第15章 逻辑代数及逻辑门电路

null第15章 逻辑代数及逻辑门电路 第15章 逻辑代数及逻辑门电路 15.1 逻辑代数的基本概念 15.2 逻辑的化简 15.3 无关项逻辑函数及化简法 习15 15.1 逻辑代数的基本概念15.1 逻辑代数的基本概念 15.1.1 基本逻辑关系 1. 与逻辑 与逻辑的演示电路如图15.1所示，只有当开关A、B都闭合时，灯Y才亮，否则灯不亮。则可列出A、B和Y之间的与逻辑关系表15.1。这种表称为逻辑真值表或简称为真值表。 与逻辑关系的表达式为 Y=A·B null图15.1 与逻辑演示电路null表15.1 与逻辑真值表 null 2. 或逻辑 或逻辑的演示电路如图15.2所示,开关A、B中只要有一个闭合, 灯Y就会亮。 null图15.2 或逻辑演示电路null表15.2 或逻辑真值表 null 或逻辑关系的表达式为 Y=A+B 3. 非逻辑 非逻辑的演示电路如图15.3所示, 开关A闭合, 灯Y就不亮；开关A断开, 灯Y就亮。从此例中可抽象出这样的逻辑关系: 只要某个条件具备, 结果便不会发生;而条件不具备时, 结果却一定发生。这种因果关系称为非逻辑，或称为逻辑求反。非逻辑的真值表如表15.3所示。 null图15.3 非逻辑演示电路null表15.3 非逻辑真值表 null 非逻辑关系的表达式为 其中逻辑关系A上方加符号“—”表示非的关系。 15.1.2 复合逻辑 最常见的复合逻辑如下： (1) 与非逻辑：逻辑表达式为Y=A·B, 逻辑符号如图15.4(a)所示。 (2)或非逻辑：逻辑表达式为Y=A+B,逻辑符号如图15.4(b)所示。 null (3) 异或逻辑：逻辑表达式为Y=AB,逻辑符号如图15.4(c)所示。 (4) 同或逻辑：逻辑表达式为Y=A⊙B，逻辑符号如图15.4(d)所示。 (5) 与或非逻辑：逻辑表达式为Y=A·B+C·D，逻辑符号如图15.4(e)所示。 null图15.4 常见复合逻辑的逻辑符号null 15.1.3逻辑代数的基本公式和常用公式 1. 常量之间的关系 0·0=0 0+0=0 ; 0·1=0 0+1=1 ; 1·1=1 1+1=1 ; 0=1 1=0 ; 2. 变量和常量的关系 A·1=A A+1=1 ; A·0=0 A+0=A ;  null 3. 各种定律 （1） 交换律: A+B=B+A,A·B=B·A; （2） 结合律: A+(B+C)=(A+B)+C, A·(B·C)=(A·B)·C; （3）分配律:A+B·C=(A+B)·(A+C),A·（B+C）=A·B+A·C; （4） 互非定律: （5） 重叠定律(同一定律): A·A=A, A+A=A； （6） 反演定律(摩根定律): （7） 还原定律: 。null 4. 常用导出公式 （1） A+A·B=A。 证 A+A·B=A(1+B)=A·1=A （2） A+ ·B=A+B。 证 A+ ·B=(A+ )(A+B)=A+B （用分配律） （3） A·B+A· =A。 证 A·B+A· =A(B+ )=A·1=A （4）A·(A+B)=A。 证 A·(A+B)=A·A+A·B=A+AB=A(1+B)=A·1=A null （5）A·B+ ·C+B·C=A·B+ ·C。 证 A·B+ ·C+B·C=A·B+ ·C+BC(A+ ) =AB+ C+ABC+ BC ;=A·B(1+C)+ C(B+1) ;=A·B+ ·C ; 推理 证右=AB+ +BC =AB+ +BC(D+1) =AB+ +BCD+BC ; =AB+ +BCD=左 null 在进行逻辑代数的分析和运算时要注意：逻辑代数的运算顺序和普通代数一样，先括号，然后乘，最后加；逻辑乘号可以省略不写；先或后与的运算式，或运算时要加括号，如 (A+B)·(C+D)≠A+B·C+D ; 15.1.4 逻辑代数的基本运算规则 1. 代入规则; 在任何一个逻辑等式中，若将等式两边出现的同一变量代之以另一函数, 则等式仍成立。null 例15.1证明: 。 解 根据摩根定律 或 用B=BC代入原式两边的B中，则有 成立。 2. 反演规则 对于任意的Y逻辑式，若将其中所有的“·”换成“+”，“+”换成“·”，0换成1，1换成0，原变量换成反变量，反变量换成原变量，则得到的结果就是 。 null 例15.2 已知Y=A(B+C)+CD，求 。 解 根据反演规则写出 例15.3 若 , 求 。 解 根据反演规则写出 null 反演规则为求取已知逻辑式的反逻辑式提供了方便。使用反演规则时要注意以下两点： (1) 仍需遵守“先括号，然后乘，最后加”的运算规则。 (2) 不属于单个变量上的反号应保留不变。 3. 对偶规则 (1) 对偶式的概念：对于任何一个逻辑式Y，若将其中的“·”换成“+”，将“+”换成“·”，将0换成1，将1换成0，可得到一个新的逻辑式Y′，这个Y′ 就称为Y的对偶式，或者说Y和Y′互为对偶式。null 例15.4 若Y=A·(B+C)，则Y′=A+B·C; 若 (2) 对偶规则：若两个逻辑式相等，则它们的对偶式也相等。 15.2 逻辑函数的化简15.2 逻辑函数的化简 15.2.1 逻辑函数及表示 表示逻辑函数的方法一般有： (1)真值表： (2) 函数式： (3) 逻辑图： (4) 卡诺图： (5) 波形图： null 15.2.2逻辑函数的最小项形式 在讲述逻辑函数的标准形式之前，先介绍最小项的概念，而后介绍逻辑函数的最小项之和的表达形式。最小项的性质如下： 在n变量函数中，若m为包含n个因子的乘积项，且这n个变量均以原变量或反变量的形式在m中出现一次，则称m为该组变量的最小项。 null 例如：A、B、C三个变量，其最小项有23=8个，即 三变量的最小项取值如表15.4所示。为了表达方便，用m0、m1、m2、…、mn表示最小项的编号。 null表15.4 三变量最小项取值表 null 最小项具有下列性质： （1） 在输入变量的任何取值下，必有一个最小项，而且仅有一个最小项的值为1; （2） 全体最小项之和为1; （3） 任意两个最小项的乘积为0; （4） 具有相邻性的两个最小项之和可以合并成一项，并可消除一对因子。 相邻性是指两个最小项只有一个因子不相同。例如 和 , 它们只有因子 和A不相同，故它们具有相邻性。这两个最小项相加时，能够合并成一项并可消除一对因子：null 例15.5将逻辑函数 展开为最小项之和的形式。 又如：逻辑函数Y=A+ +AB，可化简为 Y=A+C 这样一来，化简后使用较少的电子器件就可以完成同样的逻辑功能。null 上面化简的形式一般称为与或逻辑式，最简与或逻辑式的标准如下： （1） 逻辑函数式中乘积项（与项）的个数最少； （2） 每个乘积项中的变量数最少。 下面主要介绍与或逻辑式的化简方法。 2. 公式化简法 公式化简的原理就是反复使用逻辑代数的基本公式和常用公式，削去函数式中多余的乘积项和多余的因子，以求得函数式的最简形式。 null 例15.6 写出三变量函数 的最小项之和表达式。 解 null 例15.7已知三变量的真值表15.5，求最小项之和的表达式。 解 根据真值表写出逻辑函数的表达式: null表15.5 例15.7真值表 null 15.2.3 逻辑函数的公式化简法 1. 逻辑函数的最简形式 同一逻辑函数可以写成不同的逻辑式，而这些逻辑式的繁简程度又相差甚远。逻辑形式越简单，它所表示的逻辑关系就越明显，同时也有利于用最少的电子器件实现这个逻辑关系。因此，经常需要通过化简的手段找出逻辑函数的最简形式。 null 例如：有两个逻辑函数Y=ABC+ +ACD和Y=AC+ , 因为 Y=ABC+ +ACD =(ABC+ )+ACD =AC+ +ACD =AC+ 所以两式表示的是同一逻辑函数。 又如：逻辑函数Y=A+ C+AB，可化简为 Y=A+C 这样一来，化简后使用较少的电子器件就可以完成同样的逻辑功能。 null 1） 并项法 利用公式AB+A =A, 将两项合并为一项，削去一个变量，其中A，B可以是复杂的逻辑函数式。 例15.8化简逻辑函数Y=ABC+AB +A 。 解 Y=ABC+AB +A =AB(C+ )+A =AB+A =A null 例15.9 试用并项法化简下列逻辑函数: 解 (利用 )   null 2） 吸收法 ; 利用公式A+AB=A可将AB项削去。 null 例15.10 试用吸收法化简下列逻辑函数: 解 null 3） 消项法 ; 利用公式AB+ +BC=AB+ 将多余项BC消除, 其中A、B、C可以是复杂的逻辑表达式。 例15.11 用消项法化简下列逻辑函数: 解 null 4） 消因子法 ; 利用公式A+ =A+B将 中的 因子削去，其中A、B均可是任何复杂的逻辑式。 例15.12 利用削因子法化简下列逻辑函数: null 解 5） 配项法 ; 利用公式A+A=A可以在逻辑函数中重复写入某项，有时可能获得更加简单的化简结果。 null 例 15.13化简逻辑函数 。 解 例 15.14化简逻辑函数 。 解null 15.2.4 逻辑函数的卡诺图化简法 1. 最小项的卡诺图 将n变量的全部最小项各用一个小方格表示，并使具有逻辑相邻性的最小项在几何位置上也相邻地排列起来，所得到的图形称为n变量最小项的卡诺图（该图是美国工程师卡诺首先提出的）。 最小项逻辑变量卡诺图的画法：n个逻辑变量，就有2n个最小项，需要2n个小方块。图15.5所示为两变量、三变量、四变量的卡诺图。 null 图 15.5 卡诺图 (a) 两变量；(b) 三变量；(c) 四变量null 卡诺图将逻辑相邻性通过几何相邻实现，给逻辑函数化简带来简便直观的方法，逻辑变量最小项用卡诺图表示的方法如下： (1) 根据逻辑函数所包含的逻辑变量数目，画出相应的最小项卡诺图（2n个方块）; (2) 将逻辑函数中包含的最小项，在最小项卡诺图上找到对应的方块，并填上1，函数中不包含的最小项处填0（什么都不填，空着也行）。 null 例15.15 用卡诺图表示逻辑函数 解 卡诺图如图15.6所示。 null图15.6 例15.15卡诺图null 例15.16 逻辑函数的卡诺图如图15.7所示，试写出该逻辑函数的逻辑式。 解 图 15.7 例15.16卡诺图null 例15.17 已知逻辑函数的真值表15.6，试画出对应的最小项卡诺图。 解 卡诺图如图15.8所示。 null表15.6 例15.17真值表 null图15.8 例15.17卡诺图null 2. 用卡诺图化简逻辑函数 利用卡诺图化简逻辑函数的方法称为卡诺图化简法，或称为图形化简法。化简时依据的基本原理是具有相邻性的最小项可以合并，以消除不同的因子。合并最小项的规律如下： (1) 若两个最小项相邻，则可合并为一项并削去一对因子，合并后的结果中只剩下公共因子； (2) 若四个最小项相邻，则可合并为一项并削去两对因子，合并后的结果中只包含公共因子； (3) 若八个最小项相邻，则可合并为一项并削去三对因子，合并后的结果中只包含公共因子。 null 由此类推，可以归纳出合并最小项的一般规则：如果有2n个最小项相邻(n=1, 2, 3，…) ，则它们可合并为一项，并削去n对因子, 合并后的结果中仅包含这些最小项的公共因子。 在合并时有两点需要注意: (1) 能够合并的最小项数必须是2的整数次幂； (2) 要合并的方格必须排列成矩形成正方向。 图15.9所示分别为两个最小项、四个最小项、八个最小项合并成一项时的一些情况。null图 15.9 卡诺图化简举例null 利用卡诺图化简的步骤归纳如下: (1) 将函数化为最小项之和的形式； (2) 画出表示该逻辑函数的卡诺图； (3) 按照合并最小项的规则，将能合并的最小项圈起来，没有相邻最小项的单独圈起来； (4) 每个包围作为一个乘积项，将乘积项相加即是化简后的与或表达式。 null 例15.18用卡诺图化简下列逻辑表达式： （1） Y1(A,B,C,D)=∑m(1,3,5,7,8,9,10,12,14) （2） Y2(A,B,C,D) =∑m(0,1,4,5,9,10,11,13,15) （3） Y3(A,B,C,D)=∑m(0,2,5,6,7,8,9,10,11,14,15) 解 （1）根据函数的表达式画出相对应的最小项变量卡诺图, 如图15.10所示。   null图 15.10 例15.18(1)卡诺图null (2）根据函数的表达式画出相对应的卡诺图，如图15.11所示。 null图15.11 例15.18(2)卡诺图null （3） 根据函数的表达式画出相对应的卡诺图，如图15.12所示。 null图15.12 例15.18(3)卡诺图null 用卡诺图合并最小项时应注意: （1） 合并相邻项的圈尽可能大一些，以减少化简后相乘的因子数目； （2） 每个圈中至少应有一个最小项被圈过一次，以避免出现多余项； （3） 所有函数值为1的最小项都要圈起来，圈的个数应尽可能少，使简化后的乘积项数目最少； （4） 有些情况下，最小项的圈法不同，得到的最简与或表达式也不尽相同，常常要经过比较、检查才能确定哪一个是最简式。15.3 无关项逻辑函数及化简法15.3 无关项逻辑函数及化简法 15.3.1 约束项、任意项和逻辑函数中的无关项 由于每组输入变量的取值都只能是一个，仅有一个最小项的值为1，因此当限制某些输入变量的取值不能出现时，可以用它们所对应的最小项恒等于0来表示。上例中的约束条件可以表示为 null 或写成 这些恒等于0的最小项就称为约束项。 15.3.2 无关项在化简逻辑函数中的应用 例15.19 某逻辑电路的输入信号A 、B 、C、D为8421BCD码，又知当码值为1、3、5、7、9时，输出函数Y为1。求该电路输出函数的最简与或表达式。 null图15.13 例15.19卡诺图null 解 因为8421BCD码有六个输入组合1010、1011、1100、1101、1110、1111是不能出现的，故约束项为 ，相应的表达式为 卡诺图如图15.13所示。 如果不利用约束项，则输出函数式为 可见，有约束项参加化简，能使化简结果更加简单。null 例15.20 化简下列函数： 解 画出Y1相应的卡诺图(带约束项)，如图15.14所示。 null 画出Y2相应的卡诺图(带约束项)，如图15.15所示。 null图 15.14 例15.20 Y 1卡诺图null图15.15 例15.20 Y 2卡诺图null 例15.21 化简函数式 解 习题15 习题15 1. 用代数法化简下列逻辑函数: (1)Y=AB+ C+BC; (2)Y=ABC+A+BC+ C; (3)Y=(AB+C)+(AB+C)·(A+CD); (4)Y=AB+ C+ C+A C。 null 2. 用代数法将下列函数化简成最简与或式： 3. 一个电路有三个输入端A、B、C，当其中两个输入端有1信号时，输出D有信号，试列出真值表，并写出D的逻辑表达式。null 4. 当变量A、B、C为0、1、0，1、1、0和1、0、1时，求下列函数值： 5. 将下列函数展开为最小项表达式： null 6. 用卡诺图化简下列各式： 7. 利用与非门实现下列函数： null 8. 写出题图15.1所示逻辑电路的逻辑函数表达式。 题图 15.1 null 9. 已知某逻辑函数 。试用真值表、卡诺图和逻辑图表示。 10. 写出题图15.2所示各逻辑电路的逻辑函数表达式，并化简与或式。 null题图 15.2