球的体积与表面积

球的体积与面积 分析:本节为北师大版必修2第一章第7节第三课时，本节教材直接给出了球的表面积和体积公式，并用例题来说明其应用，本人增加了球的基本性质及相关应用，研究了球与几何体的组合体的有关计算，这是本节的重点，也是高考的重点 三维目标:掌握球的表面积和体积公式，并能应用其解决有关问题，提高学生解决问题的能力，培养转化与划归的数学思想方法 教学重点:球的表面积和体积公式的应用 教学难点:关于球的几何体的计算 教学过程: 1、复习: 1)球的定义:以半圆的直径所在直线为旋转轴，将半圆旋转一周形成曲面叫做球面，球面所围成的几何体叫做球体，简称球。 2)用一个平面去截一个球，截面是什么,圆面 图中的两个截面分别叫什么, 球面被经过球心的平面截得的圆叫做大圆 球面被不过球心的截面截得的圆叫球的小圆 2、引入: 中国打乒乓球是非常厉害的，中国乒乓球队在各个国际比赛中总是包揽乒乓球项目的所有金牌，俗话说:"木秀于林，风必摧之"，外国人不同意了，不能让中国一个把金牌全拿了，得改，改什么呢，改不了规则就改球 国际乒联决定从2000年10月1日起，也就是在悉尼奥运会之后，乒乓球比赛将使用直径40毫米，重量2.7克的大球取代38毫米小球 乒乓球从直径38毫米增加了2毫米，半径增加了1毫米，就这一毫米外国人都不放过，但是这一毫米半径对咱中国的选手还是有影响的，比如说著名的技术型选手刘国梁，改球之后刘国梁也尝到了失败的滋味，但对力量型选手，比如说王励勤，刘国正，马琳的影响就不大。 思考:半径1毫米的变化直接导致了乒乓球什么的变化,改变了体积和表面积 球的体积: 球的表面积: 观察公式，球的表面积与体积只与球的半径有关 解决该类问题的关键是:如何根据已知条件求球的半径 思考:1)已知球的表面积，如何求球的体积, 套表面积公式求出半径，再套体积公式 2)已知两球的表面积之比，如何求两球的体积之比, 先开平方在乘立方，开平方得到的是半径之比 3、练习一 1)8个半径为2的铁球熔铸成一个球，求这个球的表面积, 解:， 2)如图，一个圆锥形的空杯子上面放了一个半球形的冰激凌，如果冰激凌融化了，会溢出杯子吗, 4、球的有关性质: 1)球心和截面圆心的连线垂直于该截面 证明:过小圆的圆心作两条直径，并连接球心和直径的端点，得到了两个等腰三角形，利用三线合一可得001垂直于小圆面内的两条相交直线，所有得到结论 2)球心到截面的距离d与球的半径R，小圆半径r的关系: 证明:构造直角三角形，利用勾股定理 5、练习二 1)以球的半径的中点为圆心，作球的截面，已知此截面的面积为48πcm2，求此球的表面积和体积,(可用上图) 解: 2)将一个气球放入一个棱长为4cm的正方体内，不断充气使其与正方体各面都相切，且球保持不变形，求气球的表面积和体积 分析:球内切于正方体，球心是正方体的中心，切点是正方体六个面的中心，经过四个切点和球心作截面，如图: 结论:正方体的内切球直径2R,正方体的棱长 解: 3)如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为4cm，它的各个顶点都在球O的球面上，求球O的表面积 分析:球内接正方体，正方体的各个顶点在球面上，过球心作正方体的对角面得截面:如图: 结论:球内接正方体的对角线既是球的一条直径 解: 4)已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，求球的表面积,(可用上图) 解: ?正四棱柱底面边长为2 6、练习三 1)若球的表面积变为原来的2倍,则半径变为原来的___倍 2)若球半径变为原来的2倍，则表面积变为原来的___倍 3)若两球表面积之比为1:2，则其体积之比是______ 4)若两球体积之比是1:2，则其表面积之比是______ 5)长方体的共顶点的三个侧面积分别为 ，则它的外接球的表面积为_____ 6)若两球表面积之差为48π，它们大圆周长之和为12π，则两球的直径之差为______ 7、拓展 有一个倒圆锥形的容器，它的轴截面是一个正三角形，现在往这个容器内注水，并放入一个半径是r的钢球，这时球面恰好与水面相切，那么将球从圆锥形容器中取出后，水深是多少, 分析:球取出前后，水的体积是不变的，利用水体积的不变性建立关于水深h与球半径r的方程 解:PC,3r，AC, 球取出后容器的水深为h，水面圆的半径为 小结:球的表面积和体积公式 作业:课后练习 :本节课的引入的比较好。引起了学生对学习的兴趣，上组合体的展示有助于学生对题目的思考，如果能加上实物模型，效果可能会更好。