构造函数判断数列单调性

ＺＨＯＮＧＸＵＥ　ＪＩＡＯＸＵＥ　ＣＡＮＫＡＯ  　　　　　　 疑难点击 ２７　　　 Ｅ－ｍａｉｌ：ｚｘｊｘｃｋｌｋ＠１６３．ｃｏｍ 构 造 函 数 判 断 数 列 单 调 性 湖北襄阳市第五中学（４４１０５７）　谢　伟 　　是高中数学的一条主线，贯穿高中数学始终， 其单调性是历年必考内容，而数列是函数思想的应 用，因而数列单调性在高考中也有十分重要的位置，也 是学生普遍感到棘手的问题．由于数列是定义在自然数 集或其子集的函数，因此，可以根据数列通项、递推 公式或其他关系式构造新函数，充分利用函数单调性的 定义或导数的性质等来判断构造的新函数的单调性，最 终判断数列的单调性． 一、利用通项公式构造函数 【例１】　（２０１０，天津）设｛ａｎ｝是等比数列，公比ｑ＝ 槡２，Ｓｎ 为｛ａｎ｝的前ｎ项和．记Ｔｎ＝ １７Ｓｎ－Ｓ２ｎ ａｎ＋１ ，ｎ∈Ｎ＊．设 Ｔｎ０为数列｛Ｔｎ｝的最大项，则ｎ０＝　　　． 解 析： Ｔｎ ＝ １７×ａ１ （１－ｑｎ） １－ｑ － ａ１（１－ｑ２ｎ） １－ｑ ａ１ｑｎ ＝ ｑｎ＋１６ｑｎ －１７ １－ｑ ＝ ２ ｎ ２ ＋１６ ２ ｎ ２ －１７ 槡１－ ２ ． 令ｔ＝２　 ｎ ２ ，构造函数ｇ（ｔ）＝ ｔ＋１６ｔ－１７ 槡１－ ２ ，ｔ∈［槡２，＋ ∞）， 由于ｙ＝ｇ（ｔ）在［槡２，４］是增函数，在［４，＋∞）是减 函数． 因此，当ｎ≤４时，Ｔｎ 递增；当ｎ≥４时，Ｔｎ 递减．所 以ｎ０＝４． 评析：本题首先根据数列的通项公式构造新函数 ｇ（ｔ），然后判断所构造函数的增减性，进而判断出数列 Ｔｎ 的单调性，最终找出数列的最大项与最小项． 二、利用递推关系构造函数 【例２】　已知函数ｆ（ｘ）＝ｌｎ（２－ｘ）＋ａｘ在区间（０， １）内是增函数． （１）求实数ａ的取值范围； （２）若数列｛ａｎ｝满足ａ１∈（０，１），ａｎ＋１＝ｌｎ（２－ａｎ）＋ ａｎ（ｎ∈Ｎ＊），：０＜ａｎ＜ａｎ＋１＜１； （３）若数列｛ｂｎ｝满足ｂ１∈（０，１），ｂｎ＋１＝２ｌｎ（２－ｂｎ）＋ ｂｎ（ｎ∈Ｎ＊），问数列｛ｂｎ｝是否单调？ ：第（２）题可以利用递推关系ａｎ＋１＝ｌｎ（２－ａｎ） ＋ａｎ（ｎ∈Ｎ＊）构造函数ｆ（ｘ）＝ｌｎ（２－ｘ）＋ｘ．对于第（３） 题利用ｂｎ＋１＝２ｌｎ（２－ｂｎ）＋ｂｎ（ｎ∈Ｎ＊）构造函数ｇ（ｘ）＝ ２［ｌｎ（２－ｘ）＋１２ｘ ］，易知ｇ（ｘ）在（０，１）是减函数．结合ｂ１ ∈（０，１），ｂｎ＋１＝ｇ（ｂｎ）分析知｛ｂｎ｝不单调．当然，也可以举 反例解决． 解：（１）由题设知，ｆ′（ｘ）＝ １ｘ－２＋ａ≥０ 对于ｘ∈（０， １）恒成立．因此ａ≥１． 经检验知，当ａ≥１时，ｆ（ｘ）在（０，１）内是增函数． 所以ａ的取值范围是｛ａ｜ａ≥１｝． （２）令ａ＝１得ｆ（ｘ）＝ｌｎ（２－ｘ）＋ｘ，则ａｎ＋１＝ ｆ（ａｎ）． 由ｆ（ｘ）在（０，１）是增函数知ｆ（ｘ）≤１． 利用数学归纳法： ①当ｎ＝１时，∴０＜ａ１＜１，ａ２－ａ１＝ｌｎ（２－ａ１）＞０， ∴０＜ａ１＜ａ２＜１． ②假设ｎ＝ｋ（ｋ≥１）时，０＜ａｋ＜ａｋ＋１＜１，则当ｎ＝ｋ＋ １时，ａｋ＋１－ａｋ＝ｌｎ（２－ａｋ）＞０且ａｋ＋１＜ｆ（１）＝１．∴０＜ ａｋ＜ａｋ＋１＜１． 综上所述，０＜ａｎ＜ａｎ＋１＜１对ｎ∈Ｎ＊恒成立． （３）法一：构造函数ｇ（ｘ）＝２［ｌｎ（２－ｘ）＋１２ｘ ］， 则当ｘ∈（０，１）时，ｇ′（ｘ）＝２（１ｘ－２＋ １ ２ ）＜ｇ′（０）＝ ０． 所以，ｇ（ｘ）在（０，１）是减函数． 由ｂ１∈（０，１）知ｂ２∈（１，２ｌｎ２）． 由ｂｎ＋１＝ｇ（ｂｎ）知，ｂｎ∈（ｇ（２ｌｎ２），１），即ｂ３＜ｂ２，且 ｂ２＞ｂ１． 所以，数列｛ｂｎ｝不是单调数列． 法二：令ｂ１＝ １ ２ ，则ｂ２＝２ｌｎ ３ ２＋ １ ２． 因此，ｂ２＞１＞ｂ１． 而ｂ３＝２ｌｎ（２－ｂ２）＋ｂ２＜ｂ２，因此，ｂ３＜ｂ２，且ｂ２＞ｂ１． 所以，｛ｂｎ｝不是单调数列． 评析：第（２）题既利用了递推公式构造函数，又运用 了作差法证明数列｛ａｎ｝是单调递增数列，体现了知识、 方法的综合运用．第（３）题也利用了递推公式构造函数， 最终证明数列｛ｂｎ｝不是单调数列．同时，举反例的解法也 能考查学生思维的灵活性和批判性． （责任编辑　金　铃）