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天平秤重问题

2017-11-29 3页 doc 13KB 29阅读

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天平秤重问题天平秤重问题 [问题描述]: 有一只天平和N只砝码,如何设计这N只砝码,才能使这天平能够连续秤出的重量最大,假设砝码的最小单位为1克,秤物时物品放在天平的左边,砝码可以放在右边也可以放在左边,不管放在哪一边只要天平能够平衡就行,物品的重量应是右边砝码总重量减去左边砝码的重量。 输入一个物品的重量,输出其秤重方案。 [分析与算法选择]: 这个问题是从一个经典的数学问题变化而来,这个数学问题的大意是:一个物体重40磅,掉在地上后摔成四片,这四片恰好能够作为砝码连续秤出40磅以内的物品的重量,这四片的重量如何, (1)如何...
天平秤重问题
天平秤重问题 [问题描述]: 有一只天平和N只砝码,如何设计这N只砝码,才能使这天平能够连续秤出的重量最大,假设砝码的最小单位为1克,秤物时物品放在天平的左边,砝码可以放在右边也可以放在左边,不管放在哪一边只要天平能够平衡就行,物品的重量应是右边砝码总重量减去左边砝码的重量。 输入一个物品的重量,输出其秤重方案。 [分析与算法选择]: 这个问题是从一个经典的数学问题变化而来,这个数学问题的大意是:一个物体重40磅,掉在地上后摔成四片,这四片恰好能够作为砝码连续秤出40磅以内的物品的重量,这四片的重量如何, (1)如何设计砝码, 我们先不去看单位,直接用数字来描述。因为要能连续秤出一范围内的值,所以首先要有1,从数学上可以知道,N只砝码本身最大能秤的总重就是这N只砝码的重量和,下面就看如何保证连续的数都能秤出了。设这N只砝码的重量分别为W1、W2……Wn,且有W1<=W2<=……<=Wn, W1=1,下面看W2如何设计。 如果W2=1,1、2都能秤出;如果W2=2,1、2、3都能秤出;如果W2=3,1可以秤出(W1)、2可以秤出(W2-W1)、3可以秤出(W2)、4也可以秤出(W1+W2);如果W2=4,则2不能秤出;所以W2最大为3(=3*W1)。 同理可推出W3最大为9(=3*W2); …… Wn最大为3n-1(=3*Wn-1)。 设计方案为这N只砝码重分别为:1、3、9、27、……、3n-1。 (2)如何根据物品重量得到秤重方案, 物品(+砝码) 砝码 因为物品固定放在一连(如左边),只要考虑砝码放的情况。任一个砝码都可能有三种状态:一是跟被秤物品放在一起(如左边),二是不放,三是放在物品另一边(如右边)。最后物品的重量等于所有砝码乘上相应系数的和。这个系数可能是:-1、0、1。 先来看3只砝码时各种重量的称法,如下表所示,其中-1表示砝码放在物品一边、0表示砝码不放进天平、1表示砝码放在物品另一边,如果每一位加1后便只会是0、1、2这3个数字中的一个,所以可以方便地跟三进制数对应起来: 物品重量 3只砝码 每一位加1 9 3 1 三进制数 十进制数 1 0 0 1 112 14(=1+13) 2 0 1 -1 120 15(=2+13) 3 0 1 0 121 16(=3+13) 4 0 1 1 122 17(=4+13) 5 1 -1 -1 200 18(=5+13) 6 1 -1 0 201 19(=6+13) 7 1 -1 1 202 20(=7+13) 8 1 0 -1 210 21(=8+13) 9 1 0 0 211 22(=9+13) 10 1 0 1 212 23(=10+13) 11 1 1 -1 220 24(=11+13) 12 1 1 0 221 25(=12+13) 13 1 1 1 222 26(=13+13) 由上表我们可以总结出这样的计算方法:对于给定的物品重量,先确定它最多用到多大的砝 n-1n-1码,假定是3,那么先将这个物品的重量加上1、3、……3,得到一个数,再对这个数 进行除3取余运算,当余数为0时表示相应的砝码跟物品放在一起,余数为1时表示相应 的砝码不放,为2时表示放在物品的另一边。
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