2009年上海中考数学压轴题带来的启示doc - 条条大路通罗马

2009年上海中考数学压轴题带来的启示doc - 条条大路通罗马 -----2009年上海中考数学压轴题带来的启示 今年上海中考数学试卷设计的思路是“注重双基、体现新意、适度区分”，尤其最后一 题在体现新意方面做了一些有益的尝试。 （题目：已知?ABC=90?，AB=2，BC=3，AD?BC．P为线段BD上的动点，点Q在 PQAD射线AB上，且满足=（如图1所示）．PCAB （1）当AD=2，且点Q与点B重合时（如图2所示），求线段PC的长；3 （2）在图1中，联结AP，当AD=，且点Q在线段AB上时，设B、Q之间的距离为x，2 S?APQSS=y?APQ?PBC，其中表示?APQ的面积，表示?PBC的面积，S?PBC 求y关于x的函数解析式，并写出函数定义域； （3）当AD < AB,且点Q在线段AB的延长线上时（如图3所示），求?QPC的大小） DA DADA P PPQBC BCBC图3（Q）图1图2 Q 虽然，今年中考数学的压轴题仍然是“动态几何+函数”，但与往年的压轴题也有着几处明显的区别。 首先，体现在函数的定义域上。往年也有求函数定义域的问题，但大都是以最初的动 点（主动点）与某定点的线段长度为自变量，主要考查考生对动态图形的观察能力，特别 是对特殊位置的观察；今年的函数自变量选择了从动点Q与定点B之间的距离为自变量x，使得求函数定义域的主要手段不再是直观的观察，而是理性的推导和计算，体现了数学 的理性思维要求，这一变化击中了我们几何复习教学的“软肋”：用直观观察代替理性思 考。 其次，在判定三角形相似的方法上。我们知道，一般情况下是不能用“SSA”（边边角）来判定两个三角形相似的，但是在特殊情况下它是可以用来判定两个三角形相似的，例如， 在两个直角三角形中、在两个钝角三角形中、在两个等腰三角形中。平时教学中，老师们非常 重视和强调一般情况下的“不能”，却缺乏引导学生进行反思和研究特殊情况下的“能”。 其三、在数量关系与位置关系的推理上。往年动态几何题中由位置关系探求数量关系的 较多，今年是由数量关系（ PQAD=），探究PQ与PC的位置关系（虽然问的是?QPCPCAB 的大小），更看重考生从“数”走向“形”的判断和探究能力。 可见，今年的压轴题对初中数学进行探究型的教与学，倡导教与学的反思，有着很好 1 的导向作用。 与往年一样，压轴题涉及到的知识点和思想方法较多，今年压轴题涉及到的知识和定 理有：平行线的性质、等腰直角三角形、相似三角形的判定和性质运用、勾股定理及其逆定理、 三角形的面积表示或三角形面积之间的关系、矩形的性质、锐角三角比等。考查了学生的转化 能力、证明能力、计算能力，同时又考查了学生在图形动态情况下的想象能力以及运用一般 与特殊、数形结合等思想方法，从而考查考生综合运用数学知识和数学思想方法解决问题的 能力。 本题由于涉及的知识点较多，沟通了许多数学知识之间的联系，所以解题的方法也较 多。特别是第（3）小题，以运用相似三角形的性质为基础，可从几何论证入手，也可用同 一法的思想从构造法入手；以代数式的恒等变形和整体代入为基础，可以用勾股定理的逆 定理进行思考，还可利用高中的函数思想和解析法来解决问题。 解法一、如图1 过点P作PM?BC于M，过点P作PN?AB于N， D则四边形PMBN是矩形，?A0PN//BM,PM=BN,?MPN=90 PNAD=? AD//BCPN//AD，?， PNBNAB PNADADPQPNPQ?===，?，?，BCPMABABPCPMPCM图70图1?PMC=?PNQ=90又，Q?PQN?CPM=?QPN??PCM?，?，0?QPC=?CPM+?MPQ=?NPQ+?QPM=?NPM=90?. 解法二、如图10假设?QPC=90，过点P作PM?BC于M，过点P作PN?BC于N，则四边形PMBN是矩 0?NPQ=?MPC形，??NPQQPMQ+=+=?PM（MPC90,?, PQPNPQPN?PNQ=?PMC?NPQ==又?MPCPM=BN??，?，而，?，又PCPMPCBN PNADPQAD0==?QPC=90PN//AD，?，?， 且以上每步可逆。综上，可得.BNABPCAB D解法三、如图2A 过点P作PM?BD交直线BC于M，??ADB=?PBM0且，?DAB=?MPB=90PADPB=??，?，?ADB?PBMABPMBCMADPQPBPQ图8图2?==，?，ABPCPMPCQ?PBQ?PBQ?BPQ=?MPC??PMC?PMC与都是钝角，??，?，0?QPC=?CPM+?MPQ=?QPB+?QPM=?BPM=90?. 解法四、如图3 ??PKCPBQ=过点P作PK使，DA PK与BC交于点K，则??ABPPKB=， ? AD//BC??ADBPBK=，?， PPBADPQ0?==?BPK??, ,?DAB?BPK=90PKABPCCKB??PKCPBQ=又图9,且它们都是钝角图3?PBQ??BPQKPC=??PKC?，?，Q 2 0??????QPCCPKKPQQPBQPKBPK=+=+==90?.解法五、如图4 '''过点P作QPQPC?QC交直线AB于，连,DA'0'0?QPC=90?QBC=90则，又，?P、B、Q、C四点共圆， '''?BQP=?BCP???BPQBCQ=，， P''''而???ABDBPQBQP=+???PCQPCBBCQ=+， 'ABDPCQ?=??， BC'0'?BAD=?QPC=90?PCQ又，??，?ABD‘图10'QPQADPQ'图4QPQ=PQ?==，?，PCABPC''QQQQ又?点与点都在线段AB的延长线上， ?点与点重合，? '0??QPCQPC==90 解法六、如图5 DA'0‘’过点P作PC?QPC=90?PQ交直线BC于点C，则 '0?QPC=90过点P作PM?BC于M，过点P作PN?AB于N，则,PNPMAQ//??BQPQPM=，?， ''??QPMPCM=??BQPPCM=，?，BC’MC图11PNPQ'0图5'?PNQ又=??PNQPMC==90，??，?，?PMC'PMPCQ PNADADPQPQPQPQAD又====ADPN//，?，?，而，?，?''PCABBNABABPCPCPC'，PCPC= '0''又?点CC??QPCQPC==90与点都在点B的右侧， ?点与点重合，?.CC 解法七、如图6DA过点P作PM?BC于M，过点P作PN?AB于N，?ABPM//， 0???PBABPM=，又，??BADPMB==90PNBMADPQAD=?=?PMB?，?，又，?BADPCABPMABBCM图7PMBMPMPNBMPQ图6==?=PNBM=即，而，?，PCPQPCPQPMPCQsinsin??PQNPCM=??PQNPCM、??PQNPCM=即，?都是锐角，?，即 0??PQBPCB=?QPC=?QBC=90，?P、B、Q、C四点共圆，?.解法八、如图7 AD过点P作PM?BC于M，过点P作PN?BC于N， 则PNADMPBN//,=PNc=，设AD=a，， BNAB2c由=MPBN==PNAD//，得，?，PNADaPN2cRtQPN?在QNQBBNx=+=+PNc=中，，，BaCM2c2c222?PQcx=++（）PM=RtPMC?，在中，Qaa图72c222PCc=?+（）（）3MCBCBMBCPNc=?=?=?3，?，a 3 22RtQBC?BQxBC==，3QCx=+9连QC，在中，，?， 22PQADaPQa22又?==，?=， 整理得 ?acaaxc?++=32402PCAB2PC4 2c2c2c222222222 ?cx++（）（）（）3?+cxacaaxc++?++9324（）PQPC+=+=2aaa 2222202PQPC+PQPC+QC?QPC=90由?得，=，即=，?x+9 解法九、如图8y A（，02），Q（0，-x）建立如图所示直角坐标系，则，DA设Da（，）2，点P的横坐标为c，?点P在直线OD上， 2c2c2c222222Pc（，）PQcx=++（）PCc=?+（）（）3?，?，， Paaa 22PQADaPQa?C===，?， Ox2PCAB2PC4（B）图122图8由c<3，可整理得 ?423caxac+=?（）Q22cc22cc+x+x42cax+又，?，aaaakk??==kk==,PQPC2PQPCccac??3(3)cc?3 22cc+x042cax+由?得，PQPC??QPC=90， ?，?.aakk??===?1PQPC2ccac??3(3) 解法十：如图8 建立如图所示直角坐标系，则A（，02），Q（0，-x）Da（，）2，设，点P的横坐标为 2c2c222Pc（，）PQcx=++（）c，?点P在直线OD上，?，?，aa 2c222PCc=?+（）（）3， a 22PQADaPQa2?==c<3=，?， 由，可整理得 ?423caxac+=?（）2PCAB2PC4 uuuruuuruuuruuur22cc22cc又PQcxPCc=???=??(,),(3,)PQPCccx?=?++(3)()， ?aaaa uuuruuuruuuruuurc20[(42)(3)]caxac+???QPC=90PQPC?=0PQPC?=，由?可得，，?，?.2a 从以上多种解法(除解法九、十用到高中数学知识和方法)，我们可以看出，初中数学教学的首要问题是解决通性通法的问题,但又不能满足于通性通法的教与学,一定要注重一题多解，重视数学知识之间的联系，重视数学思想方法的不同功能,重视学生不同的认知角度和不同的认知水平在同一个数学问题上的不同反应,营造师生、生生之间的教学合作氛围,使课堂教学涌现出更多更精彩的“意外”的生成. DocInC2C豆丁网（）是全球优秀的文档销售与分享社区。 .pdf, .doc, ., .txt 　　豆丁允许用户上传包括 在内的数十种的文档文件，并以Flash Player的形式在网页中直接展示给读者。简而言之，豆丁就如同文档版的Youtube。现在每天都有数以万计的文档会上传到豆丁，正基于此，豆丁将致力构建全球最大的中文图馆。 豆丁努力使世界上任何人都能够自由地发挥他们的创造力。文档资料只通过少数、单 4 一的出版物来传播的时代已经结束。现在，互联网给文档资料提供了世界范围内的传播渠道，豆丁希望能够给每个独立的文档持有者利用这个新机会的方法。现在，我们为原创人群提供安全、自由、民主、便利的文档发布与营销平台。借助豆丁，你可以为你的文档定价，并通过豆丁发表到不同博客、论坛、联盟中，进行广泛传播，在分享的同时获得收入回报。 豆丁致力于构建全球领先的文档发布与销售平台，面向世界范围提供便捷、安全、专业、有效的文档营销服务。包括中国、日本、韩国、北美、欧洲等在内的豆丁全球分站，将面向全球各地的文档拥有者和代理商提供服务，帮助他们把文档发行到世界的每一个角落。豆丁正在全球各地建立便捷、安全、高效的支付与兑换渠道，为每一位用户提供优质的文档交易和账务服务。 5