第7讲 奇、偶数、质数与合数
学科:奥数
教学内容:第7讲 奇、偶数、质数与合数
知识网络
根据自然数的性质对自然数进行分类,通常有两类常见的方式。一类是按照能否被2整除分成奇数、偶数;一类是按照能否被除去1和它本身之外的其他整数整除分成质数、合数。
偶数:能被2整除的数。
特点:个位数字是0,2,4,6,8中的一个。
奇数:不能被2整除的数。
特点:个位数字是1,3,5,7,9中的一个。
若把0与自然数由小到大排成一排:0,1,2,3,4,5,„,可以看出偶数与奇数交替出现。如果n是一个奇数,那么n+2是奇数,而n+l与n-l都是偶数。
在加、减运算中奇、偶数的规律:
偶数+偶数=偶数,偶数+奇数=奇数
奇数+奇数=偶数,偶数-偶数=偶数
偶数-奇数=奇数,奇数-偶数=奇数
奇数-奇数=偶数
由此可以得出:在一个只含加减的算式中,如果奇数的个数是偶数,则结果是偶数;如果奇数的个数是奇数,则结果是奇数。
在乘法运算中奇、偶数的规律:
偶数×偶数=偶数,偶数×奇数=偶数
奇数×奇数=奇数
即:奇数的乘积是奇数,整数与偶数的乘积是偶数。
质数:像2,3,5,7,„这些数,它们除了被1和自身整除之外,不能被其他整数整除。
合数:像4,6,8,9,10,12,„这些数,它们除了能被自身和1整除之外,还能被其他整数整除。
需注意1既不是质数也不是合数。
重点?难点
在有些问题的解决中适当地考虑到自然数的奇偶性和是否为质数或合数的特点,恰当地应用这些特点可简便、快捷地解决问题。
学法指导
在加、减、乘运算中奇数、偶数的特点不用死记,只需通过一两个简单的例子就可以得出规律。另外需熟悉50以内的质数:
2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47。
经典例题
[例1]在三位愉快的教士面前有一个画有16个方格的台面,上面放有10个硬币,每个硬币占一个方格。教士们绞尽脑汁想用这10个硬币摆成尽可能多的硬币个数都是偶数的行。行可以是横的,也可以是竖的,也可以是对角线。即图1中的硬币如何重新布局才能排出尽可能多的硬币个数是偶数的行。
思路剖析
要把10个硬币排到4×4的方格中,而且保证横行硬币个数为偶数个,则横行排列时每行最多排4个,最少排2个。则横行排列的个数为4,2,2,2。若要保证竖行硬币个数也为偶数个,同理,按竖行排列的个数也应为4,2,2,2。先把最多的横行和竖行硬币排列出来。使一横行和一竖行排满4个,则用去7个硬币。然后将剩下的3个硬币排入,因为此时恰好有三个奇数的横行(或竖行)。
解答
先排出最满的横行与竖行,再调整剩下的三个硬币的位置使之满足题意。可得结果如图2所示。
[例2]用五个奇数数码能否组成自然数14。
思路剖析
我们知道奇数个奇数的和应是奇数,此题似乎无解。但仔细读题可以知道并非是五个奇数,而是奇数数码。也就是说应该用偶数个奇数组成14。若用两个奇数组成14,则不能出现五个奇数数码。则一定是由四个奇数组成自然数14。那么其中一定有一个是两位数,小于14的两位数的奇数有11和13,由于13+l=14,不合题意。那么这4个奇数中一定有一个为11,那么结果可知。
解答
由5个奇数数码组成自然数14,方法如下:
11+l+l+l=14
点津
先审清题目中的条件,注意应用在加法运算中奇数、偶数的规律:奇数的个数是偶数个时结果为偶数。
[例3]有一个商人买进一些狗和兔子,其中兔子的对数正好是狗的只数的一半。商人买一只狗花2元钱,和他买一对兔子的价钱一样。他出售时各加价10,。这个商人卖出了大部分狗和兔子,最后剩下7只。他发现卖得的钱正好和买进狗和兔子用掉的钱一样多。他赚的钱也就是这剩下的7只狗和兔子的售价。试问商人赚了多少钱,
思路剖析
由“兔子的对数正好是狗的只数的一半”可知,兔子的只数与狗的只数相等。设买进的狗和兔子都是x只,卖剩的7只狗和兔子中有狗y只,兔子(7-y)只。那么卖出的狗数为(x-y)只,卖出兔子[x-(7-y)]只。1只狗的售价为:2+2×10,=2.2(元),1只兔子的售
22,,10%,1.122价:(元)。由条件“他发现卖得的钱正好和买进狗和兔子用掉的钱一样多”,可列出方程:2y+x=2.2(x-y)+1.1(x-7+y),那么3x=3.3x-1.1y-7.7,整理得:3x=11y+77。观察此方程解的特点:x,y都为整数,且y值不大于7。由于x是兔子的只数,则x是偶数,因为兔子按对买入。由77是奇数可知3x与11y中必有一个为奇数,因为x是偶数,那么3x是偶数,11y必为奇数,那么y为奇数,y可能为l、3或5。则可求出x、y的值,则题可解。
解答
设商人买进的狗的只数与兔子的只数各为x只。卖剩下的7只动物中有y只狗,则有(7-y)只兔子。那么可知卖出的狗为(x-y)只,卖出的兔子为[x-(7-y)]只。买一只狗2元,卖出2.2元,买一只兔子1元,卖出l.l元。
2x+x=2.2(x-y)+l.1(x-7+y)
3x=11y+77
88100x,x,33当y=1时,(不合题意);当y=3时,(不合题意);当y=5时,
132x,,443。
那么剩下的7只动物中有5只狗和2只兔子,由条件知他赚的钱也就是这7只狗和兔子的售价,为:2.2×5+1.1×2=13.2(元)。
答:商人赚了13.2(元)
点津
此题的条件很多,要根据给出的条件设出未知数。再将题目中所需要的量表示出来。虽然题中的3x=11y+77是一个不定方程,对它的求解有一定的困难,但我们可以通过对等号两边的数量进行奇偶分析,从而减少解这个方程的难度。
[例4]解答下列各题:
(1)7个相邻的奇数的和是147,求这7个数。
(2)三个相邻的偶数相乘,乘积是一个六位数4????8,请把中间的四个数字填出来。
思路剖析
(1)相邻的奇数相差2,若第一个奇数为a,则另外六个数依次为:a+2,a+4,a+6,a+8,a+10,a+12。由和为147,可求出这7个数。
(2)因为已知的乘积是六位数,所以相邻的三个偶数都是两位数。而偶数的末位数字只能是0,2,4,6,8;相邻的三个偶数的末位只能是0,2,4或2,4,6或4,6,8或6,8,0或8,0,2这五种情形。由本题三个相邻偶数的乘积其末位数为8,在上面的五种情形中,只有2×4×6的末位数字为8,所以相邻的三个偶数的末位数字依次为2,4,6。为确定十位上的数字,可以大致估计一下,70×70×70=343000,80×80×80=512000。因为本题给出的乘积是一个六位数4????8,它在343000和5l2000之间,则可以判断出这三个相邻偶数的范围。
解答
(1)?解法一:设第一个奇数为a,,则7个奇数的和a+(a+2)+(a+4)+(a+6)+(a+8)+(a+10)+(a+12)=147,7a+42=147,a=15。
a+2=17,a+4=19,a+6=21,a+8=23,a+10=25,a+12=27。
?解法二:这7个数中排列于中间的数:147?7=21,这是第四个奇数。
依次写出这7个相邻的奇数是15,17,19,21,23,25,27。
(2)这三个连续偶数的末位数是2,4,6,而且这三个偶数在70与80之间,则有:72×74×76=404928。
则中间的四个数为0492。
[例5]求自然数中前25个奇数的和;并判断这个和是奇数还是偶数,
思路剖析
先确定第25个奇数的数值,可利用数列求和的知识求出这25个数的和。25个奇数的和即为奇数个奇数求和,由加法运算中奇、偶数的规律可判断。
解答
第25个奇数为25×2-l=49
依题意,就是要求计算:
1+3+5+„+49=(1+49)×25?2
=625
奇数个奇数的和为奇数,则25个奇数的和是奇数。
答:自然数中前25个奇数的和是625,这个和是奇数。
[例6]求270的约数个数。
思路剖析
先对270分解质因数,再把270的质因数作各种乘积的组合,算出每种组合的个数,然后再求和。
解答
270=2×3×3×3×5
(1)一个质因数构成的约数有:2,3,5,共3个;
(2)两个质因数构成的约数有:2×3,2×5,3×5,3×3,共4个;
(3)三个质因数构成的约数有:2×3×3,3×3×3,3×3×5,共3个;
(4)四个质因数构成的约数有:2×3×3×3,3×3×3×5,共2个;
(5)270本身和自然数1,共2个。
合计共有约数:3+4+3+2+2=14(个)
答:270的约数共有14个,分别是1、2、3、5、6、10、15、9、18、27、45、54、135、270。
[例7]求合数2730的约数中,其中最小的三位数约数是多少,
思路剖析
可从最小的三位数100起依次分析100,101,102,„是否为2730的约数。
也可先求出2730的三位数的约数,再找出其中最小的一个。
解答
22100,2,5?解法一:2730=2×3×5×7×13因为
100的约数中有2个5和2个2。而2730的约数中只有1个2和1个5。因此,100不是2730的约数。101是质数,且不能被2730整除,所以101不是2730的约数。101是质数,且不能被2730整除,所以101不是2730的约数。102=2×3×17,103、104不能被2730整除,所以102、103、104不是2730的约数中最小的三位数约数。
?解法二:因为2730=2×3×5×7×13,故2730的三位数约数为3×5×7=105,3×5×13=195,5×7×13=455,2×3×5×7=210,2×3×5×13=390。容易看出,其中105是最小的,所以105是2730的最小的三位数约数。
发散思维训练
1(四年级全年级共有学生三百名,现在选派一位同学去观看文艺会演。挑选的方法是:先把三百名同学排成一排,由第一名开始报数,报奇数的同学落选退出队列,报偶数的同学站在原位置上不动,再报数。如此继续下去,最后剩下的一名同学便是观看会演的人选。丁丁非常想去,那么让丁丁站在什么位置上能被选中,
2(100个箱子,分装到9只船上,要使每只船上都装奇数个箱子,问能否办到,为什么,
3(由1一直加到2001,和是奇数还是偶数,
4(199个偶数之和与199个奇数之和的差是奇数还是偶数,
5(三个相邻偶数的乘积是一个六位数8????2,求这三个偶数。
6(今有一队同学,每个人手里都有一个球,如果其中拿篮球的人比拿足球的多1人,而拿足球的又比拿排球的多1人,设拿排球的人数是奇数,那么这一队同学的总人数是奇数还是偶数。
(2001名同学参加智力竞赛,竞赛题共30题,评分
是:基础分15分,答对一道7
加5分,不答记1分,答错一道减1分,试说明所有参加竞赛的同学得分总和一定是奇数。
8(有两个两位数的积是3828,求这两个数。
9(用某个比32小的自然数去乘32,使得积恰好是一个平方数,求这个数是多少,
10(有5个小朋友,年龄逐个增加1岁,5个人的年龄乘积是720,问他们的年龄各是多少岁,
11(由0、l、2、3、4、5、6、7、8、9这10个数字任意排成一个十位数,那么这个十位数是质数还是合数,
参考答案
发散思维训练
1(解:
300个位置可以顺次编上号码1,2,„,300,丁丁不能站在1,3,5,„,299处。否则第一次报数后就落选了。他也不能站在2×1,2×3,2×5,„,2×149处,否则第二次报数时又要被淘汰。依此类推,要想不被淘汰,丁丁必须站在1~300中含因数2最多的那个
89(2,256),300,(2,512)号码处。因为那么,丁丁在开始排队时站在第256名的位置上就一定可以被选中。
2(解:
要使9只船上,每只船上装奇数个箱子,则9只船上箱子的和为9个奇数的和,应仍为奇数,而箱子总数为100,因此这样的装法是不可能实现的。
3(解:
由1到2001中共有1000个偶数和1001个奇数,偶数的多少不能决定和的奇偶,而1001个奇数的和为奇数,因此从l一直加到2001的和为奇数。
4(解:
由于任意多个偶数的和是偶数,则199个偶数的和是偶数。奇数个奇数的和是奇数,则199个奇数的和是奇数。偶数与奇数的差是奇数。则199个偶数之和与199个奇数之和的差是奇数。
5(解:
由于乘积是六位数,所以相邻的三个偶数都是两位数。此六位数的末位数字是2,则这三个相邻的偶数的末位数字只能是4,6,8。为确定十位上的数字,先大致进行估计如下:90×90×90=729000,100×100×100=1000000因为本题给出的乘积是一个六位数8????2,在729000与1000000之间,则这三个相邻的偶数在90至100之间,又有94×96×98=884352。
答:这三个偶数是94,96,98。
6(解:
拿排球的人数是奇数,则拿足球的人数是奇数+l=偶数。拿篮球的人数是拿足球的人数+l=奇数。
那么这一队同学总人数=排球人数+足球人数+篮球人数=奇数+偶数+奇数=偶数。
答:这一队同学的总人数是偶数。
7(解:
设参加竞赛的某同学的答题情况为:答对a题,不答b题,答错c题,由题意可知a+b+c=30。由于30是偶数,那么a、b、c三数的奇偶情况只能为两奇一偶或三个都为偶数,由于三种情况的得分或减分都是奇数,当a,b,c为两奇一偶时,奇数×奇数=奇数,奇数×偶数=偶数,2个奇数+偶数=偶数,则该同学记分情况为偶数;当a,b,c全为偶数时, 那么该同学记分情况也一定为偶数。综上两种情况,不论同学答题情况如何,最终记下的分数一定是偶数,再加上基础分15分,那么最后的得分为奇数。共有2001个同学参加竞赛,即总分为2001个奇数求和,结果一定为奇数。
8(解:
把3828分解质因数:
3828=2×2×3×11×29,把2,2,3,11,29五个质因数适当搭配成两个两位数。
2×29,58,2×3×11=66或29×3=87,2×2×11,44
当58×66=3828时,这两个数为58和66,
当87×44=3828时,这两个数为87和44。
9(解:
将32分解质因数:
32=2×2×2×2×2,有奇数个2,若使得与32的积恰好是一个平方数,这个数分解质因数后一定有奇数个2。那么它可能为2,2×2×2,2×3×3,2×5×5,„„
由于这个数要小于32,则只能为2、8、18。
10(解:
将720分解质因数:
720=2×2×2×2×3×3×5=2×3×4×5×6
因此这5个小朋友的年龄分别为2岁、3岁、4岁、5岁、6岁。
11(解:
这个由0~9十个数字排成的十位数的数字特征为:0+l+2+3+4+5+6+7+8+9=45各个数位上的数字和为45,45是3的倍数,所以排成的十位数是3的倍数,是合数。