三角形重心垂心外心内心相关性质介绍

三 角 形 的“四 心” 所谓三角形的“四心”是指三角形的重心、垂心、外心及内心。当三角形是正三角形时， 四心重合为一点，统称为三角形的中心。 一、三角形的外心 三角形三条中垂线的交点叫外心， 定 义: 即外接圆圆心。的重心一般用字母示。 ,ABCO 性 质: 1.外心到三顶点等距，即。 OA,OB,OC 2.外心与三角形边的中点的连线垂直于三角形的这一边，即. OD,BC,OE,AC,OF,AB 1113.。 ，A,，BOC,，B,，AOC,，C,，AOB222 二、三角形的内心 定 义:三角形三条角平分线的交点叫做三角形的内心，即内切圆圆心。的内心一,ABC 般用字母I表示，它具有如下性质: 性 质: 1.内心到三角形三边等距，且顶点与内心的连线平分顶角。 1，2.三角形的面积,三角形的周长内切圆的半径( ，2 3.; AE,AF,BF,BD,CD,CE 三角形的周长的一半。 AE，BF，CD, 111,,,4.，。 ，BIC,90，，A,，CIA,90，，B，AIB,90，，C222三、三角形的垂心 H定 义:三角形三条高的交点叫重心。的重心一般用字母表示。 ,ABC 性 质: 1.顶点与垂心连线必垂直对边， 即。 AH,BC,BH,AC,CH,AB ABH2.?的垂心为，?的 CBHC AB垂心为，?的垂心为。 ACH 1 四、三角形的“重心”: 定 义:三角形三条中线的交点叫重心。的重心一般用字母表示。 ,ABCG性 质: 1.顶点与重心的连线必平分对边。 G 2.重心定理:三角形重心与顶点的距离等于它与对边中点的距离的倍。 2即 GA,2GD,GB,2GE,GC,2GF 3.重心的坐标是三顶点坐标的平均值( x，x，xy，y，yABCABC即,. x,y,GG33 4.向量性质:(1); GA，GB，GC,0 1 (2)，PG,(PA，PB，PC)3 15.。 S,S,S,S,BGC,CGA,AGB,ABC3 五、三角形“四心”的向量形式: 结论1:若点为所在的平面内一点，满足， O,ABCOA,OB,OB,OC,OC,OA 则点为的垂心。 O,ABC 222222结论2:若点为?ABC所在的平面内一点，满足， OOA，BC,OB，CA,OC，AB 则点为的垂心。 O,ABC 结论3:若点满足，则点为的重心。 GGA，GB，GC,0G,ABC 1结论4:若点为所在的平面内一点，满足， OG,(OA，OB，OC)G,ABC3 则点为的重心。 G,ABC I结论5:若点为所在的平面内一点，并且满足 ,ABCa,IA，b,IB，c,IC,0(其中I为三角形的三边)，则点为?ABC的内心。 a,b,c 结论6:若点为所在的平面内一点，满足O,ABC ，则点为的外心。 (OA，OB),BA,(OB，OC),CB,(OC，OA),ACO,ABC ABACP结论7:设，则向量，则动点的轨迹过的内心。 ，，,,0,，,,ABCAP,,(，) |AB||AC| 2