欧拉公式及其应用

欧拉及其应用 i,摘要:本文用极限方法证明了欧拉公式，并e,cos,，isin,指出了它的一些应用。 i,1748年，欧拉在其著作中陈述出公式:(为e,cos,，isin,,任意实数，为虚数单位)，欧拉公式在数学的许多定理的证明和计算i 中，有着广泛的应用，它将定义和形式完全不同的指数函数与三角函数联系起来，为我们研究这两种函数的有关运算及其性质架起了一座桥梁。简单说明欧拉公式在高等数学某些部分中的应用，从而简化了常规方法的烦杂。在高等数学教学中，把棣美其名曰弗公式和二项式定理结合使用，可以解决用正弦或余弦示大倍角的正弦和余弦等问题。 1 公式的证明 欧拉公式的证明，有各种不同的方法，好多《复变函数论》教科上，是以复幂级数为工具，定义复变指数函数和复变三角函数来进行证明的。这里我们采用极限法给予证明。 ,n证明 令 (,,R,n,N)。 f(z),(1，i)n 首先证明 。 limf(z),cos,，isin,n,, ,,n因为 arg(i，i),narctg()。 nn n2,,,,n2(1，i),(1，i)[cos(narctg)，isin(narctg)]所以 。 2nnnn n2,,,,n2iinarctginarctglim(1，),lim(1，)[cos()，sin()]从而 . 2,,,,nnnnnn n2,2,(1，)P(i) 令,则 n2n n,2P。 ln,ln[1，()]nn2 1把视为连续变量，由洛必达法则有 ,,n 2,,122,, ， limlnP,limln(1，),lim,0n22,,,,,,00n,,,21， 0即 。 limP,e,1n,,n ,,arctg(),,n,,,,limliminarctg(ii)令，则。 ,arg(1，),,nnn,,,,0nn, ,n故 。书 (1) limf(z),lim(1，i),cos,，isin,,,,,nnn i,其次证明。 limf(z),e,,n ,nln(1，i),,,nn(1，i),e因为，为的主值表， ln(1，i)ln(1，i)nnn ,,,,,,,n,,,,nln1，i，lnarg1，i,,nln1i，,,,,,,,nnn,,,,,,lim1，i,lime,lime所以， ,,n,,n,,n,,n,, ,,limnln1，i,0而，， limnarg(1，i),0n,,n,,nn ,ni,故 (2)。 limf(z),lim(1，i),e,,,,nnn i,由(1)(2)便得:. (证毕) e,cos,，isin, 2 公式的桥梁作用 2.1于纯虚指数值可以通过的三角函数值来计算 ,i,,i2e,cos，isin,i例如:,, e,cos1，isin122 333,,,,i ,ei,cos，isin,,i, e,cos,，isin,,,1222 2k,ie,cos2k,，isin2k,,1(k,0,,1,,2,？) 由欧拉公式可以看出,在复数域内,指数函数是周期函数, 2,i具有基本周期. 2.2任何实数的三角函数可以用纯虚指数表示,从而通过指数函数来研究三角函数的性质. ,i,在欧拉公式中用代,则得. e,cos,,isin,,,, ,,i,i,ee，,,icos,,,,,,，ecosisin,2由得 ,,i,,i,,i,ee,,,ecos,isin,,,,sin,,2, 由上式容易看出正弦函数是奇函数,余弦函数是偶函数. 2.3引出复数的指数表示法,从而使复数的表示法增加为代数形式、三角形式和指数形式三种形式便于我们酌情使用。 i,z,x，yi,r(cos,，isin,),re如图1有:，并由此看出，复数指 数表示是不含加、减运算的紧凑写法，便于求对数。 3公式应用举例 3(1转轴变换 ox如图2.设，分别为复平面上的实轴和虚轴，将坐标轴沿着原oy ox,oy点O依逆时针方向旋转角分别到达的位置，平面与,,ox,oyxoy11 xoyZ平面分别简称Z平面，平面。 111 ,，即，当把它看 设Z平面上任一点z的模为r>0，幅角为z,re, ZZ作时，同图知的幅角是，模仍为r， ,,,11 (,,,)ii,,wi,wii,z,re,re,e,zez,ze所以，即，这就是同一复数在平面Z11 Z和上表示式的互算公式。 1 z,x，yiZ设,是同一复数在和平面上的代数式,将它z,x，yiZ1111们代入上式,并注意使用欧拉公式, x，yi,(x，yi)(cos,，isin,),(xcos,,ysin,)，i(xsin,，ycos,)有.利111111 用复数相等的定义,得出: ,,,,xxcosysin,11 ,y,xsin,，ycos,11, 这就是平面解析几何的转轴公式. 3.2解决一些议程根的问题 cos(narccost),0(n,0,1,2,？) 例1 证明方程 至多有n个根. 0,,,,证明令,设, cos,,t 2ln,n2n则,, sin,,1,te,(cos,，isin,),(t，i1,t) 那么: 2ncosn,cos(narccost),Re(t，i1,t), n2n,224n,422,t，Ct(t,1)，Ct(t,1)，？nn 故是关于t的n 次多项式,所以同代数学基本定理知:cos(narccost) 方程至多有n个根. cos(narccost),0 a,a,？a 例2 设都是实常数,是实变数, ,12n 11若,和,是方程f,(),sin(a，,)，sin(a，,)，？，sin(a，,),1212nn,122 的两个根(其中,和,不全为零).证明:,,,,k,(k为整数). f(,),01122 iaiaiaiaiaia(，,),(，,)(,，),(,，)(,，),(,，)nn1122eeeeee,,,f(),,，，？， 证明 n22i2i2i ia,iaiaia,ia,iann1212eeeeee,i,i,,,i(，，？，)e，i(，，？，)e 22nn222222 iaiaian12eee,(),,i，，？，令, 2n222 iaiaia,,,n12eee,,(，，？，)i . 2n222 i,,i,,e，,e,0则f(,),0化为.由三角不等式知 iaiaiaiaiaiann1212eeeeee ,,，，？，,,,？,2n2n222222 1111 ,,,？,,, 2nn2222 ,,0所以复常数, 同理复常数. ,,0 ,,,f(,),0, 又分别满足方程即 12 i,,i,11f(,),,e，,e,0 , 1 i,,i,22f(,),,e，,e,0 . 2 ,,i,i11ee()()i,,,,i,,,112e,e,2isin(,,,),0可见行列式=,从而必存在12i,,i,22ee . 整数k使,,,,k,12 3.3 探求一些复杂的三角关系式 例3利用欧拉公式大降幂 正弦大降幂: ix,ix,ee33sinx,() 2i 1i3xi2x,ix,i2x,i3x,[e,3e,e，3e,e] 3(2i) 33ix,ixix,ix1e,ee,e1 ,[,3,],(sin3x,sinx)222i2i(2i)(2i) ix,ixe,e44sinx,()2i 1i4xi3x,ix12x,12xix,i3x,i4x,[e,4e,e，6e,e,4e,e，e] 4(2i) 21,[cos4x,4cos2x，,6]42(2i) ix,ixe,e55sinx,()2i 1i5xi4x,ixi3x,i2xi2s,i3xix,4ix,i5x,[e,5e,e，10e,e,10e,e，5e,e,e]5(2i) 1,[sin5x,5sin3x，10sinx]4(2i) 综上:正弦大降幂规则如下 (1) 括号前的系数视n的奇偶而定; 2当n=2m时系数为 2m(2i) 1当n=2m+1时系数为 2m(2i) 了 (2)括号内符号正负相同; , (3)当n=2m时括号内各项均为余弦,依次为cos2mx 11m,1mCcos(2m,2)x？Ccos2x,.当n=2m+1时,括号内各项均为正弦,C2m2m2m2 12m,1Csin(2m,1)xCsin(2m,3)x？Csin3x依次为, ,,, sin(2m，1)xm，m，21212m，1mCsinx 2，1m 2n2n例4 试把和分别表示1,的线cos2,,cos4,,？,cos2n,cos,sin, 性组合. ,,,ii2n1e，e,,2n2nki(2n2k)cos,,(),Ce解 ,注意到 ,2n2n22,k0 2nn,1,,ki(2n,2k)m,(2n,2k)Ce,Ce,得到 ,,2n2nk,n，1m,0 n,11,2nnki(2n,2k),i(2n,2k)cos,,[C，C(e，e)],故有 ,2n2n2n2k,0 n,112nnkcos,,[C，2Ccos2(n,k),] . (3) ,2n2n2n2k,0 ,在(3)中用,,代得 ,2 n,112nnn,kksin,,,[C，2(,1)Ccos2(n,k),] ( ,2n2n2n2k,0 由以上不难看出，如果不借复指数这一工具，而试图通 过纯三角运算直接领导这些关系式，乃是相当麻烦的甚至是 很困难的( 4结束语 三角级数求和是一个复杂的问题.本文的方法奇谈怪论是利用欧拉公式化三角级数求和为指数函数求和,利用等比级数求出指数函数的和,最后再分离出实部、虚部，可一次求出两个三角级数的和.这是 本法优点.本法中用到的欧拉公式,在中学范围内无法证明,这是本方法的一个不足之处. 参考文献 , 钟玉泉编(复变函数(第,版)(北京:高等教育出版社，1988 , 陈友权、蒋绍惠编。解析函数论基础(北京:北京师范大学出版社，1987