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高中数学易错题集（解析几何）解析几何一、选择题：（如中）若双曲线的离心率为，则两条渐近线的方程为 A B C D 解答：C 易错原因：审题不认真，混淆双曲线标准方程中的a和题目中方程的a的意义。（如中）椭圆的短轴长为2，长轴是短轴的2倍，则椭圆的中心到其准线的距离是 A B C D 解答：D 易错原因：短轴长误认为是 3．（如中）过定点（1，2）作两直线与圆相切，则k的取值范围是 A k>2 B -32 D 以上皆不对解答：D 易错...

解析几何一、选择题：（如中）若双曲线的离心率为，则两条渐近线的方程为 A B C D 解答：C 易错原因：审题不认真，混淆双曲线标准方程中的a和题目中方程的a的意义。（如中）椭圆的短轴长为2，长轴是短轴的2倍，则椭圆的中心到其准线的距离是 A B C D 解答：D 易错原因：短轴长误认为是 3．（如中）过定点（1，2）作两直线与圆相切，则k的取值范围是 A k>2 B -32 D 以上皆不对解答：D 易错原因：忽略题中方程必须是圆的方程，有些学生不考虑 4．（如中）设双曲线的半焦距为C，直线L过两点，已知原点到直线L的距离为，则双曲线的离心率为 A 2 B 2或 C D 解答：D 易错原因：忽略条件对离心率范围的限制。 5．（如中）已知二面角的平面角为，PA ，PB ，A，B为垂足，且PA=4，PB=5，设A、B到二面角的棱的距离为别为，当变化时，点的轨迹是下列图形中的 A B C D 解答： D 易错原因：只注意寻找的关系式，而未考虑实际问题中的范围。 6．（如中）若曲线与直线 +3有两个不同的公共点，则实数 k 的取值范围是 A B C D 解答：C 易错原因：将曲线转化为时不考虑纵坐标的范围；另外没有看清过点(2,-3)且与渐近线平行的直线与双曲线的位置关系。 7．（石庄中学）P(-2,-2)、Q(0,-1)取一点R(2,m)使︱PR︱＋︱RQ︱最小，则m=（） A B 0 C –1 D - 正确答案：D 错因：学生不能应用数形结合的思想方法，借助对称来解题。 8．（石庄中学）能够使得圆x +y -2x+4y+1=0上恰好有两个点到直线2x+y+c=0距离等于1的一个值为（） A 2 B C 3 D 3 正确答案： C 错因：学生不能借助圆心到直线的距离来处理本题。 9．（石庄中学）P (x ,y )是直线L：f(x,y)=0上的点，P (x ,y )是直线L外一点，则方程f(x,y)+f(x ,y )+f(x ,y )=0所

表

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示的直线（） A 相交但不垂直 B 垂直 C 平行 D 重合正确答案： C 错因：学生对该直线的解析式看不懂。 10．（石庄中学）已知圆 EMBED Equation.3 +y =4 和直线y=mx的交点分别为P、Q两点，O为坐标原点，则︱OP︱·︱OQ︱=( ) A 1+m B C 5 D 10 正确答案： C 错因：学生不能结合初中学过的切割线定︱OP︱·︱OQ︱等于切线长的平方来解题。 11．（石庄中学）在圆x +y =5x内过点（，）有n条弦的长度成等差数列，最短弦长为数列首项a ,最长弦长为a ，若公差d EMBED Equation.3 ，那么n的取值集合为（） A B C D 正确答案：A 错因：学生对圆内过点的弦何时最长、最短不清楚，不能借助d的范围来求n. 12．（石庄中学）平面上的动点P到定点F(1,0)的距离比P到y轴的距离大1,则动点P的轨迹方程为（） A y =2x B y =2x 和 C y =4x D y =4x 和正确答案：D 错因：学生只注意了抛物线的第二定义而疏忽了射线。 13．（石庄中学）设双曲线－＝1与－＝1（a＞0,b＞0）的离心率分别为e 、e ，则当a、 b变化时，e +e 最小值是（） A 4 B 4 C D 2 正确答案：A 错因：学生不能把e +e 用a、 b的代数式表示，从而用基本不等式求最小值。 14．（石庄中学）双曲线－＝1中，被点P(2,1)平分的弦所在直线方程是（） A 8x-9y=7 B 8x+9y=25 C 4x-9y=16 D 不存在正确答案：D 错因：学生用“点差法”求出直线方程没有用“△”验证直线的存在性。 15．（石庄中学）已知是三角形的一个内角，且sin +cos = 则方程x sin －y cos =1表示（） A 焦点在x轴上的双曲线 B 焦点在y轴上的双曲线 C 焦点在x轴上的椭圆 D 焦点在y轴上的椭圆正确答案：D 错因：学生不能由sin +cos = 判断角为钝角。 16．（石庄中学）过抛物线的焦点F作互相垂直的两条直线，分别交准线于P、Q两点，又过P、Q分别作抛物线对称轴OF的平行线交抛物线于M﹑N两点,则M﹑N﹑F三点 A 共圆 B 共线 C 在另一条抛物线上 D 分布无规律正确答案：B 错因：学生不能结合图形灵活应用圆锥曲线的第二定义

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问题。 17．(磨中)曲线xy=1的参数方程是( ) A x=t B x=Sinα C x=cosα D x=tanα y=t y=cscα y=Seeα y=cotα 正确答案：选D 错误原因：忽视了所选参数的范围，因而导致错误选项。 18．(磨中)已知实数x，y满足3x2+2y2=6x，则x2+y2的最大值是( ) A、 B、4 C、5 D、2 正确答案：B 错误原因：忽视了条件中x的取值范围而导致出错。 19．（城西中学）双曲线－y2=1(n>1)的焦点为F1、F2，，P在双曲线上，且满足：｜PF1|+|PF2|=2，则ΔPF1F2的面积是 A、1 B、2 C、4 D、正确答案： A 错因：不注意定义的应用。 20．（城西中学）过点(0,1)作直线，使它与抛物线仅有一个公共点，这样的直线有（　） A.1条 B.2条 C. 3条 D. 0条正确答案：C 错解：设直线的方程为，联立，得，即：，再由Δ＝0,得k=1,得答案A. 剖析：本题的解法有两个问题，一是将斜率不存在的情况考虑漏掉了，另外又将斜率k=0的情形丢掉了，故本题应有三解，即直线有三条。 21．（城西中学）已知动点P（x,y）满足，则P点的轨迹是（） A、直线 B、抛物线 C、双曲线 D、椭圆正确答案：A 错因：利用圆锥曲线的定义解题，忽视了（1，2）点就在直线3x+4y-11=0上。 22．（城西中学）在直角坐标系中，方程所表示的曲线为（　） A．一条直线和一个圆　B．一条线段和一个圆 C．一条直线和半个圆　　D．一条线段和半个圆正确答案：D 错因：忽视定义取值。 23．（城西中学）设坐标原点为O，抛物线与过焦点的直线交于A、B两点，则 =（） A． B． C．3 D．-3 正确答案：B。错因：向量数量积应用，运算易错。 24．（城西中学）直线与椭圆相交于A、B两点，椭圆上的点P使的面积等于１２，这样的点P共有（　　）个 A．１ B．２ C．３ D．４正确答案：D 错因：不会估算。 25．（一中）过点（1，2）总可作两条直线与圆相切，则实数k的取值范围是（） A B C 或 D 都不对正确答案：D 26．（一中）已知实数，满足，那么的最小值为 A． B． C． D．正确答案：A 27．（一中）若直线与曲线有公共点，则的取值范围是 A． B． C． D．正确答案：D 28．（一中）设ｆ(x)= x2+ax+b，且1≤f(－1)≤2，2≤f(1)≤4，则点(a，b)在aOb平面上的区域的面积是 A． B．1 C．2 D．正确答案：B 29．（一中）当、满足约束条件（为常数）时，能使的最大值为12的的值为 A．－9 B．9 C．－12 D．12 正确答案：A 30．（一中）已知关于的方程有两个绝对值都不大于1的实数根，则点在坐标平面内所对应的区域的图形大致是正确答案：A 31．（一中）能够使得圆上恰有两个点到直线距离等于1的的一个值为（） A．2 Ｂ． C．3 D．正确答案：C 32．（蒲中）抛物线y=4x2的准线方程为（） A、x=－1 B、y=－1 C、x= D、y= 答案：D 点评：误选B，错因把方程当成标准方程。 33．（蒲中）对于抛物线C：y2=4x，称满足y02<4x0的点M(x0，y0)在抛物线内部，若点M(x0，y0)在抛物线内部，则直线l：y0y=2(x+x0)与曲线C（） A、恰有一个公共点 B、恰有两个公共点 C、可能有一个公共点也可能有2个公共点 D、无公共点答案：D 点评：条件运用不当，易误选C。 34．（江安中学）直线过点，那么直线倾斜角的取值范围是（）。 [0, ) [0, ] ( , ) [ , ] [0, ] ( , ) 正解：B EMBED Equation.3 点A与射线 ≥0)上的点连线的倾斜角，选B。误解：选D，对正切函数定义域掌握不清，故时，正切函数视为有意义。 35．（江安中学）设F1和F2为双曲线的两个焦点，点在双曲线上且满足，则的面积是（）。 1 2 正解：A ① 又 EMBED Equation.3 ② 联立①②解得 EMBED Equation.3 误解：未将两边平方，再与②联立，直接求出。 36．（江安中学）已知直线和夹角的平分线为，若的方程是，则的方程是（）。正解：A 法一：：，而与关于直线对称，则所表示的函数是所表示的函数的反函数。由的方程得选A 法二：找对称点（略）误解：一般用找对称点法做，用这种方法有时同学不掌握或计算有误。 37．（江安中学）直线，当变化时，直线被椭圆截得的最大弦长是（） 4 2 不能确定正解：C 直线，恒过P(0,1)，又是椭圆的短轴上顶点，因而此直线被椭圆的弦长即为点P与椭圆上任意一点Q的距离，设椭圆上任意一点Q 。，故选C 误解：不能准确判断的特征：过P(0,1)。若用标准方程求解，计算容易出错。 38．（江安中学）已知直线和直线，则直线与（）。通过平移可以重合不可能垂直可能与轴围成等腰直角三角形通过上某一点旋转可以重合正解：D。只要，那么两直线就相交，若相交则可得到（D）。误解：A，忽视了的有界性，误认为误解：B、C，忽视了的有界性。 39．（江安中学）已知，且，则下列判断正确的是（）正解：C。由 = 1 \* GB3 ①，又 = 2 \* GB3 ② 由① = 2 \* GB3 ② EMBED Equation.3 得同理由得综上：误解：D，不等式两边同乘－1时，不等号未变号。 40．（江安中学）一条光线从点M（5，3）射出，与轴的正方向成角，遇轴后反射，若，则反射光线所在的直线方程为（）正解：D。直线MN；，与轴交点，反射光线方程为，选D。误解：反射光线的斜率计算错误，得或。 41．（江安中学）已知对称轴为坐标轴的双曲线的渐近线方程为，若双曲线上有一点M（），使，那双曲线的交点（）。在轴上在轴上当时在轴上当时在轴上正解：B。由得，可设，此时的斜率大于渐近线的斜率，由图像的性质，可知焦点在轴上。所以选B。误解：设双曲线方程为，化简得：，代入，，，焦点在轴上。这个方法没错，但确定有误，应，焦点在轴上。误解：选B，没有分组。 42．（江安中学）过抛物线的焦点作一条直线交抛物线于，则为（） 4 －4 正解：D。特例法：当直线垂直于轴时，注意：先分别求出用推理的方法，既繁且容易出错。 43．（江安中学）过点A（，0）作椭圆的弦，弦中点的轨迹仍是椭圆，记为 ,若和的离心率分别为和，则和的关系是（）。＝＝2 2 ＝不能确定正解：A。设弦AB中点P（，则B（由 + =1， + =1* = 误解：容易产生错解往往在*式中前一式分子不从括号里提取4，而导致错误。 44．（江安中学）直线的倾斜角是（）。正解：D。由题意得：κ= 在[0，π]内正切值为κ的角唯一倾斜角为误解:倾斜角与题中显示的角混为一谈。 45．（丁中）过点（1，3）作直线，若经过点和，且，则可作出的的条数为（　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 多于3 错解: D．错因：忽视条件 ,认为过一点可以作无数条直线. 正解: B． 46．（丁中）已知直线与平行，则实数a的取值是 A．－1或2 B．0或1 C．－1 D．2 错解：A 错因：只考虑斜率相等，忽视正解：C 47．（丁中）若圆上有且仅有两个点到直线的距离为1，则半径r的取值范围是（　）． A．（4，6）　　 B．[4，　　 C．（4，　　　D．[4，6] 错解: B或 C 错因：:数形结合时考虑不全面,忽视极限情况,当r =4时,只有一点,当 r =6时,有三点. 正解: A 48．（丁中）半径不等的两定圆无公共点，动圆与都内切，则圆心O是轨迹是（） A. 双曲线的一支 B. 椭圆 C. 双曲线的一支或椭圆 D. 抛物线或椭圆错解: A或 B 错因：两定圆无公共点，它们的位置关系应是外离或内含,只考虑一种二错选. 正解: C. 49．（薛中）与圆相切，且纵截距和横截距相等的直线共有（） A、2条 B、3条 C、4条 D、6条答案：C 错解：A 错因：忽略过原点的圆C的两条切线 50．（薛中）若双曲线的右支上一点P（a,b）直线y=x的距离为，则a+b 的值是（） A、 B、 C、 D、答案：B 错解：C 错因：没有挖掘出隐含条件 51．（薛中）双曲线中，被点P（2，1）平分的弦所在的直线方程为（）　　 A、 B、 C、 D、不存在答案：D 错解：A 错因：没有检验出与双曲线无交点。 52．（案中）已知圆 (x-3)2+y2=4和直线y=mx的交点分别为P，Q两点，O为坐标原点，则的值为（） A、1+m2 B、 C、5 D、10 正确答案：（C）错误原因：遗忘了初中平几中的相关知识 53．（案中）能够使得圆x2+y2-2x+4y=0上恰有两个点到直线2x+y+C=0的距离等于1的C的一个值为（） A、2 B、 C、3 D、3 正确答案：C 错误原因：不会结合图形得出已知条件的可行性条件。 54．（案中）设f(x)=x2+ax+b, 且则点(a,b)在aob平面上的区域的面积是 ( ) A、 B、1 C、2 D、正确答案：（B）错误原因：未能得出准确平面区域 55．（案中）设P为双曲线右支异于顶点的任一点，F1，F2为两个焦点，则△PF1F2的内心M的轨迹方程是（） A、x=4, (y≠) B、x=3 ,(y≠) C、x=5 ,(y≠) D、x= , (y≠) 正确答案：(A) 错误原因：未能恰当地运用双曲线的定义解题。 56．（案中）过函数y=- 的图象的对称中心，且和抛物线y2=8x有且只有一个公共点的直线的条数共有（） A、1条 B、2条 C、3条 D、不存在正确答案：（B）错误原因：解本题时极易忽视中心（2，4）在抛物线上，切线只有1条，又易忽视平行于抛物线对称轴的直线和抛物线只有一个公共点。二填空题： 1．（如中）若直线与抛物线的两个交点都在第二象，则k的取值范围是______________. 解答： (-3, 0) 易错原因：找不到确当的解答方法。本题最好用数形结合法。 2．（搬中）双曲线上的点P到点(5,0)的距离为8.5，则点P到点()的距离_______。错解设双曲线的两个焦点分别为,, 由双曲线定义知所以或剖析由题意知，双曲线左支上的点到左焦点的最短距离为1, 所以不合题意，事实上，在求解此类问题时，应灵活运用双曲线定义，分析出点P的存在情况，然后再求解。如本题中，因左顶点到右焦点的距离为9>8.5，故点P只能在右支上，所求 3．(磨中)直线xCosx+y—1=0的倾斜角θ的取值范围为__________。正确答案：θ∈[0， ]∪[ ，π] 错误原因：由斜率范围求倾角范围在三角知识上出现错误；或忽视直线倾角的定义范围而得出其它错误答案。 4．(磨中)已知直线l1：x+y—2=0 l2：7x—y+4=0 则l1与l2夹角的平分线方程为______。正确答案：6x+2y—3=0 错语原因：忽视两直线夹角的概念多求了夹角的邻补角的平分线方程。 5．(磨中)过点(3，—3)且与圆(x—1)2+y2=4相切的直线方程是：___________。正确答案：5x+12y+21=0或x=3 错误原因：遗漏了斜率不存在的情形造成漏解。 6．(磨中)已知双曲线的右准线为x=4，右焦点F(10，0)离心率e=2，则双曲线方程为______。正确答案：错误原因：误认为双曲线中心在原点，因此求出双曲线的标准方程而出现错误。 7．(磨中)过点(0，2)与抛物线y2=8x只有一个共点的直线有______条。正确答案：3 错误原因：认为与抛物线只有一个共点的直线只能与抛物线相切而出错。 8．(磨中)双曲线的离心率为e，且e∈(1，2)则k的范围是________。正确答案：k∈(—12，0) 错误原因：混淆了双曲线和椭圆的标准方程。 9．(磨中)已知P是以F1、F2为焦点的双曲线上一点，PF1⊥PF2且tan∠PF1F2= ，则此双曲线的离心率为_______________。正确答案：错误原因：忽视双曲线定义的应用。 10．(磨中)过点M(—1，0)的直线l1与抛物线y2=4x交于P1，P2两点，记线段P1P2的中点为P，过P和这个抛物线的焦点F的直线为l2，l1的斜率为K，试把直线l2的斜率与直线l1的斜率之比表示为k的函数，其解析式为________，此函数定义域为________。正确答案：f(k)= (—1，0)∪(0，1) 错误原因：忽视了直线l1与抛物线相交于两点的条件，得出错误的定义域。 11．（城西中学）已知F1、F2是椭圆　　　的焦点，P是椭圆上一点，且∠F1PF2=90°，则椭圆的离心率e的取值范围是。答案：错因：范围问题主要是找不等关系式，如何寻求本题中的不等关系，忽视椭圆的范围。 12．（城西中学）已知一条曲线上面的每一点到点A(0,2)的距离减去它到轴的距离的差都是2,则这曲线的方程是_____________ 正确答案：或错因：数形结合时考虑不全面。 13．（城西中学）已知、是双曲线的焦点，点P是双曲线上一点，若P到焦点的距离为９，则P到焦点的距离为___________. 正确答案：１７错因：不注意取舍。 14．（一中）已知点F是椭圆的右焦点，点A（4，1）是椭圆内的一点，点P（x，y）（x≥0）是椭圆上的一个动点，则的最大值是．（答案：5） 15．（蒲中）若直线l：y=kx－2交抛物线y2=8x于A、B两点，且AB中点横坐标为2，则l与直线3x－y+2=0的夹角的正切值为___________ 答案：点评：误填或2，错因：忽略直线与抛物线相交两点的条件△>0 16．（蒲中）直线y=kx－2与焦点在x轴上的椭圆恒有公共点，则m的取值范围为x=___________ 答案：4≤m<5 点评：易忽略条件“焦点在x轴上”。 17．（蒲中）与圆x2+y2－4x=0外切，且与y轴相切的动圆圆心的轨迹方程为__________ 答案：y2=8x（x≥0）或y=0（x<0）点评：易数列结合，忽略“y=0（x<0）”。 18．（蒲中）一动点到y轴的距离比到点(2，0)的距离小2，这个动点的轨迹方程是_______ 答案：y2=8x或y=0（x<0）点评：易用抛物线定义得“y2=8x”而忽略“y=0（x<0）” 19．（蒲中）一个椭圆的离心率为e= ，准线方程为x=4，对应的焦点F(2，0)，则椭圆的方程为____________ 答案：3x2+4y2－8x=0 点评：易由条件得：c=2，错写成标准方程，而忽略条件x=4未用。 20．（蒲中）已知a、b、c分别是双曲线的实半轴、虚半轴和半焦距，若方程ax2+bx+c=0无实根，则此双曲线的离心率e的取值范围是___________ 答案：11”。 21．（蒲中）若方程(9－m)x2+(m－4)y2=1表示椭圆，则实数m的取值范围是_________ 答案：43)是三角形ABC的边BC的中点，设A点横坐标t，△ABC的面积为f (t). (1) 求f (t)的解析表达式； (2) 若f (t)在定义域内为增函数，试求m的取值范围； (3) 是否存在m使函数f (t)的最大值18？若存在，试求出m的值；若不存在，请说明理由。解：(1) f (t) = 2t (m-3t2) (2) ∵ 上是增函数. ∴ 即上恒成立. 即m的取值范围 (3) 令f’(t)=0，得（其中舍去）即时，在处 =12，此时m的值不存在. 令，即m>9由(2)知f (t)在为增函数，，由2(m-3)=18得m=12 综上只存在m=12适合题意。 6．（搬中）已知圆，圆都内切于动圆，试求动圆圆心的轨迹方程。错解：圆O2：即为所以圆O2的圆心为,半径, 而圆的圆心为,半径, 设所求动圆圆心M的坐标为(x,y),半径为r 则且所以即化简得即为所求动圆圆心的轨迹方程。剖析：上述解法将=3看成,误认为动圆圆心的轨迹为双曲线，这是双曲线的概念不清所致。事实上，|表示动点M到定点及的距离差为一常数3。且,点M的轨迹为双曲线右支，方程为 7．（搬中）点P与定点F（2，0）的距离和它到直线x=8的距离比是1：3,求动点P与定点距离的最值。错解：设动点P(x,y)到直线x=8的距离为d，则即两边平方、整理得 =1 （1）由此式可得：因为所以剖析由上述解题过程知,动点P(x,y)在一椭圆上，由椭圆性质知，椭圆上点的横纵坐标都是有限制的，上述错解在于忽视了这一取值范围，由以上解题过程知，的最值可由二次函数在区间上的单调性给予解决即：当时， 8．（搬中）已知双曲线的离心率e=, 过点A（）和B(a,0)的直线与原点的距离为,直线y=kx+m与该双曲线交于不同两点C、D，且C、D两点都在以A为圆心的同一圆上，求m 的取值范围。错解由已知，有解之得：所以双曲线方程为把直线 y=kx+m代入双曲线方程，并整理得：所以(1) 设CD中点为，则APCD，且易知：所以 (2) 将(2)式代入(1)式得解得m>4或故所求m的范围是剖析上述错解，在于在减元过程中，忽视了元素之间的制约关系，将代入(1) 式时，m受k的制约。因为所以故所求m的范围应为 m>4或 9．（搬中）椭圆中心是坐标原点，长轴在x轴上，离心率,已知点P（）到椭圆上的点最远距离是，求这个椭圆的方程。错解设所求椭圆方程为因为所以a=2b 于是椭圆方程为设椭圆上点M（x,y）到点P 的距离为d, 则：所以当时，有所以所求椭圆方程为剖析由椭圆方程得由(1)式知是y的二次函数，其对称轴为上述错解在于没有就对称轴在区间内或外进行分类，其正确应对f(y)=的最值情况进行讨论：（1）当，即时 =7 ,方程为（2）当, 即时，，与矛盾。综上所述，所求椭圆方程为 10．（搬中）已知双曲线,问过点A（1，1）能否作直线,使与双曲线交于P、Q两点，并且A为线段PQ的中点？若存在，求出直线的方程，若不存在，说明理由。错解设符合题意的直线存在，并设、则（1）得因为A（1，1）为线段PQ的中点，所以将(4)、(5)代入（3）得若，则直线的斜率所以符合题设条件的直线存在。其方程为剖析在（3）式成立的前提下，由(4)、（5）两式可推出(6)式，但由(6)式不能推出(4)(5)两式，故应对所求直线进行检验，上述错解没有做到这一点，故是错误的。应在上述解题的基础上，再由得根据,说明所求直线不存在。 11．（搬中）已知椭圆，F为它的右焦点，直线过原点交椭圆C于A、B两点。求是否存在最大值或最小值？若不存在，说明理由。错解设A、B两点坐标分别为、因为所以又椭圆中心为（1，0）,右准线方程为x=5 所以即同理所以设直线的方程为y=kx，代入椭圆方程得所以代入(1)式得所以所以|有最小值3,无最大值。剖析上述错解过程忽视了过原点斜率不存在的直线，当的斜率不存在时，有所以有最小值为 3，最大值为25/4 12．(磨中)设抛物线y2=2Px(p＞0)的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A、B两点，点C在抛物线的准线上，且BC∥x轴，证明直线AC经过原点O。正确答案：见2001年全国高考理19题错误原因：设直线斜率为k，考虑到一般情况，而忽视了特殊情况。 13．(磨中)设椭圆的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率e= ，已知点P(0， ) 到这个椭圆上的点的最远距离为，求这个椭圆的方程，并求椭圆上到点P的距离等于的点坐标。正确答案： +y2=1 错语原因：①利用相切的条件求解设有理论依据 ②求最值时忽视了b的范围而没有加以讨论，导致解题过程出错。 14．（城西中学）设F1、F2是双曲线 - =1（a>0）的两个焦点 ⑴若点P在双曲线上,且 · ＝0,| |·| |=2，求双曲线的方程。 ⑵设曲线C是以⑴中的双曲线的顶点为焦点，焦点为顶点的椭圆，若F1’、F2’分别是其左右焦点，点Q是椭圆上任一点，M（2，）是平面上一点，求|QM|+|QF1’|的最大值。正确答案：⑴因为 · ＝０，∴ ⊥ 依题意 | ｜2＋| |2=| |2　　　① | ｜＋| |=2　　　　　　 ② || ｜-| ||=4 　　　　③ ①-③2：2| |·| |=4a，将②代入得a=1，所以双曲线的方程为 -y2=1 ⑵由⑴及题意可得C的方程为 +y2=1，所以|QF1’|+|QF2’|=2 且F1’(-2,0),F2’(2,0)，显然M点在椭圆内部。所以|QM|+|QF1’|=|QM|+2 -|QF2’|≤2 +|MF2’| 如图当|QM|-|QF2’|=|MF2’|时　　|QM|-|QF2’|的值最大所以|QM|+|QF1’|的最大值为2 ＋错因：第二问的转化出错。 15．（一中）如图所示，已知A、B、C是长轴长为4的椭圆上的三点，点A是长轴的一个端点，BC过椭圆中心O，且，|BC|＝2|AC|．（I）建立适当的坐标系，求椭圆方程；（II）如果椭圆上有两点P、Q，使∠PCQ的平分线垂直于AO，证明：存在实数λ，使．解：（I）以O为原点，OA为X轴建立直角坐标系，设A（2，0），则椭圆方程为 ∵O为椭圆中心，∴由对称性知|OC|＝|OB| 又∵ ， ∴AC⊥BC 又∵|BC|＝2|AC| ∴|OC|＝|AC| ∴△AOC为等腰直角三角形 ∴点C的坐标为（1，1） ∴点B的坐标为（－1，－1）将C的坐标（1，1）代入椭圆方程得，则求得椭圆方程为（II）由于∠PCQ的平分线垂直于OA（即垂直于x轴），不妨设PC的斜率为k，则QC的斜率为－k，因此PC、QC的直线方程分别为y＝k（x－1）+1，y＝－k（x－1）+1 由得（1＋3k2）x2－6k（k－1）x＋3k2－6k－1＝0 *） ∵点C（1，1）在椭圆上， ∴x＝1是方程（*）的一个根，∴xP•1＝即xP＝同理xQ＝ ∴直线PQ的斜率为（定值）又∠ACB的平分线也垂直于OA ∴直线PQ与AB的斜率相等（∵kAB= ） ∴向量，即总存在实数，使成立． 16．（一中）已知点N（1，2），过点N的直线交双曲线于A、B两点，且（1）求直线AB的方程；（2）若过N的直线l交双曲线于C、D两点，且，那么A、B、C、D四点是否共圆？为什么？解：（1）设直线AB：代入得（＊）令A（x1，y1），B（x2，y2），则x1、x2是方程的两根 ∴ 且 ∵ ∴ N是AB的中点 ∴ ∴ k = 1 ∴AB方程为：y = x + 1 （2）将k = 1代入方程（＊）得或由得， ∴ ， ∵ ∴ CD垂直平分AB ∴ CD所在直线方程为即代入双曲线方程整理得令，及CD中点则，， ∴ ， |CD| = ，，即A、B、C、D到M距离相等 ∴ A、B、C、D四点共圆 17．（丁中）已知点A(－2，－1)和B(2，3)，圆C：x2＋y2 = m2，当圆C与线段AB没有公共点时，求m的取值范围。错解： , 错因：将题中的实数m当成了圆的半径，误认为m>0。正解： EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 且 18．（丁中）求与椭圆有公共顶点，且离心率为的双曲线方程. 错解：错因：忽视了椭圆的短轴上的两个顶点。正解：， 19．（丁中）直线y=kx＋1与双曲线3x2－y2=1相交于不同的两点A、B：（1）求实数k的取值范围；（2）若以AB为直径的圆过坐标原点，求该圆的直径. 错解：错因：由可得，忽视，仅考虑正解：k的取值范围是 20．（丁中）已知双曲线，过点B（1，1）能否作直线，使直线与双曲线交于两点，且B是线段的中点？样的直线若存在，求出它的方程；若不存在，说明理由。错解：直线为。错因：忽视了直线与双曲线交于两点的隐含条件。正解：假设存在直线，设，则有得显然由中点公式得，，由斜率公式得斜率又使直线与双曲线交于两点，由得，此方程必有两个不相等的实数根。而此时，方程无实数根，即直线与双曲线无交点，因此直线不存在。 21．（丁中）求经过点且与双曲线仅有一个公共点的直线方程。错解：无，。错因：把相切作为直线与双曲线有且仅有一个公共点的充要条件。正解：当存在时，设所求直线方程为，代入双曲线，得当时，直线方程为与双曲线只有一个公共点。当时，直线方程为与双曲线只有一个公共点。当直线和双曲线相切时，仅有一个公共点，此时有得，可得直线方程为当不存在时，直线也满足题意。故经过点且与双曲线仅有一个公共点的直线方程有四条，它们分别为：，，，。 22．（薛中）设椭圆方程为，试求满足下列条件的圆方程：圆心在椭圆的长轴上；与椭圆的短轴相切；与椭圆在某点处也相切。答案：根据题意设圆方程为 eq \o\ac(○,1)，化椭圆方程为 eq \o\ac(○,2)，由 eq \o\ac(○,2)消去y，得：，由圆与椭圆相切：即所求圆的方程为：，另由图可知也合题意。错解：错因：漏解 23．（薛中）直线与双曲线相交于点A，B，是否存在这样的实数a，使得A，B关于直线对称？如果存在，求出实数a，如果不存在，请说明理由。答案：设存在实数a，使得A，B关于y=2x对称，又设，，则而由作差整理可得：由，故不存在这样的实数a。错解：错因：没有挖掘隐含条件，而轴对称的第二个条件直线AB与直线垂直，造成解题错误。 24．（薛中）已知定点A（3，0），B（0，3）如果线段AB与抛物线有且仅有一个公共点，试求m的取值范围。答案：设线段AB上任意一点，可看作线段AB的定比分点，所以，由线段AB与抛物线C有且仅有一个公共点，所以方程有且仅有一个正根，所以 eq \o\ac(○,1)或 eq \o\ac(○,2) 解得m=

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