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[训练]标准偏差与相对标准偏差公式(汇编版)

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[训练]标准偏差与相对标准偏差公式(汇编版)[训练]标准偏差与相对标准偏差公式(汇编版) 标准偏差 相对标准方差的计算公式 准确度:测定值与真实值符合的程度 绝对误差:测量值(或多次测定的平均值)与真(实)值之差称为绝对误差,用δ表示。 相对误差:绝对误差与真值的比值称为相对误差。常用百分数表示。 绝对误差可正可负,可以表明测量仪器的准确度,但不能反映误差在测量值中所占比例,相对误差反映测量误差在测量结果中所占的比例,衡量相对误差更有意义。 例:用刻度0.5cm的尺测量长度,可以读准到0.1cm,该尺测量的绝对误差为0.1cm;用刻度1mm的尺测量长度,可...
[训练]标准偏差与相对标准偏差公式(汇编版)
[训练]偏差与相对标准偏差公式(汇编版) 标准偏差 相对标准方差的计算公式 准确度:测定值与真实值符合的程度 绝对误差:测量值(或多次测定的平均值)与真(实)值之差称为绝对误差,用δ表示。 相对误差:绝对误差与真值的比值称为相对误差。常用百分数表示。 绝对误差可正可负,可以表明测量仪器的准确度,但不能反映误差在测量值中所占比例,相对误差反映测量误差在测量结果中所占的比例,衡量相对误差更有意义。 例:用刻度0.5cm的尺测量长度,可以读准到0.1cm,该尺测量的绝对误差为0.1cm;用刻度1mm的尺测量长度,可以读准到0.1mm,该尺测量的绝对误差为0.1mm。 例:分析天平称量误差为0.1mg, 减重法需称2次,可能的最大误差为0.2mg, 为使称量相对误差小于0.1%,至少应称量多少样品, 答:称量样品量应不小于0.2g。 真值(μ):真值是客观存在的,但任何测量都存在误差,故真值只能逼近而不可测知,实际工作中,往往用“标准值”代替“真值”。标准值:采用多种可靠的分析、由具有丰富经验的分析人员经过反复多次测定得出的结果平均值。 精密度:几次平行测定结果相互接近的程度。 各次测定结果越接近,精密度越高,用偏差衡量精密度。 偏差:单次测量值与样本平均值之差: 平均偏差:各次测量偏差绝对值的平均值。 相对平均偏差:平均偏差与平均值的比值。 标准偏差:各次测量偏差的平方和平均值再开方,比平均偏差更灵敏的反映较大偏差的存在,在统计学上更有意义。 相对标准偏差(变异系数) 例:分析铁矿石中铁的质量分数,得到如下数据:37.45,37.20, 37.50,37.30,37.25(%),计算测结果的平均值、平均偏差、相对平均偏差、标准偏差、变异系数。 准确度与精密度的关系: 1)精密度是保证准确度的先决条件:精密度不符合要求,表示所测结果不可靠,失去衡量准确度的前提。 2)精密度高不能保证准确度高。 换言之,准确的实验一定是精密的,精密的实验不一定是准确的。 重复性试验 按拟定的含量测定方法,对同一批样品进行多次测定(平行试验至少5次以上,即n>5),计算相对标准偏差(RSD),一般要求低于5% 数学表达式: , S-标准偏差(%) , n-试样总数或测量次数,一般n值不应少于20-30个 , i-物料中某成分的各次测量值,1,n; 标准偏差的使用方法 [1]六个计算标准偏差的公式 标准偏差的理论计算公式 设对真值为X的某量进行一组等精度测量, 其测得值为l、l、……l。令测得值l与该量真12n值X之差为真差占σ, 则有 σ = l ? X 1i σ = l ? X 22 …… σ = l ? X nn 我们定义标准偏差(也称标准差)σ为 (1) 由于真值X都是不可知的, 因此真差σ占也就无法求得, 故式只有理论意义而无实用价值。 标准偏差σ的常用估计—贝塞尔公式 由于真值是不可知的, 在实际应用中, 我们常用n次测量的算术平均值 来代表真值。理论上也证明, 随着测量次数的增多, 算术平均值最接近真值, 当时, 算术平均值就是真值。 于是我们用测得值l与算术平均值之差——剩余误差(也叫残差)V来代替真差σ , 即 ii 设一组等精度测量值为l、l、……l 12n 则 …… 通过数学推导可得真差σ与剩余误差V的关系为 将上式代入式(1)有 (2) 式(2)就是著名的贝塞尔公式(Bessel)。 它用于有限次测量次数时标准偏差的计算。由于当时, ,可见贝塞尔公式与σ的定义式(1)是完全一致的。 应该指出, 在n有限时, 用贝塞尔公式所得到的是标准偏差σ的一个估计值。它不是总体标准偏差σ。因此, 我们称式(2)为标准偏差σ的常用估计。为了强调这一点, 我们将σ的估计值用“S ” 表示。于是, 将式(2)改写为 (2') 在求S时, 为免去求算术平均值的麻烦, 经数学推导(过程从略)有 于是, 式(2')可写为 (2") 按式(2")求S时, 只需求出各测得值的平方和和各测得值之和的平方艺 , 即可。 标准偏差σ的无偏估计 2 数理统计中定义S为样本方差 2222 数学上已经证明S是总体方差σ的无偏估计。即在大量重复试验中, S围绕σ散布, 它们之间没有系统误差。而式(2')在n有限时,S并不是总体标准偏差σ的无偏估计, 也就是说S和σ之间存在系统误差。概率统计告诉我们, 对于服从正态分布的正态总体, 总体标准偏差σ的无偏估计值为 (3) 令 则 即S和S仅相差一个系数K,K是与样本个数测量次数有关的一个系数, K值见表。 1σσσ 计算K时用到 σ Γ(n + 1) = nΓ(n) Γ(1) = 1 由表1知, 当n>30时, 。因此, 当n>30时, 式(3')和式(2')之间的差异可略而不计。在n=30,50时, 最宜用贝塞尔公式求标准偏差。当n<10时, 由于K值的影σ响已不可忽略, 宜用式(3'), 求标准偏差。这时再用贝塞尔公式显然是不妥的。 标准偏差的最大似然估计 将σ的定义式(1)中的真值X用算术平均值代替且当n有限时就得到 (4) 式(4)适用于n>50时的情况, 当n>50时,n和(n-1)对计算结果的影响就很小了。 2.5标准偏差σ的极差估计由于以上几个标准偏差的计算公式计算量较大, 不宜现场采用, 而极差估计的方法则有运算简便, 计算量小宜于现场采用的特点。 极差用"R"表示。所谓极差就是从正态总体中随机抽取的n个样本测得值中的最大值与最小值之差。 若对某量作次等精度测量测得l、,且它们服从正态分布, 则 1 R = l ? l maxmin 概率统计告诉我们用极差来估计总体标准偏差的计算公式为 (5) S称为标准偏差σ的无偏极差估计, d为与样本个数n(测得值个数)有关的无偏极差系数, 其32 值见表2 由表2知, 当n?15时,, 因此, 标准偏差σ更粗略的估计值为 (5') 还可以看出, 当200?n?1000时,因而又有 (5") 显然, 不需查表利用式(5')和(5")了即可对标准偏差值作出快速估计, 用以对用贝塞尔公式及其他公式的计算结果进行校核。 应指出,式(5)的准确度比用其他公式的准确度要低, 但当5?n?15时,式(5)不仅大大提高了计算速度, 而且还颇为准确。当n>10时, 由于舍去数据信息较多, 因此误差较大, 为了提高准确度, 这时应将测得值分成四个或五个一组, 先求出各组的极差R、, 再由各组极差求出1 极差平均值。 和总体标准偏差的关系为 极差平均值 需指出, 此时d大小要用每组的数据个数n而不是用数据总数N(=nK)去查表2。再则, 分组2 时一定要按测得值的先后顺序排列,不能打乱或颠倒。 标准偏差σ的平均误差估计 平均误差的定义为 误差理论给出 (A) 可以证明与的关系为 (证明从略) 于是 (B) 由式(A)和式(B)得 从而有 式(6)就是佩特斯(C.A.F.Peters.1856)公式。用该公式估计δ值, 由于\right|V\right|不需平方,故计算较为简便。但该式的准确度不如贝塞尔公式。该式使用条件与贝塞尔公式相似。 [1]标准偏差的应用实例 对标称值R = 0.160 < math > μm < math > 的一块粗糙度样块进行检定, 顺次测得以下15个a 数据:1.45,1.65,1.60,1.67,1.52,1.46,1.72,1.69,1.77,1.64,4.56,1.50,1.64,1.74和1.63μm, 试求该样块R的平均值和标准偏差并判断其合格否。 n 解:1)先求平均值 2)再求标准偏差S 若用无偏极差估计公式式(5)计算, 首先将测得的, 15个数据按原顺序分为三组, 每组五个, 见表3。 表3 组号 l_1 l_5 R 1 1.48 1.65 1.60 1.67 1.52 0.19 2 1.46 1.72 1.69 1.77 1.64 0.31 3 1.56 1.50 1.64 1.74 1.63 0.24 因每组为5个数据, 按n=5由表2查得 故 若按常用估计即贝塞尔公式式(2') , 则 若按无偏估计公式即式(3')计算, 因n=15,由表1查得K = 1.018, 则 δ 若按最大似然估计公式即式(4')计算, 则 = 0.09296( < math > μm < math > ) 若按平均误差估计公式即式(6), 则 现在用式(5')对以上计算进行校核 可见以上算得的S、S、S、S和S没有粗大误差。 1234 由以上计算结果可知0.09296<0.0962<0.0979<0.1017<0.1062 即 S < S < S < S < S 2143 可见, 最大似然估计值最小, 常用估计值S稍大, 无偏估计值S又大, 平均误差估计值S再14大, 极差估计值S最大。纵观这几个值, 它们相当接近, 最大差值仅为0.01324μm。从理论上讲, 3 用无偏估计值和常用估计比较合适, 在本例中, 它们仅相差0.0017μm。可以相信, 随着的增大, S、S、S、S和S之间的差别会越来越小。 1234 就本例而言, 无偏极差估计值S和无偏估计值S仅相差0.0083μm, 这说明无偏极差估计是31 既可以保证一定准确度计算又简便的一种好方法。 JJG102-89《表面粗糙度比较样块》规定R的平均值对其标称值的偏离不应超过+12%,17%, a 标准偏差应在标称值的4%,12%之间。已得本样块二 产,产均在规定范围之内, 故该样块合格。 标准偏差与标准差的区别 标准差(Standard Deviation)各数据偏离平均数的距离(离均差)的平均数,它是离差平方和平均后的方根。用σ表示。因此,标准差也是一种平均数。标准差是方差的算术平方根。 标准差能反映一个数据集的离散程度。平均数相同的,标准差未必相同。 例如,A、B两组各有6位学生参加同一次语文测验,A组的分数为95、85、75、65、55、45,B组的分数为73、72、71、69、68、67。这两组的平均数都是70,但A组的标准差为17.08分,B组的标准差为2.16分,说明A组学生之间的差距要比B组学生之间的差距大得多。 标准偏差(Std Dev,Standard Deviation) - 统计学名词。一种量度数据分布的分散程度之标准,用以衡量数据值偏离算术平均值的程度。标准偏差越小,这些值偏离平均值就越少,反之亦然。标准偏差的大小可通过标准偏差与平均值的倍率关系来衡量。 有人经常混用均方根误差(RMSE)与标准差(Standard Deviation),实际上二者并不是一回事。 1.均方根误差 均方根误差为了说明样本的离散程度。 均方根误差(root-mean-square error )亦称标准误差,其定义为, i,1,2,3,…n。在有限测量次数中,均方根误差常用下式表示:,式中,n为测量次数;d为一组测量值与平均值的偏差。如果误差统计分布是正i 态分布,那么随机误差落在土σ以内的概率为68,。 2.标准差 标准差是方差的算术平方根。 标准差能反映一个数据集的离散程度。平均数相同的,标准差未必相同。 标准差也被称为标准偏差,或者实验标准差。 均方根值也称作为效值,它的计算方法是先平方、再平均、然后开方。比如幅度为100V而占空比为0.5的方波信号,如果按平均值计算,它的电压只有50V,而按均方根值计算则有70.71V。这是为什么呢,举一个例子,有一组100伏的电池组,每次供电10分钟之后停10分钟,也就是说占空比为一半。如果这组电池带动的是10Ω电阻,供电的10分钟产生10A的电流和1000W的功率,停电时电流和功率为零。 那么在20分钟的一个周期内其平均功率为500W,这相当于70.71V的直流电向10Ω电阻供电所产生的功率。而50V直流电压向10Ω电阻供电只能产生的250W的功率。对于电机与变压器而言,只要均方根电流不超过额定电流,即使在一定时间内过载,也不会烧坏。 PMTS1.0抽油机电能图测试仪对电流、电压与功率的测试计算都是按有效值进行的,不会因为电流电压波形畸变而测不准。这一点对于测试变频器拖动的电机特别有用。 均方根误差为了说明样本的离散程度。 对于N1,....Nm,设N=(N1+...+Nm)/m;则均方根误差记作: t=sqrt(((N^2-N1^2)+...+(N^2-Nm^2))/(m(m-1))); 比如两组样本: 第一组有以下三个样本:3,4,5 第二组有一下三个样本:2,4,6 这两组的平均值都是4,但是第一组的三个数值相对更靠近平均值,也就是离散程度小,均方差就是表示这个的。 同样,方差、标准差(方差开根,因为单位不统一)都是表示数据的离散程度的。 几种典型平均值的求法 (1)算术平均值这种平均值最常用。设x1、x2、… 、x n为各次的测量值,n代表测量次数,则算术平均值为 (2)均方根平均值 (3)几何平均值 (4)对数平均值 (5)加权平均值
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