探讨椭圆的离心率问题

是把代入后，等式两边同除以将得到关于e的方程。 b,a,c 22xy例题1、椭圆，,1(a,b,0)，其中，B(0，b),B’(0，-b),A(a,0),F为22ab 椭圆的右焦点，若直线AB,求椭圆的离心率。 ,B'F bb2222k.k,,1,,，,,1,b,ac,a,c,ac,0,e，e,1,0解: BFAB'ca (2)直接利用定义即根据焦点弦和其他已知量的位置和数量关系列出关于a ce,和c的等式，再用求解。 a 例题2、椭圆的一个焦点和短轴的两端点构成一个正三角形，求椭圆的离心率。 c3c,acos30:,e,,解:依题意得: a2 2.求椭圆的取值范围: 222b,a,c(1)建立关于a,b,c或e的代数不等式，其方法把代入后，同时 2a除以将得到一个关于e的不等式: ,利用点与曲线的位置关系，根据此点的横、纵坐标必须满足的条件列出不等式。 22xy，,1(a,b,0)例题3、已知椭圆，短轴顶点B(0，b)，若椭圆内接三角22ab 形BCD的重心是椭圆的左焦点，求椭圆离心率的范围。 C(x,y),D(x,y)且已知B(0，b),F(,c,0),由重心得x，x,,3c解:设 112212 ,3cb y，y,,b,故弦CD的中点为E(,,),由E在椭圆内部，则1222 22,3,cb,,,,,,,,,,1322,,,,2,, ，,1,整理得e,,从而e,0,22,,33ab,,,利用点在曲线上的位置关系，根据此点的横、纵坐标必须满足的条件列出不 等式。 22xy例题4、设椭圆的左、右焦点分别为，,1(a,b,0)22ab F,F,过F做x轴的垂线交椭圆于点P，Q若，PFQ为锐角,则椭圆的离心率1212取值范围是多少, 解:依题意，设点P的坐标为P(-C,)，由点P在椭圆上，代入椭圆方程，yp 2by,可解得，因为为锐角，所以，PFQp2a 2b222，PFF,45:,从而|PF|,|FF|，即,2c,消去b,得a,c,2ac21212a解得. e,2,1或e,,2,1(舍去)_，故2-1,e,1,用均值不等式变形建立不等式，即先根据题设条件建立等式，再根据均值不 等式转化为不等式，建立关于a,c的不等式。 22xy，,1(a,b,0)例题5、设椭圆的两个焦点为问离心率e在什么范F,F,1222ab 围内取值时，椭圆上恒存在点P使 ，FPF,120:?12 解:设椭圆的焦距为2c，即|FF|=2C,由椭圆的定义，知12 |PF|，|PF|,2a,在,FPF中，由余弦定理，得1212 222|FF|,|PF|，|PF|,2|PF||PF|cosFPF12121 12 所以， 2|PF|.|PF|,,2222212,，即4a,4c1,|PF|.|PF|,,a，，，，2c,2a,|PF|.|PF|,,12122,, 3223a,4c,e,1，所以。 2 ?利用两曲线的关系建立不等式。 22xyb222例题6、椭圆和圆有，,1(a,b,0)x，y,(，c)(c是椭圆的半焦距)222ab 四个不同的交点，求椭圆的离心率范围。 bb解:因为椭圆和圆有四个不同的交点，所以，则由可推b,，c,a,b,，c22 2bb22222222出。由可推出，整 ，c,a,，，a,cb,4c,a,c,4c,a,5c24 353222，即解得，e<. 或e,1(舍去)，即,e,3a,8ac，5c,05e,8e，3,0555?利用直线与曲线的位置关系。 22xy例题7、已知A为椭圆，,1(a,b,0)上的一个动点，直线AB、AC分别22ab 过焦点F1、F2，且与椭圆交于B、C两点，若当AC垂直于x轴时，恰好有|AF1|?|AF2|,3?1，求该椭圆的离心率( 解:设|AF2|,m，则|AF1|,3m，所以2a,|AF1|，|AF2|,4m. 又在Rt?AF1F2中，|F1F2|,|AF1|2,|AF2|2,22m. 2c|F1F2|22m2所以e,,,,. 2a2a4m2 ,(2)建立关于为自变量的三角不等式，其方法是利用参数方程和有关定理、三角函数的公式、性质等得到e的取值范围。 22xy，,1(a,b,0)例题8、椭圆与x轴的正半轴交于A点，如果在这个椭圆22ab OP,AP上总存在点P，使,O为原点，求离心率e的范围。 x,acos,22xy,,,0且,,,，,1解:的参数方程为(为参数)，依题意知， 22y,bsin,ab ,,bbsin,sin.,,1P(acos,,bsin,),依题意得k.k,,1设,即 OPAPa,aa,cos,cos 2,bcos12222,,bsin,,acos,,acos,所以，，所以， 2a1cos,2， 22a,c1122,,即1-e,,所以，,e,1所以， 2a222 【3】三、根据关有知识点探讨离心率问题。 1、根据参数a,b的几何意义 例题9、若一个椭圆长轴的长度和短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是多少, 222解:由2a,2b,2c成等差数列，得2b=a+c,又因为所以b,a,c c3222，所以e,, ，，，，a，c,4a,ca5 2、根据椭圆的定义 22xy例题10、设的左、右焦点，过点做，,1(a,b,0)FF,F分别是椭圆E:11222ab l斜率为1的直线与E相交于A，B两点，且成等差数列，求 |AF|、|AB|、|BF|12E的离心率。 解:由椭圆的定义知: 4a|AB||AF||BF||AB|又2,，，所以，,， |AF|，|BF|，|AB|,4a12223 y,x，c22 则A、B两点的方程组 直线l的方程为y,x，c,设A(x,y),B(x,y)xy112222，,1 ab2,2ac2222222化简得x，x,，所以，有，，，a，bx，2acx，a(c,b),01222a，b 222a(c,b)x.x,，又因为直线AB的斜率为1，所以 1222a，b 244ab222a,a,2c，可得，所以可得 ，，|AB|,2|x-x|,2[x，x,4xx]121212223a，c 2则E的离心率为。 2 3、利用数行结合 22xy，,1(a,b,0)例题11、在平面直角坐标系中设椭圆的焦距为2c,以点O22ab 2a,0为圆心，a为半径做圆M，若过点P()所做圆的两条切线互相垂直，求椭c 圆的离心率。 ,OAP解:设切线PA、PA互相垂直，又半径OA垂直于PA，故是等腰直角三角 2ac2形，所以，解得 ,2ae,,ca2 4、根据正余弦定理 7例题12、,ABC中，AB,BC,cosB,-，若以A,B为焦点的椭圆经过点C，则该18 椭圆的离心率e为多少, 222解:设AB=BC=m,根据余弦定理有 AC,AB，BC,2AB.BCcosB 7255,,222= 2m,2m.,,m,所以，AC,m,,1893,, ABm3所以， e,,,5AC，BC8m，m3 5、利用向量知识 22xyl与，,1(a,b,0)例题13、设椭圆的右焦点为F，过点F的直线椭圆C22ab l相交于A,B两点，直线的倾斜角为,求椭圆C的离心率。 60:,AF,2BF 解:设.因为 A(x,y),B(x,y),由题意知，y,0,y,0AF,2BF,所以，-y,2y11221212 y,3(x,c)22 且直线，联立方程组得得: l的方程为y,3(x,c)xy22，,1 ab 22,3b(c，2a),3b(c,2a)222243a，by，23bcy,3b,0,解得:y,y,，，， 1222223a，b3a，b 223b(c，2a),3b(c,2a)c2,2.e,,由得，，解得，。 ,y,2y122222a33a，b3a，b 以上全部是我探讨研究的全部内容。 参考文献: 【1】人民教育出版社，课程教材研究所，等，普通高中课程标准实验教科书数学选修2-1A版【G】人民教育出版社，2011 【2】《平面解析几何方法与研究》，刘连璞，北京大学出版社1999 【3】周霞，求椭圆、离心率的若干方法，高中数学教与学，解题方法研究2011(3)37-39 【4】张惜招，浅析“椭圆和双曲线”的离心率问题，数学学习研究，解题技巧 与方法，2015(3):86 【5】许昌满，运用定义巧解题--探讨一类椭圆离心率的通性方法，中学教研(数 学)高解析2015(08):17-20