第五节参数方程求导法

第五节参数方程求导法 高等数学教案 参数方程求导 法 第五节 参数方程求导法 设参数方程为 x,x(t),, ,y,y(t)., 确定,则 y,y(x) dy ,dyy(t)dt . ,,dx,dxx(t) dt ,,,,,,,y(t)x(t),y(t)x(t)dy(t)()22,,,dyddydy(t)dtx(t)[x(t)],(),(),, . 2dx,,dxdxdxx(t)x(t)dx dt即 2,,,,,,dyyx,yx ,. 23,dx(x) 22,x,t，2t,dydy, 例1 设求. ,2yt,ln(1，).dxdx, 1dydy1dt1，t 解 . ,,,2dxdx2t，22(1，t)dt ,1ddy()23dyddy1(1，t)dtdx,(),,,, . 24dxdxdx2(1，t)dx2(1，t) dt 2,x,f(t),,dy 例2 设其中为二阶可导,求. f(t),2,y,tf(t),f(t).dx, dxdydy,,,,,f(t),,tf(t),,t 解 则. dxdtdt ddy()2dy1dtdx,,. 2dx,,ft()dx dt 12 高等数学教案 参数方程求导 法 t,x,a(lntan，cost),, 例3 证明曲线上任一点的切线与轴的交x(a,0,0,t,,)2, ,y,asint, 点至切点的距离为常数. ,y(t),dyy(t)0 证明 设切点坐标为,对应的参数为.由,得,所以切k,(x,y)t,000切,,x(t)dxx(t)0线方程为 ,y,y(t)y(t)00 . ,,x,x(t)x(t)00 切线与轴的交点为 x ,,x(t)y(t),x(t)y(t)*0000 . x,,x(t),acost00,y(t)0 所以 2*2222222 . d,(x(t),x)，[y(t)],acost，asint,a0000 13