DVD在线租赁

DVD在线租赁 基于数理分析的DVD在线租赁系统 摘 要 本文研究了DVD在线租赁的相关问题。 在问题一中，我们建立了线性规划模型。在模型中我们假设每天归还的DVD数量服从以为参数的指数分布，通过DVD的愿意观看人数与时间的约束，我们列出a LINGO了目标函数与约束条件，并给参数赋值为1.4，再利用求解。最终我们a 得到第一问中需要1640张DVD1，而第二问中需要598张DVD1。如果网站可以统计归还的历史数据，以此求得更加准确的归还函数，我们的模型准确度会更加具有客观性。 在问题二中，我们需要得到个会员对个DVD的分派，即文献一中的指派ji 问题，以此我们建立了0-1整数规划模型。将目标函数和约束条件列出后，我们 LINGO利用求解得到前30位会员的DVD分派表(表7)。通过误差分析，每个会 2.75员获得每张DVD的平均满意度都在左右，从平均值来看会员对于自己所获得的3张DVD满意度较高。所以该模型具有较大效益和可操作性的。 问题三实际的问题一与问题二的结合，假设每个会员一种DVD只借一次，对1000个会员分别想要100种不同种类的DVD的人数进行数据处理，类比问题一 LINGO和问题二的建模方法，建立多目标规划模型，通过软件把约束条件转换为程序语句，得出了不同种类DVD分别需要进购的数量(表9)以及分派给1000个会员的方案。 在第四问中，我们深度分析了在DVD租赁中会遇到的值得研究的问题，给出了信誉度的定义。在综合考虑满意度，信誉度，及DVD数量后，我们建立多目标规划模型。 LINGO关键词:线性规划 0-1规划 多目标规划 摘要里面。不要出现模型和表格， 一、问题的重述 1 随着信息时代的到来，网络成为人们生活中越来越不可或缺的元素之一。许多网站利用其强大的资源和知名度，面向其会员群提供日益专业化和便捷化的服务。例如，音像制品的在线租赁就是一种可行的服务。这项服务充分发挥了网络的诸多优势，包括传播范围广泛、直达核心消费群、强烈的互动性、感官性强、成本相对低廉等，为顾客提供更为周到的服务。 考虑如下的在线DVD租赁问题。顾客缴纳一定数量的月费成为会员，订购DVD租赁服务。会员对哪些DVD有兴趣，只要在线提交订单，网站就会通过快递的方式尽可能满足要求。会员提交的订单包括多张DVD，这些DVD是基于其偏爱程度排序的。网站会根据手头现有的DVD数量和会员的订单进行分发。每个会员每个月租赁次数不得超过2次，每次获得3张DVD。会员看完3张DVD之后，只需要将DVD放进网站提供的信封里寄回(邮费由网站承担)，就可以继续下次租赁。我们需要建立数学模型并且考虑下列问题: 1) 网站正准备购买一些新的DVD，通过问卷调查1000个会员，得到了愿意观看这些DVD的人数(表1给出了其中5种DVD的数据)。此外，历史数据显示，60%的会员每月租赁DVD两次，而另外的40%只租一次。假设网站现有10万个会员，对表1中的每种DVD来说，应该至少准备多少张，才能保证希望看到该DVD的会员中至少50%在一个月内能够看到该DVD?如果要求保证在三个月内至少95%的会员能够看到该DVD呢? 2) 表2中列出了网站手上100种DVD的现有张数和当前需要处理的1000位会员的在线订单，如何对这些DVD进行分配，才能使会员获得最大的满意度?我们需要具体列出前30位会员(即C0001~C0030)分别获得哪些DVD。 3) 继续考虑表2，并假设表2中DVD的现有数量全部为0。如果我们是网站经营管理人员，我们该如何决定每种DVD的购买量，以及如何对这些DVD进行分配，才能使一个月内95%的会员得到他想看的DVD，并且满意度最大? 4) 如果我们是网站经营管理人员，觉得在DVD的需求预测、购买和分配中还有哪些重要问题值得研究?请明确提出问题，并尝试建立相应的数学模型。 表1 对1000个会员调查的部分结果 DVD名称 DVD1 DVD2 DVD3 DVD4 DVD5 愿意观看的比例 20% 10% 5% 2.5% 1% 2 表2 现有DVD张数和当前需要处理的会员的在线订单(表格格式示例) DVD编号 D001 D002 D003 D004 … DVD现有数量 10 40 15 20 … C0001 6 0 0 0 … 会员C0002 0 0 0 0 … 在线C0003 0 0 0 3 … 订单 C0004 0 0 0 0 … … … … … … … 注:D001~D100表示100种DVD, C0001~C1000表示1000个会员, 会员的在线订单用数字1,2,„表示，数字越小表示会员的偏爱程度越高，数字0表示对应的DVD当前不在会员的在线订单中。 二、符号的定义 符号 D 现有的DVD数量 k C 会员满意度 ij C系数矩阵 会员的标号 i j DVD的种类 网站对DVD购买的量 z M 会员的总数 三、模型的假设 1. 假设会员都能严格的做到只有把租赁到DVD还掉，才能继续在网站租赁。 2. 假设会员的观看意愿都是真实可靠的。会员的调查结果反映10万会员的 要求和喜好。 3. 假设每个会员每月都会提交订单。 3 4. 假设每天的DVD流动情况都较为均衡。 5. 假设会员在租赁的过程中DVD没有损坏。 6. 假设每张DVD的价格都是一样的。 7. 一个月30天 等待的时间不会影响会员的满意度 四、问题分析 问题一中，要求我们根据网站的会员情况以及问卷调查得到的历史数据，计算出对表1中的每种DVD来说，应该至少准备多少张，才能保证希望看到该DVD的会员中至少50%在一个月内能够看到该DVD?如果要求保证在三个月内至少95%的会员能够看到该DVD呢? 因此，本问题就简化成了求最小值的最优化问题，即线性规划的问题。我们首先需要确定问题的决策变量，其次建立模型的目标函数和允许取值的范围(约束条件)，所以我们需要建立一个线性规划的模型。我们合理的假设会员每天归 a还DVD的数量服从以参数为变量的指数分布。再由决策变量，目标函数以及约束条件之间的联系求解模型，我们还可以建立第二种模型，假设60%的会员每月租赁DVD两次，而另外的40%只租一次，且需要租赁2次的会员在本月末之前必须归还，考虑DVD所需要准备购买的数量就是DVD被租借的次数。我们可以分析，对模型的假设会直接影响到模型的合理性和经济性。 问题二中，要求我们根据表2给出的100种DVD的现有张数和当前需要处理的1000位会员的在线订单，对这些DVD进行分配，使得会员满意度最大。并且具 C0001~C0030体列出前30位会员(即)分别能够获得哪些DVD。 在这个关于DVD分派的问题上，网站为了使得每个会员都最大可能的能看到自己最想看到的3张DVD，希望能把目前DVD的现有张数最合理的分派给每个会员，尽可能满足大部分会员的要求，以发挥DVD最大的利用率。所以，我们在决定决策变量后，需要确定约束条件，再建立目标函数，从而得到系数矩阵(效益 LINGOC矩阵)建立一个0-1规划模型。把附件中的表2导入到软件中，可以ij 求得会员的最大满意度，最终得出现有的100种DVD派给1000个会员的具体最合理的分派。同理，得出前30个会员分别能够获得的3种DVD。因为我们要使得会员获得最大满意度，所以对结果检验，应该是检验能够满足会员得到自己想要的3张DVD，所以我们所求得结果需要尽可能的让每个会员的满意度最大。 问题三，是问题一和问题二的综合，假设表2中DVD的现有数量全部为0。要求 4 我们为了一个月内95%的会员得到他想看的DVD，决定如何每种DVD的购买量，如何分配，使会员获得最大满意度? 这是一个多目标的问题，我们希望网站会员获得最大满意度，同时也希望网站需要准备DVD数量最少，不至于造成DVD资源的浪费，还希望95%的会员都能看到自己想看的DVD，满足一个月内的租赁量。首先我们需要对附件中表2进行数据处理，得到问卷调查的1000个会员对100种不同种类的DVD分别想要的人数，再按照会员的偏爱程度，分配3张DVD给一个月内95%的会员。因为60%的会员每月租赁DVD两次，而另外的40%只租一次。我们随机产生600个数，并且重新编号为1到600的会员，并且假设他们每月租赁DVD两次，其余每月只租一 LINGO次。建立多目标规划模型，通过软件把约束条件转换为程序语句，求解模型，再检验模型是否能使会员获得较大满意度，购买的DVD数量最少等。 问题四中，如果你是网站经营管理人员，你觉得在DVD的需求预测、购买和分配中还有哪些重要问题值得研究,请明确提出你的问题，并尝试建立相应的数学模型。 在DVD的需求预测、购买和分配中，除了本题所需要考虑的因素外，还有其他的不确定因素会影响DVD的库存和借出，比如会员是否能按时归还DVD。在归还DVD的问题中，由上所建立的模型我们可以看出，归还的时间越短，DVD的利用率就越高，即借出的次数越多，成本就越低。但是有可能发生有人不能按时归还的情况，在这里我们可以根据每个会员不按时归还次数和借出次数的比来定义一个变量，并命名为信誉度。信誉度从一到十取整，且数字越小，信誉度越高。 五、模型的建立与求解 5.1问题一 5.1.1模型的准备 问题一实际就是一个求最小值的最优化问题。保证希望看到该DVD的会员看到该DVD，我们所需要准备的DVD数最少是多少张，以减少成本。对于DVD1来说，需要根据会员对DVD1的偏爱程度比例进行分配。 因此，一个月内至少50%的会员愿意看DVD1的人数为: 100000，20%，50%,10000 三个月内至少95%的会员愿意看DVD1的人数: 100000，20%，95%,19000 同理，愿意看其他DVD的人数如表3: 5 表3 对1000个会员调查的部分结果 DVD名称 DVD1 DVD2 DVD3 DVD4 DVD5 一个月内的人数 10000 5000 2500 1250 1000 三个月内的人数 19000 9500 4750 2375 1900 5.1.2模型一的建立与求解 (1)模型的建立 首先我们需要确定问题的决策变量，其次再建立模型的目标函数和允许取值的范围(约束条件)，由于目标函数和约束条件都是线性函数，所以我们建立一个线性规划模型。 根据题意，我们需要最大化DVD的利用率使得网站利益最大化，即在DVD归还之后第二天立即租赁出去。由于题目未给出每天会有多少会员归还DVD，但是我们知道DVD归还数量是一个递增函数，在这里我们假设每天归还DVD数量服 kaa从以为参数的指数分布，为总的天数，为DVD所能满足的会员人数，设AB 当天时，每天归还的DVD总数达到DVD购买的数量。 m 建立的数学模型有以下三个步骤: ? 根据影响所要达到的因素找到决策变量， s 第天的库存数(可租赁量) kk x 第天的归还数 kk ? 根据决策变量和所要达到目的之间的函数关系确定目标函数， mminZ,a ? 根据决策变量所受的限制条件确定决策变量的所要满足的约束条件。 ka,Z mm01，， 1.2.1 ，，fx,a，a，a，？，a(A,m),Bkk (2)模型的求解 1) 一个月的情况 约束条件: ka,Z 01m，，fx,a，a，？，a(30,m，1),10000，，1.2.2 kk a,1.4根据相关文献，我们取参数，为了满足一个月内50%的会员的租赁问 m,22m题，第天时，归还的DVD总数达到DVD购买的数量。此时，说明当这 6 个月的第22天时，DVD的归还量已经可以满足本月的租赁数量，可以保证每位会员都能收到自己的订单。购买的DVD数量是根据所能归还的DVD数量决定的。 因此，DVD1需要购买的张数为: m22 a,1.4,1640 根据表3的调查比例得到: 1640，50%,820DVD2需要准备的张数: 1640，25%,410DVD3需要准备的张数: 同理，得到的结果如下表: 表4 一个月内50%的会员能够看到的DVD数 DVD名称 DVD1 DVD2 DVD3 DVD4 DVD5 需要准备的张数 1640 820 410 205 82 2)三个月的情况 约束条件: ka,Z 01m，，fx,a，a，？，a(90,m，1),19000 ，，1.2.3kk 为了满足三个月内至少95%会员能够看到DVD1，第天时，归还的DVD总数m m,19达到DVD购买的数量。此时，所以DVD的归还量已经可以满足需要准备购买的DVD数量。 所以，DVD1需要购买的张数为: m19a,1.4,598 同理，对于其它4个种类的DVD同样适用，得到的结果如下表: 表5 三个月内至少95%的会员能够看到的DVD数 DVD名称 DVD1 DVD2 DVD3 DVD4 DVD5 需要准备的张数 598 299 150 75 30 人是固定的，但是比例不变。(从DVD的角度来看)不妨假设，每个会员每 月第一天，提交订单。(概率问题) 理论分析，DVD每月被看次数，服从两点分布，且独立同分布，利用中心极 限定理。 5.1.3模型二的建立与求解 (1)一个月的情况 我们假设60%的会员每月租赁DVD两次，而另外的40%的会员只租赁一次， 7 且需要租赁两次的会员在本月末之前必须归还，以便再本月进行第二次租赁。考虑DVD所需要准备购买的数量就是DVD被租借的次数。 设: 第一次租赁的会员 X 第二次租赁的人 Y 根据我们假设的情况，每月会租赁DVD两次的会员所租赁的DVD归还后，会被二次租赁出去，给其他会员，但每月只租赁DVD一次的会员的DVD不会被二次租赁。能被二次租赁的DVD只能来源于第一次租赁的会员人数的60%，当会租赁DVD两次的会员全部归还给网站后，DVD的利用率达到最大。此时有: Y,0.6X 总的租赁次数满足: X，Y,X，0.6X,1.6X,10000 那么60%的会员利用了两次DVD，40%的会员利用了一次DVD，所以一个月内 XDVD被利用次数为1.6，此时的取值为DVD所需要准备购买的数量: 10000X,,6250 1.6 得到结果如表5: 表5 一个月内50%的会员能够看到的DVD数 DVD名称 DVD1 DVD2 DVD3 DVD4 DVD5 需要准备的张数 6250 3125 1563 782 625 (2)三个月的情况 我们可以类比一个月的情况，三个月中每个月的情况都是一样的。所以，每个月的总的租赁次数满足: 19000X，Y,X，0.6X,1.6X,,6334 3 X此时的取值为DVD所需要准备购买的数量: 6334X,,3959 1.6 得到结果如表6: 表6 三个月内至少95%的会员能够看到的DVD数 DVD名称 DVD1 DVD2 DVD3 DVD4 DVD5 需要准备的张数 3959 1980 990 495 396 8 5.1.4模型的结果分析 通过对模型一和模型二的求解，最终得到的需要购买的DVD数量不同。由于我们对模型的假设不同，所以才会有两个不同的结果。模型一中，归还量确实是一个递增函数，因此对于模型假设是合理的;模型二的假设同样也是在理解范围内。会员的提交订单的情况不会完完全全按照理想分布，所以，模型一和模型二的假设都是近似符合事实。 当然，会员的观看意愿都是真实准确可靠的，但同样具有一定的系统误差，排除在统计1000个会员时的人为误差因素，以及其他不可避免的误差因素的影响，结果的误差是在情况的允许范围内的。如果网站可以根据历史经验，得到更准确的归还函数，我们的模型会更具有可信度，会更具科学性和客观性。 5.2问题二 为了使得每个会员都尽可能的能看到自己最想看到的3张DVD，就目前100种DVD的现有张数，发挥最大利用率能够满足当前1000位会员的在线订单，使得会员获得最大满意度。所以我们决定建立一个0-1规划模型。 5.2.1模型的建立--0-1规划模型 Xj设决策变量表示第个会员得到的第张DVD，即: iij 1,当第i个会员得到第j个DVD时，, ,X,1,i,1000， 1,j,100ij0,当第i个会员没得到第j个DVD时，, 每个会员得到的自己喜欢的3张DVD的约束为: X，X，？，X，X,3,,1112ij1100,X，X，？，X，X,3,,2122ij2100，， 2.1.1 ,？？？？？？？？, ,X，X，？，X，X,3,1000110002ij1000100, 每张DVD都有会员得到的约束为: X，X，？，X，X,D,,1121ij1001j1,X，X，？，X，X,D,,1222ij1002j2，，2.1.2 ,？？？？？？？, ,X，X，？，X，X,D,1100021000ij1001000j1000, 我们记系数矩阵为: 9 ，，C,Cij 矩阵内的数值即为附件表2所给偏爱程度数值。 由于附件表2中会员除自己最想要看的DVD外，其余90张中都是用“0”来 LINGO表示，在软件输入时为了更好的识别，并且考虑到数字1到10的含义，我们用“11”代替“0”来求解会员的满意度。于是得到目标函数为满意度最大，由于附件表2中表示会员满意度的数字越小表示会员的偏爱程度越高，即满意度数值越小会员满意度越高。建立模型得到: 1000100 minZ,CX,,ijij,,i1j1 约束条件集合为: ,100X？,,(3i1,2，，100)，ij,,j,,1,1000stXD？k？,,,..(j1,2，，1000,1,21000)，,ijk ，，2.1.3,i,,1,，,X？,,0或(1i，j1,2，，1000)ij, 5.2.2模型的求解 LINGO把附件中的表2导入到软件中，把约束条件转换为程序语句(见附录1)。用枚举法的方法用语句产生迭代求解，计算得出会员的总满意度为for 8245。从而得到了对现有的DVD数量的分派方案。同理得出前30位会员分别获得的DVD种类，如下表: 表7 前30位会员分别获得的DVD种类 会员 DVD种类 会员 DVD种类 C0001 C0016 D008 D041 D098 D010 D084 D097 C0002 C0017 D006 D044 D062 D047 D051 D067 C0003 C0018 D032 D050 D080 D041 D060 D078 C0004 C0019 D007 D018 D041 D066 D084 D086 C0005 C0020 D011 D066 D068 D045 D061 D089 C0006 C0021 D019 D053 D066 D045 D050 D053 C0007 C0022 D026 D066 D081 D038 D055 D057 C0008 C0023 D031 D035 D071 D029 D081 D095 C0009 C0024 D053 D078 D100 D037 D041 D076 10 C0010 C0025 D041 D055 D085 D009 D069 D081 C0011 C0026 D059 D063 D066 D022 D068 D095 C0012 C0027 D002 D031 D041 D050 D058 D078 C0013 C0028 D021 D078 D096 D008 D034 D082 C0014 C0029 D023 D052 D089 D026 D030 D055 C0015 C0030 D013 D052 D085 D037 D062 D098 5.2.3模型的结果分析 求解结果的可行性是对我们建立的模型最贴切的结果检验。我们可以认为会员获得的满意度，决定着模型结果的可信度。因此，如果会员得到自己想要的DVD的机率减低，说明会员获得的满意度并不是很高，网站的价值也随之降低。所以我们所求得结果尽可能的让每个会员的满意度最大。 LINGO8254通过软件计算得到的会员的总满意度为，那么，每个会员获得每张DVD的平均满意度为: 8254,1000,3,2.75 ，，2.3.1 由题意可知，问卷对1000个会员调查100种不同种类的DVD的偏爱程度，分别用数字1到10表示会员对DVD偏爱程度，数字越小表示会员的偏爱程度越高，数字0则表示对应的DVD当前不在会员的在线订单中。所以每个会员获得每 2.75张DVD的平均满意度都在左右，从平均值来看会员对于自己所获得的3张DVD满意度较高。会员们得到自己想要看到的DVD的分派方案，满足了会员的需要，在大多数情况下，这些假设总是近似符合事实的(否则模型就会出现不符合实际的错误，而不是误差)。因此，排除客观条件因素外，所建立的模型是合理的，该模型具有较大效益和可操作性的。 5.3问题三 这是一个需要考虑多目标的问题，我们既希望网站会员获得最大满意度，也希望网站需要准备DVD数量最少，不至于造成DVD资源的浪费，还希望95%的会员都能看到自己想看的DVD，满足一个月内的租赁量。因此，我们可以把问题简化为一个多目标规划的问题，建立一个多目标规划模型。 5.3.1模型的建立--多目标规划模型 由于网站统计的历史数据显示60%的会员每月会租赁DVD两次，而另外的40% 11 每月只租赁一次。我们在1000个会员中，随机产生600个会员，重新编号为1到600，并且假设他们每月租赁DVD两次，其余601到1000的会员，每月只租赁一次。换句话说，也就是1000个会员里面有600个会员每月会得到自己想看的DVD中的6张，其余400个会员每月会获得自己想看的DVD中的3张。 所以，建立多目标规划模型的思路为: 首先我们假设每个会员一种DVD只借一次，其次我们需要对1000个会员分别想要100种不同种类的DVD的人数进行数据统计与处理，得到的结果如表7(见附件2): 表8 分别想要获得的不同种类DVD的人数(部分) DVD编号 先要看的人数 满足95%的人数 D001 84 80 D002 92 88 D003 87 83 D004 99 95 D005 78 75 D006 87 83 D007 87 83 D008 100 95 D009 93 89 D010 90 86 (1)第一次分派: Z第一次分派时，网站经营管理人员根据最开始的库存量，对1000个会员分别进行分派，已到达每个会员都能获得自己想要观看的DVD，使每个会员都能 XXj获得最大的满意度。此时，我们设决策变量，表示第个会员得到的第张iijij DVD，即: 1,当第i个会员得到第j个DVD时，, ,X,1,i,10001,j,100， ij0,当第i个会员没得到第j个DVD时，, 目标函数为会员的满意度最大，即: 1000100 minZ,CX ,,ijiji,,1j1 12 每个会员得到的自己喜欢的3张DVD的约束条为: ，，，，,3,XX？XX,1112ij1100,，，，，,3,XX？XX,2122ij2100 ,，，3.1.1？？？？？？？？, ,X，X，？，X，X,3,1000110002ij1000100, 要求DVD都的约束为: 1000, Xi,,1,,i,1,Zmin,1000 ，，3.1.2,,Xi,100,j,,1 记系数矩阵为: ，， C,C1ij 矩阵内的数值即为附件表7所给想要获得的不同种类DVD的人数的数值。 建立的模型为: ,100X？,,(3i1,2，，100)，ij,,j,,1,1000stXD？k？,,,..(j1,2，，1000,1,21000)，,ijk ，， 3.1.3,i,,1,，,X？,,0或(1i，j1,2，，1000)ij, (2)第二次分派: 第二次分派时，因为只有60%的会员会归还获得的DVD(即此时的库存量)，也只有归还了DVD的会员才能继续租赁新的DVD，所以600个会员会重新租赁都能获得自己想要观看的DVD，使每个会员都有较大的满意度。同理，对于第二次 XXj分派，我们设决策变量，表示第个会员得到的第张DVD，即: iijij 1,当第i个会员得到第j个DVD时，, ,X,1,i,6001,j,100， ij0,当第i个会员没得到第j个DVD时，, 目标函数为会员的满意度最大，即: 13 600100 minZ,CX,,ijij,,i1j1 每个会员得到的自己喜欢的3张DVD的约束条为: 100,,X3j,,1,,j,1,Zmin, ，，3.2.1600,,,X3j,100,i,,1 要求DVD都的约束为: ,600 Xi,,1,,i,,1,Zmin600 ，，3.2.2,,Xi,100,j,,1 记系数矩阵为: ，， C,C2ij 建立的模型为: ,100X？,,(3i1,2，，100)，ij,,j,,1,600stXD？k？,,,..(j1,2，，1000,1,21000)，,ijk ，， 3.3.3,i,,1,，,X？,,0或(1i，j1,2，，1000)ij, 5.3.2模型的求解 LINGO用软件中，把约束条件转换为程序语句(见附录3)。用语句产for 生迭代求解，每种DVD的购买量如表9: 表9 不同种类DVD分别需要进购的数量 DVD编进购数DVD编进购数DVD编进购数DVD编进购 号量号量号量号数量 D00121D02631D05140D07624 D00236D02726D05226D07720 D00327D02819D05333D07830 D00438D02925D05426D07931 14 D00521D03041D05531D08028 D00628D03129D05632D08129 D00730D03235D05731D08218 D00833D03331D05828D08322 D00935D03431D05934D08419 D01025D03539D06036D08533 D01129D03635D06127D08621 D01231D03721D06231D08734 D01328D03830D06332D08824 D01431D03929D06434D08924 D01527D04028D06532D09027 D01638D04153D06631D09139 D01728D04235D06730D09228 D01826D04326D06835D09324 D01931D04435D06933D09423 D02038D04534D07030D09540 D02134D04625D07136D09624 D02229D04732D07234D09736 D02335D04825D07325D09832 D02422D04932D07431D09918 D02529 34D07528D10035 D050 对于1000个会员的分派问题，我们得到前30个每月租赁两次DVD的会员， 如表10(附件4)和前20个每月租赁一次的会员，如表11: 表10 前30个每月租赁两次DVD的会员(部分) 会员编号第一次分配的DVD编号第二次分配的DVD编号 C0001D008D082D098D011D041D049 C0002D006D042D044D038D062D071 C0003D004D050D080D031D032D090 C0004D007D018D041D023D049D068 C0005D011D066D068D012D021D034 C0006D016D019D053D061D066D067 C0007D008D026D081D071D082D045 C0008D015D071D099D008D031D035 C0009D053D078D100D017D021D065 C0010D055D060D085D014D041D067 表11 前20个每月租赁一次的会员 15 分配的DVD编号 C0601D049D065D094 C0602D033D035D055 C0603D023D033D096 C0604D033D053D083 C0605D025D027D048 C0606D050D078D080 C0607D020D022D088 C0608D047D060D088 C0609D026D027D061 C0610D041D062D077 C0611D023D035D070 C0612D033D043D074 C0613D030D038D074 C0614D026D030D057 C0615D034D067D069 C0616D033D034D065 C0617D054D081D099 C0618D026D043D100 C0619D028D046D085 C0620D025D032D068 5.3.3模型的检验 我们既希望网站会员获得最大满意度，也希望网站需要准备DVD数量最少，不至于造成DVD资源的浪费，还希望95%的会员都能看到自己想看的DVD，满足一个月内的租赁量。求解结果的可行性是对我们建立的模型最贴切的结果检验。我们可以认为会员获得的满意度，决定着模型结果的可信度。 因此，如果会员得到自己想要的DVD的机率减低，说明会员获得的满意度并不是很高，网站的价值也随之降低。所以我们所求得结果尽可能的让每个会员的满意度最大。计算得到会员的最佳满意度为2.9,每位会员的平均满意度为3.2，由相关资料来看，从平均值来看会员对于自己所获得的3张或6张DVD满意度较高。模型具有一定的可信度。 等权模型，无量纲处理，最大满意度加上最小满意度， 没有考虑第二次分配 方法角度不一样的话，也可以讨论，各种不同解法的比较说明 建模时，可以，建两个模型比较或者模型慢慢改进 16 5.4问题四 在DVD的需求预测、购买和分配中，除了本题所需要考虑的因素外，还有其他的不确定因素会影响DVD的库存和借出，比如会员是否能按时归还DVD。在归还DVD的问题中，由上所建立的模型我们可以看出，归还的时间越短，DVD的利用率就越高，即借出的次数越多，成本就越低。但是有可能发生有人不能按时归还的情况，在这里我们可以根据每个会员不按时归还次数和借出次数的比来定义一个变量，并命名为信誉度。信誉度从一到十取整，且数字越小，信誉度越高。 在已知DVD数量和各个会员的信誉度及满意度的情况下，我们如何分配DVD，使得满意度和信誉度达到最大, 第i个会员的信誉度 Qi Xij 第i个会员分配到第j张DVD 第i个会员对第j张DVD的满意度 Cij 第j张DVD的数量 Dj 5.4.1模型的建立 模型?:仅仅考虑满意度 nm minZ,CX目标函数: ,,ijij ,,i11j m, 3i1,2,？,,,X(m)，,ij,j,,1n,..j1,2,？,,,,stXD(kn)，,ijk,约束条件 : i,,1 ,，,01i,j1,2,？,,,X或(n)ij, 模型?:仅仅考虑信誉度 m minZ,QX ,iji,1j 17 m, 3i1,2,？,,,X(m)，,ij,j,,1n,..j1,2,？,,,,stXD(kn)，,ijk,约束条件: i,,1 ,，,01i,j1,2,？,,,X或(n)ij, 模型?:综合考虑满意度和信誉度，我们对满意度和信誉度分别赋予相同的权重。 nmm minZ,{CX，QX}ijij目标函数: ,,,iiji1,,1j,1mj, 3i1,2,？,,,X(m)，ij,,j,,1n,..j1,2,？,,,,stXD(kn)，ijk,,i约束条件: ,,1 , ，,01i,j1,2,？,,,X或(n)ij, 六、模型的评价和推广 问题一中我们合理地考虑了DVD的归还速率问题，在计算时，能保证DVD最大限度的流通，从而将DVD的购买数量降最低限度，节约了成本。但是，由于我们对于DVD的归还速率并不能真正准确的估计，因而会存在一定的误差。问题二中我们建立的0-1模型，最大限度的满足了题中所给出的约束条件，在使Lingo用软件求解时所编写的程序简单易懂，方便运行。但是，我们只给出了一种分配方案，并没有考虑该问题的最优解的数量，因而，可能存在其他的同为最优解的分派方案。问题四中，我们给出了一个新的参数“信誉度”。根据用户的“信誉度”的高低，决定分配DVD的优先程度。这一举措既能督促用户及时归还DVD，同时也能在一定程度上解决DVD分配的优先问题。在实际的租赁过程中有比较好的实际意义和操作价值。因而我们提出的这个问题是有意义的。论文中的模型都建立在大量的假设条件下，与实际的运营中的情况存在差异。 可以在获取网站的历史归还记录，或自行调查归还数据之后，模拟出归还数量与日期的函数关系。将这个函数关系运用到问题一中，我们将能更准确的求出DVD的最佳进购数量。 18 七、参考文献 [1]袁新生 用LINGO6.0求解大型数学规划 工科数学 2001年10月05期 [2]李伯德 matlab与数学建模 科学出版社 2014:135 [3]何坚勇 最优化方法 清华大学出版社 2007:417 附录 附录1 MODEL: SETS: kc/s1 s2 s3 s4 s5 s6 s7 s8 s9 s10 s11 s12 s13 s14 s15 s16 s17 s18 s19 s20 s21 s22 s23 s24 s25 s26 s27 s28 s29 s30 s31 s32 s33 s34 s35 s36 s37 s38 s39 s40 s41 s42 s43 s44 s45 s46 s47 s48 s49 s50 s51 s52 s53 s54 s55 s56 s57 s58 s59 s60 s61 s62 s63 s64 s65 s66 s67 s68 s69 s70 s71 s72 s73 s74 s75 s76 s77 s78 s79 s80 s81 s82 s83 s84 s85 s86 s87 s88 s89 s90 s91 s92 s93 s94 s95 s96 s97 s98 s99 s100/:SI;～库存数组 yh/a1,a2,a3,a4,a5...a998 ,a999 ,a1000/:AI;～用户数组 YL(yh,kc):c,x;～建立矩阵c和x，行为用户，列为库存 ENDSETS 19 DATA: SI=10,40,15,20,20,...11 11 11 11 11 11 4;～满意度矩阵c ENDDATA MIN=@SUM(YL(I,J):c(I,J)*x(I,J));～规划目标 @for(yh(i): @SUM(kc(j):x(I,J))=3); @for(kc(j): @SUM(yh(i):x(I,J))<=SI(j)); @for(YL(I,J):@Bin(x(I,J)));～限制条件 End 附录2 DVD编号 D001 D002 D003 D004 D005 D006 D007 D008 D009 D010 人数 84 92 87 99 78 87 87 100 93 90 79.8 87.4 82.65 94.05 74.1 82.65 82.65 95 88.35 85.5 能看到95%80 88 83 95 75 83 83 95 89 86 的人数 DVD编号 D011 D012 D013 D014 D015 D016 D017 D018 D019 D020 人数 95 97 85 102 84 94 102 91 100 116 90.25 92.15 80.75 96.9 79.8 89.3 96.9 86.45 95 110.2 91 93 81 97 80 90 97 87 95 111 DVD编号 D021 D022 D023 D024 D025 D026 D027 D028 D029 D030 愿意观看96 101 109 93 89 101 87 83 97 97 的人数 20 91.2 95.95 103.55 88.35 84.55 95.95 82.65 78.85 92.15 92.15 92 96 104 89 85 96 83 79 93 93 DVD编号 D031 D032 D033 D034 D035 D036 D037 D038 D039 D040 愿意观看100 87 91 82 109 97 91 94 87 87 的人数 95 82.65 86.45 77.9 103.55 92.15 86.45 89.3 82.65 82.65 95 83 87 78 104 93 87 90 83 83 DVD编号 D041 D042 D043 D044 D045 D046 D047 D048 D049 D050 愿意观看119 104 93 90 106 94 94 88 91 94 的人数 113.05 98.8 88.35 85.5 100.7 89.3 89.3 83.6 86.45 89.3 114 99 89 86 101 90 90 84 87 90 DVD编号 D051 D052 D053 D054 D055 D056 D057 D058 D059 D060 愿意观看107 91 98 92 97 99 108 77 85 103 的人数 101.65 86.45 93.1 87.4 92.15 94.05 102.6 73.15 80.75 97.85 102 87 94 88 93 95 103 74 81 98 DVD编号 D061 D062 D063 D064 D065 D066 D067 D068 D069 D070 愿意观看94 103 105 108 98 105 90 96 105 101 的人数 89.3 97.85 99.75 102.6 93.1 99.75 85.5 91.2 99.75 95.95 90 98 100 103 94 100 86 92 100 96 DVD编号 D071 D072 D073 D074 D075 D076 D077 D078 D079 D080 愿意观看95 106 85 82 90 86 88 99 82 98 的人数 90.25 100.7 80.75 77.9 85.5 81.7 83.6 94.05 77.9 93.1 91 101 81 78 86 82 84 95 78 94 DVD编号 D081 D082 D083 D084 D085 D086 D087 D088 D089 D090 愿意观看99 77 72 84 90 78 95 73 94 98 的人数 94.05 73.15 68.4 79.8 85.5 74.1 90.25 69.35 89.3 93.1 21 95 74 69 80 86 75 91 70 90 94 DVD编号 D091 D092 D093 D094 D095 D096 D097 D098 D099 D100 愿意观看107 94 93 90 102 78 95 101 80 86 的人数 101.65 89.3 88.35 85.5 96.9 74.1 90.25 95.95 76 81.7 102 90 89 86 97 75 91 96 76 82 附录3 MODEL: SETS: kc/s1 s2 s3 s4 s5 s6 s7 s8 s9 s10 s11 s12 s13 s14 s15 s16 s17 s18 s19 s20 s21 s22 s23 s24 s25 s26 s27 s28 s29 s30 s31 s32 s33 s34 s35 s36 s37 s38 s39 s40 s41 s42 s43 s44 s45 s46 s47 s48 s49 s50 s51 s52 s53 s54 s55 s56 s57 s58 s59 s60 s61 s62 s63 s64 s65 s66 s67 s68 s69 s70 s71 s72 s73 s74 s75 s76 s77 s78 s79 s80 s81 s82 s83 s84 s85 s86 s87 s88 s89 s90 s91 s92 s93 s94 s95 s96 s97 s98 s99 s100/:SI; yh/a1,a2,a3,a4,a5,a6,a7,a8,a9,a10,a11,....a596,a597,a598,a599,a600/:AI; YL(yh,kc):c,x; ENDSETS DATA: SI=10 23 15 26 11 17 15 22 24 12 19 20 17 18 16 21 13 19 15 22 21 17 21 14 18 19 9 10 16 29 22 23 17 18 14 22 11 22 21 18 35 19 16 20 24 12 17 15 21 19 18 15 20 18 21 17 13 17 17 20 19 22 19 21 18 16 16 21 20 12 20 20 17 12 17 15 12 22 20 17 20 14 11 12 20 11 20 15 18 16 31 17 14 15 28 14 27 23 11 19; 22 c=6 ,11 ,11 ,11 ,11 ,11 ,8 ,11 ,11 ,11 ,4 ,11 ,11 ,11 ,11 ,11 ,11 ,11 ,11 ,11 ,11 ,11 ,11 ,11 ,11 ,11 ,11 ,11 ,11 ,11 ,11 ,11 ,11 ,11 ,11 ,11 ,11 ,11..... 11 11 11 11 11 11 ; ENDDATA MIN=@SUM(YL(I,J):c(I,J)*x(I,J)); @for(yh(i): @SUM(kc(j):x(I,J))=3 ); @for(kc(j): @SUM(yh(i):x(I,J))<=SI(j) ); @for(YL(I,J):@Bin(x(I,J))); End 附录4 会员编号第一次分配的DVD编号第二次分配的DVD编号 C0001D008D082D098D011D041D049 C0002D006D042D044D038D062D071 C0003D004D050D080D031D032D090 C0004D007D018D041D023D049D068 C0005D011D066D068D012D021D034 C0006D016D019D053D061D066D067 C0007D008D026D081D071D082D045 C0008D015D071D099D008D031D035 C0009D053D078D100D017D021D065 C0010D055D060D085D014D041D067 C0011D019D059D063D061D066D082 C0012D002D007D031D005D041D098 C0013D021D078D096D049D080D092 C0014D023D043D052D042D046D089 C0015D013D085D088D024D041D052 C0016D006D084D097D010D048D076 23 C0017D047D051D067D005D011D031 C0018D041D060D078D012D044D081 C0019D067D084D086D015D025D066 C0020D045D061D089D018D033D040 C0021D045D053D065D002D025D050 C0022D038D055D057D025D081D095 C0023D029D081D095D036D067D075 C0024D041D076D079D037D043D072 C0025D009D069D094D023D081D090 C0026D022D068D095D008D083D091 C0027D022D042D058D006D038D050 C0028D008D034D082D046D047D057 C0029D030D044D055D026D033D089 C0030D001D037D062D032D070D098 24 许多MM在减肥的过程中困难重重,用尽方法却瘦不下来,其实只有在数不清的技巧,推敲中找到属于跟适合自己的最佳方式,才能在健康的瘦身道路上走下去,下面一些瘦身的小技巧,一定可以帮到你， 1、慢慢吃 我们都曾在美味佳肴面前狼吞虎咽。等你发现自己吃撑的时候,已经为时太晚了。然而当发现自己因为吃得太撑感到不适时总是为时已晚。这是因为,我们的大脑需要大概20分钟,才能接收到“已经吃饱了”的讯息。营养学专家Wesley Delbridge表示。“在吃第二碗饭前,不妨先喝上一杯水,等个十几分钟。”他说,“让你的大脑告诉你,你是否已经吃饱了。“ 2、切碎你的食物 不论是享用牛腩、三文鱼、面包圈还是鸡蛋卷,在食用之间都可以尝试把这些食物切成碎片。近期,美国亚利桑那州立大学的研究表明,被给予切好的面包圈的参与者,比直接食用完整面包圈的参与者,在试验中吃的要少得多。在20分钟后的免费午餐招待中,那些吃面包圈切片的参与者仍然吃的比较少。研究人员表示,预先切好食物能使食用过程中的每一次咀嚼都更加舒适,因此能够一定程度上实现对饮食量的掌控。 3、饭后刷牙、剔牙 “一旦结束午餐或晚餐,应当立刻使用牙刷或者牙线。”匹兹堡Nutrition CheckUp的营养学家Heather Mangieri如此建议 25 道。当你感到牙齿清洁、口气清新时,你就不会再没心没肺的呆在厨房吃个不停了。 久坐族常常都有恼人的“游泳圈”,不仅仅影响美观,还很难减,这可怎么办呢,来看看小编推荐的10个最佳的瘦腰运动吧，总有适合你的一种,还等什么,赶紧动起来吧， 1、简易坐扭转 这个体式可以很好的帮你拉伸脊柱并消除背痛,然后帮你按摩腹部减少腰部的赘肉,来促进消化器官的蠕动。 盘腿坐在一块折叠的毛毯上,骨盆水平,挺直腰背。吸气向上拉长脊柱,随着呼气的时候拉伸着向右后方转,左手放在右大腿上,右手放在身后毛毯边缘,保持30秒,然后收回。相反方向重复同样的动作。 2、半鱼王 这个扭转可以很好的作用在腹部区域,把横膈膜及腹腔带进行一个强烈的扭转,它的扭转力度会非常强大,帮助收紧腰腹肌肉。 这是一个更为高级的扭转体式。我们需要让一腿折叠在下方,让脚掌竖着立在地面上,上面的脚跨过来放在膝盖的外侧,脚尖和膝盖在一条线上,上面腿应该是垂直的。可以把臀部下面垫上一个毯子,以防骨盆不会向后部倒,使背能向上立起来,随 26 着呼气的时候转,同样吸气拉伸脊柱,呼气把中背部推入体内,增加扭转。快速瘦腰一,“椅子运动”像是坐在椅子上那样,双手做扶扶手的姿势,后背靠在椅背上,注意其实没有椅子,只是自己想象着坐在椅子上。之后身体慢慢下蹲,感觉屁屁真的坐在椅子上一样。在做这个动作时腰部要用力,脚的位置不动,让大腿来承受身体的重量。 3、自行车运动 身体平躺在地板上,双手放于脑后,左腿膝盖弯曲并尽量向胸部靠近,右手肘向左腿膝盖靠近,右侧肩榜随之抬起。之后换另一侧重复进行这个动作。 4、交错腿运动 身体平躺在地板上,双腿交叉,双手抱头,之后交叉的双腿慢慢抬起,尽量向上抬,使双腿与地面呈直角,头部也随之慢慢抬起。当抬到最高点时停顿呼吸一次,之后重复进行这个动作。 5、健身球运动 让自己躺在健身球上,使下背部接触健身球,双手交叉放于胸部,也可以抱头。腰部用力抬起上身,使身体离开健身球,注意保持平衡。之后再躺下来,重复进行这个动作,像在健身球上做仰卧起坐一样,对于瘦腰腹很有效果。 6、蜘蛛侠式 这款动作可以运用到腹肌上的全部肌肉,也能兼顾到小腿、大腿、胸部、背部、手臂、肩膀的肌肉。先是俯卧撑的姿势,手 27 臂要伸直,保持手肘和肩膀在同一条直线上,从侧面向前提拉右腿,如图中的方式,让膝盖尽量靠向右臂手肘,到极限的位置时再放下腿,之后换左腿,提拉再伸直,循环反复,两侧各15个算一组。 28 许多MM在减肥的过程中困难重重,用尽方法却瘦不下来,其实只有在数不清的技巧,推敲中找到属于跟适合自己的最佳方式,才能在健康的瘦身道路上走下去,下面一些瘦身的小技巧,一定可以帮到你， 1、慢慢吃 我们都曾在美味佳肴面前狼吞虎咽。等你发现自己吃撑的时候,已经为时太晚了。然而当发现自己因为吃得太撑感到不适时总是为时已晚。这是因为,我们的大脑需要大概20分钟,才能接收到“已经吃饱了”的讯息。营养学专家Wesley Delbridge表示。“在吃第二碗饭前,不妨先喝上一杯水,等个十几分钟。”他说,“让你的大脑告诉你,你是否已经吃饱了。“ 2、切碎你的食物 不论是享用牛腩、三文鱼、面包圈还是鸡蛋卷,在食用之间都可以尝试把这些食物切成碎片。近期,美国亚利桑那州立大学的研究表明,被给予切好的面包圈的参与者,比直接食用完整面包圈的参与者,在试验中吃的要少得多。在20分钟后的免费午餐招待中,那些吃面包圈切片的参与者仍然吃的比较少。研究人员表示,预先切好食物能使食用过程中的每一次咀嚼都更加舒适,因此能够一定程度上实现对饮食量的掌控。 3、饭后刷牙、剔牙 “一旦结束午餐或晚餐,应当立刻使用牙刷或者牙线。”匹兹堡Nutrition CheckUp的营养学家Heather Mangieri如此建议 29 道。当你感到牙齿清洁、口气清新时,你就不会再没心没肺的呆在厨房吃个不停了。 久坐族常常都有恼人的“游泳圈”,不仅仅影响美观,还很难减,这可怎么办呢,来看看小编推荐的10个最佳的瘦腰运动吧，总有适合你的一种,还等什么,赶紧动起来吧， 1、简易坐扭转 这个体式可以很好的帮你拉伸脊柱并消除背痛,然后帮你按摩腹部减少腰部的赘肉,来促进消化器官的蠕动。 盘腿坐在一块折叠的毛毯上,骨盆水平,挺直腰背。吸气向上拉长脊柱,随着呼气的时候拉伸着向右后方转,左手放在右大腿上,右手放在身后毛毯边缘,保持30秒,然后收回。相反方向重复同样的动作。 2、半鱼王 这个扭转可以很好的作用在腹部区域,把横膈膜及腹腔带进行一个强烈的扭转,它的扭转力度会非常强大,帮助收紧腰腹肌肉。 这是一个更为高级的扭转体式。我们需要让一腿折叠在下方,让脚掌竖着立在地面上,上面的脚跨过来放在膝盖的外侧,脚尖和膝盖在一条线上,上面腿应该是垂直的。可以把臀部下面垫上一个毯子,以防骨盆不会向后部倒,使背能向上立起来,随 30 着呼气的时候转,同样吸气拉伸脊柱,呼气把中背部推入体内,增加扭转。快速瘦腰一,“椅子运动”像是坐在椅子上那样,双手做扶扶手的姿势,后背靠在椅背上,注意其实没有椅子,只是自己想象着坐在椅子上。之后身体慢慢下蹲,感觉屁屁真的坐在椅子上一样。在做这个动作时腰部要用力,脚的位置不动,让大腿来承受身体的重量。 3、自行车运动 身体平躺在地板上,双手放于脑后,左腿膝盖弯曲并尽量向胸部靠近,右手肘向左腿膝盖靠近,右侧肩榜随之抬起。之后换另一侧重复进行这个动作。 4、交错腿运动 身体平躺在地板上,双腿交叉,双手抱头,之后交叉的双腿慢慢抬起,尽量向上抬,使双腿与地面呈直角,头部也随之慢慢抬起。当抬到最高点时停顿呼吸一次,之后重复进行这个动作。 5、健身球运动 让自己躺在健身球上,使下背部接触健身球,双手交叉放于胸部,也可以抱头。腰部用力抬起上身,使身体离开健身球,注意保持平衡。之后再躺下来,重复进行这个动作,像在健身球上做仰卧起坐一样,对于瘦腰腹很有效果。 6、蜘蛛侠式 这款动作可以运用到腹肌上的全部肌肉,也能兼顾到小腿、大腿、胸部、背部、手臂、肩膀的肌肉。先是俯卧撑的姿势,手 31 臂要伸直,保持手肘和肩膀在同一条直线上,从侧面向前提拉右腿,如图中的方式,让膝盖尽量靠向右臂手肘,到极限的位置时再放下腿,之后换左腿,提拉再伸直,循环反复,两侧各15个算一组。 32