【精品】棱锥的体积
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稜錐的體積
學習階段 , 3
學習範疇 , 度量、圖形與空間範疇 學習單位 , 平面及立體圖形的度量 基本能力 , KS3-MS3-3
計算稜錐、圓錐和球形的體積 簡介,
1. 教師派發「稜錐的體積」工作紙。
2. 學生利用檔案 “Vol-Pyramids.pps” 去完成工作紙。
(需先安裝Cabri 3D Ver 2.0或以上版本,可於網上下載免費試用
版。)
3. 學生先從一個特例直觀地看到一個稜錐,直角四稜錐,中國古
代稱為「陽馬」,見,
的體積等於一個底和高相同的柱體的三分之一。
4. 於題二中,透過觀察橫切面,學生證明一個三稜錐的體積等於
一個底和高相同的三稜柱的三分之一。
5. 然後學生透過將一個五稜錐分成三個三稜錐,證明五稜錐的體
積等於三分之一的底面積乘以高,再將這個結果推廣至所有稜
錐。
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學習單位,平面及立體圖形的度量 – 稜錐的體積
稜錐的體積
題一
開啟 “Vol-Pyramids.pps”檔案,按「開始」可看到以下畫面:
圖中ABCDEFGH為一個正方體。按右鍵拖曳可以不同的角度觀察。
(a) 將P點拖曳到最低的位置。
正方體被分為多少個稜錐,
(b) 這些稜錐是否全等, 是 , 否 ,
(c) 四稜錐ABCDG的體積是正方體的幾分之幾,
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題二
按「題二」,可看到以下畫面:
圖中左邊是一個黃色的三稜錐,而右邊是一個和這個三稜錐有相同的底及高度的三稜柱ABCDEF。這個柱體被分為三個稜錐ABCD、ACDF及CDEF,其中稜錐ABCD全等於左邊的黃色稜錐。
(a) 上下拖曳藍點,觀察三個稜錐ABCD、ACDF及CDEF在不同高度的橫切面的變化。
在同一高度,三個稜錐的橫切面是否相等, 是 , 否 ,
(b) 拖曳S點到最高位置,再上下拖曳藍點,觀察三個稜錐在不同高度的橫切面的變化。
(i) 哪兩個錐體在任何一個高度的橫切面都相等,
(ii) 這兩個錐體的體積是否相等, 是 , 否 ,
(c) 將S點拖到最低位置,再將T點拖到最高。上下拖曳藍點,觀察三個稜錐在不同高度
的橫切面的變化。
(i) 哪兩個錐體在任何一個高度的橫切面都相等,
(ii) 這兩個錐體的體積是否相等, 是 , 否 ,
(d) 根據以上結果,
(i) 稜錐ABCD、ACDF及CDEF的體積是否相等, 是 , 否 ,
(ii) 三稜錐ABCD的體積是三稜柱ABCDEF的幾分之幾,
(iii) 設三稜錐ABCD的底面積為A,高為h。
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三稜錐的體積 = 。 題三
按「題三」,可看到以下畫面:
圖中顯示一個底為五邊形的稜錐VABCDE,高為h。 拖曳S點,將稜錐VABCDE分成三個三稜錐VABC、VACD及VADE,設它們的底面積分別
為、及。 AAA321
(a) 利用題二的結果,寫出:
(i) 稜錐VABC的體積 = ;
(ii) 稜錐VACD的體積 = ;
(iii) 稜錐VADE的體積 = 。 (b) 設稜錐VABCDE的底面積為A,以A和h求它的體積。
題四
以A和h
示一個稜錐的底面積和高,則
稜錐的體積 =
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學習單位,平面及立體圖形的度量 – 稜錐的體積
稜錐的體積 ,答案,
題一
開啟 “Vol-Pyramids.pps”檔案,按「開始」可看到以下畫面:
圖中ABCDEFGH為一個正方體。按右鍵拖曳可以不同的角度觀察。
(a) 將P點拖曳到最低的位置。
正方體被分為多少個稜錐,
三個。
(b) 這些稜錐是否全等, 是 , 否 ,
(c) 四稜錐ABCDG的體積是正方體的幾分之幾,
?
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題二
按「題二」,可看到以下畫面:
圖中左邊是一個黃色的三稜錐,而右邊是一個和這個三稜錐有相同的底及高度的三稜柱ABCDEF。這個柱體被分為三個稜錐ABCD、ACDF及CDEF,其中稜錐ABCD全等於左邊的黃色稜錐。
(a) 上下拖曳藍點,觀察三個稜錐ABCD、ACDF及CDEF在不同高度的橫切面的變化。
在同一高度,三個稜錐的橫切面是否相等, 是 , 否 ,
(b) 拖曳S點到最高位置,再上下拖曳藍點,觀察三個稜錐在不同高度的橫切面的變化。
(i) 哪兩個錐體在任何一個高度的橫切面都相等,
ABCD及ACDF
(ii) 這兩個錐體的體積是否相等, 是 , 否 ,
(c) 將S點拖到最低位置,再將T點拖到最高。上下拖曳藍點,觀察三個稜錐在不同高度
的橫切面的變化。
(i) 哪兩個錐體在任何一個高度的橫切面都相等,
ACDF及CDEF
(ii) 這兩個錐體的體積是否相等, 是 , 否 ,
(d) 根據以上結果,
(i) 稜錐ABCD、ACDF及CDEF的體積是否相等, 是 , 否 ,
(ii) 三稜錐ABCD的體積是三稜柱ABCDEF的幾分之幾,
?
(iii) 設三稜錐ABCD的底面積為A,高為h。
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1三稜錐的體積 = 。 Ah3
題三
按「題三」,可看到以下畫面:
圖中顯示一個底為五邊形的稜錐VABCDE,高為h。 拖曳S點,將稜錐VABCDE分成三個三稜錐VABC、VACD及VADE,設它們的底面積分別
為、及。 AAA321
(a) 利用題二的結果,寫出:
1Ah (i) 稜錐VABC的體積 = ; 13
1Ah (ii) 稜錐VACD的體積 = ; 23
1Ah (iii) 稜錐VADE的體積 = 。 33
(b) 設稜錐VABCDE的底面積為A,以A和h求它的體積。
111體積 , Ah,Ah,Ah123333
1 ,,,A,A,Ah 1233
1,Ah3
題四
以A和h表示一個稜錐的底面積和高,則
1Ah 稜錐的體積 = 3
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