《圆的标准方程》的课堂实录

《圆的标准方程》的课堂实录 教材内容:人教版必修二第四章第一节。 教学目标: 【知识目标】1、掌握圆的标准方程; 2、能根据条件求出圆的标准方程; 【能力目标】1、进一步培养学生用代数研究几何问题的能力; 2、加深对数形结合思想的理解和加强对待定系数法的运用; 【情感目标】培养学生主动探究知识、合作交流的意识。 教学重点:圆的标准方程的应用; 教学难点:会根据不同的已知条件求圆的标准方程。 教具准备:课件、直尺、圆规。 学具准备:数学书、学案。 教学课时:1课时 教学过程: 一、复习引入 问:已知直线l的方程x，y,2,0，试判断点A(1,1)，B(3，0)是否在该直线上。 (点A在直线上，点B不在直线上。) x，y,2,0问:为什么方程能称为直线l的方程, 小结:当点的坐标满足方程时，则该点在直线l上;反之，当点在直线l上时，则其 坐标满足该方程。 (采用类比的教法为进一步学习“曲线与方程”的思想作好铺垫，让学生的迁移能力得到提高。) 二、公式的推导。 问:既然直线能用方程来示，那么圆能不能也用方程来表示呢,(能) 问:如果能，那方程的形式将是怎样的呢,(出示课题:圆的标准方程) 问:圆的几何要素是什么,(圆心和半径大小) 教师在黑板上画出直角坐标系和一个圆，标出圆心A(a,b)和圆上动点M(x,y) 问:圆是到定点的距离等于定长的点的集合。即MA=r，抓住这一个几何条件我 22) 们如何布列方程,(利用两点间距离公式获得(x,a)，(y,b),r 222(x,a)，(y,b),r教师在推导出圆的标准方程后， 问:看到这个方程我们就要知道它表示一个圆，它的圆心是什么,半径等于多少, (圆心是(a,b)，半径是r。) 问:方程涉及到三个参数需要有几个独立条件来配合求出a,b,r,(3个) 三、直接应用，内化新知。 问:根据给出的圆的标准方程，说出圆心坐标及半径大小。 2222(x,2)，(y,3),16(x，2)，(y,3),6(1) (2) (3) 22x，y,25 r,6 ((2，3), r=4; (-2,3),; (0,0),r=5) 22x，y,25 小结:方程能表示一个圆心为(0,0),r=5的圆，是因为满足方程的解为坐标的点在圆上，反之，在圆上的点的坐标也满足方程。例如(3，4)，(0，5)等等。) 【练习2】写出下列圆的标准方程: (1) 圆心在C(0，0)，半径长是4 圆心在C(,3，4)，半径长是5(2) ; (3)圆心在C(8，-3)，且经过点M(5，1) 问:如何处理第(3)小题,(利用两点间距离公式求出半径MC的长度，或是利用待定系数法来求出半径。) 四、加强应用，提升能力。 例1写出圆心为A(2，-3)，半径长等于5的圆的方程，并判断点B(5，-7)， 2,0C()，D(0,2)是否在这个圆上。若点不在圆上，请指出该点是在圆内还是圆外。 2,0)，D(0,2)是否在这个圆上。(点B在，点C，D不在。) 问:点B(5，-7)，C( 问:点C，D是在圆内还是在圆外呢,(点C在圆内，点D在圆外。) 问:为什么,(把点C的坐标代入方程的左边，得到9<25;把点D的坐标代入方程的 左边，得到29>25。) 222(x,a)，(y,b),r问:那么点M(x,y)在圆上、内或外的条件是什么,(若点在圆00 222222(x,a)，(y,b),r(x,a)，(y,b),r上，则;若点在圆内，则;若点在0000 222(x,a)，(y,b),r圆外，则 。) 00 (例1源于课本例题，但稍为做了一些改动。其目的是为了减少运算量，让学生容易从代数角度判断点与圆的位置关系，为学生探究点M(x,y)在圆00 222(x,a)，(y,b),r内或外的条件做好准备。) 例2 ?ABC的三个顶点的坐标分别是A(5，1)， B(7,-3),C(2,-8),求它的外接圆的方程。 问:圆的标准方程涉及到三个参数需要有几个独立条件来配合求出a,b,r,(3个) 引导:点在圆上，则其坐标满足圆的方程。 于是学生列出三元二次组 222(5,a)，(1,b),r? 222(7,a)，(,3,b),r? ，然后就显得有些束手无策。 222(2,a)，(,8,b),r? 问:如何解二元一次方程组的,(消元) 2r问:那么解三元二次方程组同样也用消元法求解。你们先看看哪个元最容易消去,() 2222(5,a)，(1,b),(7,a)，(,3,b)于是学生将方程相减，?-?后得到方程， 问:如何化简此方程,(移项后可借用完全平方和差公式或平方差公式来化简。) 222(x,a)，(y,b),r在学生自行算出后，教师作出归纳:由于圆的标准方程 含有三个参数 a，b，r，因此必须具备三个独立条件才能确定一个圆。 (例2的设计是要用代数的方法解决几何问题。) 练习3 已知?AOB的顶点坐标分别是A(4,0),B(0,3),O(0,0),求?AOB外接圆 的方程。 由于处理例2能落实好重难点，因此大部分学生在面对练习3时能迅速列出三 222(4,a)，(0,b),r? 个方程， 222(0,a)，(3,b),r? 222(0,a)，(0,b),r? 问:如何消元,(?-?，?-?最快。) 问:还有其他方法吗,(一学生举手回答:可利用几何图形的特点简化计算，?AOB是一个直角三角形，其外接圆的圆心在斜边的中点上，从而很快就可以算出圆心坐标及半径大小。) 归纳:求圆的标准方程可用待定系数法来求出圆心坐标和半径大小，有时借用几何图形的特点可起到简化计算的好处。 板书设计 设圆心A(a，b)，圆上任意点M(x，y)，圆心所以?ABC的外接圆方程是 为A的圆的集合P={M|MA|=r} 22(x,2)，(y，3),25 由两点间距离公式得 22， (x,a)，(y,b),r练习3 解:依题意得 222(x,a)，(y,b),r两边取平方，得 222(4,a)，(0,b),r? 例2解:设所求圆的方程是 222222(x,a)，(y,b),r，依题意得: (0,a)，(3,b),r? 222222(5,a)，(1,b),r? (0,a)，(0,b),r? 222(7,a)，(,3,b),r? 222(2,a)，(,8,b),r? 解此方程组:?-?8-a+2b=0,? ?-?a+b+1=0 ? 2得a=2,b=-3,r=25 。