—133.67(kJ),即 系统的有效能损失为133.67(kJ). 读者可用传统方法试算,最终结果完全 一
样.但是使用外界分析法显然概念清晰,可 以大大简化计算步骤,其优点十分明显. 3讨论
外界分析法突破了对开口系统的传统分 析方法,把质量交换当作一种独立的相互作 用量来处理是外界分析法的一大特点.跨越 边界的质量称为质量流,它表示质量交换对 系统质量变化的贡献.质量流的能流(AE), 熵流(AS)M分别表示质量交换对系统能量, 熵值变化的贡献.外界分析法提出这些新概 念,抓住了质量跨越边界这个根本特征来分 析开口系统,从根本上改善了对开口系的传 统分析方法,其物理意义更加明确.外界分析 法的另一大特点是重视对系统与外界之间的 相互作用量的分析,充分强调了作用量的独 立性,针对性,相互性.这样做概念明确,计算 简便,还可避免常见的正负号错误.在求解用 一
般传统方法解起来比较繁琐的开口系问题 时,外界分析法不失为一种简便,快速的好 方法.
参考文献
[1]刘桂玉等.1+程热力学.高等教育出版社.】989.11
(上接第15页)
3.2经典理想气体
经典理想气体服从麦氏速率分布 一
4()一e知(9)
利用上式可求出
(10)
一
(2kT)…)
一
()i(12^/…'
将它们代入式(2)可得
一
(2kT)"_(?
一
("+…(2kT)(14)
(15)
令式(14)中的"一1,得
一
4kT(16)
I77
或e==2kT(16)
以上结果也可先利用式(9)求}"73和.后. 再由式(3)和式(4)得到.
我们知道.在一般文献上通常是先利用 麦氏速度分布函数求出单位时间内碰到单位
面积器壁上且速率处,+dv间隔内的 分子数
N()d一"()一e黄L!.d(17) 然后利用上式来求73,或e.这同我们的
方法在本质上是一样的.因为只要将 _厂()d理解为是麦氏速率分布函数(9),式 (1)也就具有式(17)的相同形式,比例系数在 这里是无关重要的,因它在平均值
中的 分子,分母中会相互约去.(完)