布洛赫定理

1 一. 布洛赫定理 一个在周期场中运动的电子的波函数应具 有哪些基本特点？ 在量子力学建立以后，布洛赫（F.Bloch）和 布里渊（Brillouin）等人就致力于研究周期场 中电子的运动问题。他们的工作为晶体中电子 的能带理论奠定了基础。 布洛赫定理指出了在周期场中运动的电子 波函数的特点。 §4-1 布洛赫定理 在一维情形下，周期场中运动的电子能量E(k) 和波函数 必须满足定态薛定谔方程)(xkψ )1()()()()( 2 2 22 xkExxV dx d m kk ψψ =⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ +− = k -------示电子状态的角波数 V( x ) ----周期性的势能函数，它满足 V( x ) = V( x + n a ) a ---- 晶格常数 n -----任意整数 1、一维情况的布洛赫定理 布洛赫定理： )()( naxuxu kk += 式中 也是以a为周期的周期函数， 即 * )( xuk 具有(2)式形式的波函数称为布洛赫波函数, 或布洛赫函数。 )2()()( xuex k xki k =ψ 满足（1）式的定态波函数必定具有如下的 特殊形式 布洛赫定理说明了一个在周期场中运动的电子 波函数为：一个自由电子波函数 与一个具有 晶体结构周期性的函数 的乘积。 xkie )(xuk ♦ 只有在 等于常数时，在周期场中运动的 电子的波函数才完全变为自由电子的波函 数。 )(xuk ♦ 这在物理上反映了晶体中的电子既有共有化的 倾向，又有受到周期地排列的离子的束缚的特点。 ♦ 因此，布洛赫函数是比自由电子波函数更接近 实际情况的波函数。 ♦ 它是按照晶格的周期 a 调幅的行波。 )()()]( 2 [ 2 2 rErrV m KKK= ψψ =+∇− —— 方程的解具有以下性质 )()( reRr nRkin KKK KK ψψ ⋅=+ —— 布洛赫定理 布洛赫定理 —— 势场 具有晶格周期性时 电子的波函数满足薛定谔方程 ( )V rK 2、三维情况的布洛赫定理 )()( reRr nRkin KKK KK ψψ ⋅=+ —— 布洛赫定理 k K 为一矢量 —— 当平移晶格矢量 nR K nRkie KK⋅—— 波函数只增加了位相因子 晶格周期性函数 )()( ruer k rki KK KK⋅=ψ )()( ruRru kk KKK =+ 电子的波函数 —— 布洛赫函数 10 / 24 2 实际的晶体体积总是有限的。因此必须 考虑边界条件。 设一维晶体的原子数为N,它的线度为 L=Na, 则布洛赫波函数 应满足如下条件)(xkψ )3()()( Naxx kk +=ψψ 此式称为周期性边界条件。 二 . 周期性边界条件 在固体问题中，为了既考虑 到晶体势场的周期性，又考虑到晶体是有限 的，我们经常合理地采用周期性边界条件： 1. 一维情况 由周期性边界条件可以推出:布洛赫波函数的 波数 k 只能取一些特定的分立值。 a a 周期性边界条件对波 函数中的波数是有影 响的。 图 2 周期性边界条件示意图 采用周期性边界条件以 后，具有 N 个晶格点的 晶体就相当于首尾衔接 起来的圆环： 左边为 )()( xuex kxkik =ψ )(xuee k kxikNai= )(xe k kNai ψ= )()( )( NaxueNax k Naxki k +=+ +ψ右边为 所以 1=kNaie ),2,1,0(2 "±±== nnkNa π )3()()( Naxx kk +=ψψ由周期性边界条件 即周期性边界条件使 k 只能取分立值： ),2,1,0(22 "±±=== n L n Na nk ππ 证明如下: 按照布洛赫定理： ),2,1,0(22 "±±=== n L n Na nk ππ k 是代表电子状态的角波数, n 是代表电子状态的量子数。 2. 三维情况 电子状态由一组量子数(nx、 ny、nz)来代表。 它对应一组状态角波数（kx、 ky、 kz）。 一个 对应电子的一个状态。kG 我们以 为三个直角坐标轴，建立 一个假想的空间。这个空间称为波矢空间、 空间，或动量空间*。 kx、 ky、 kz k G 由于德布洛意关系 ，即 ， 所以 空间也称为动量空间。 λ hP = kP G=G = k G注： ),2,1,0(2 "±±== xxx nnLk π ),2,1,0(2 "±±== yyy nnLk π ),2,1,0(2 "±±== zzz nnLk π 在 空间中，电子的每个状态可以用 一个状态点来表示，这个点的坐标是 k G 三. 空间kG ),2,1,0(2 "±±== xxx nnLk π ky kx0-1 1 2-2 3-3 1 -1 2 -2 -3 3 L π2 L π2 上式告诉我们，沿 空间的每个坐标轴方向， 电子的相邻两个状态点之间的距离都是 。L π2 k G 图 3 表示二维 空间每个点所占的面积是 。 22 ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ L πk G因此，空间中每个状态点所占的体积为 。 32 ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ L πk G 图 3 二维 空间 示意图 k G 3 四、布洛赫定理的证明 p154 1、 引入平移算符 证明平移算符与哈密顿算符对易， 两者具有相 同的本征函数。 2、利用周期性边界条件 确定平移算符的本征值，给出电子波函数的形式 3、势场的周期性反映了晶格的平移对称性 晶格平移任意矢量 势场不变1 1 2 2 3 3mR ma m a m a= + + K K K K 在晶体中引入描述这些平移对称操作的算符 321 ,, TTT 平移任意晶格矢量 1 1 2 2 3 3mR ma m a m a= + + K K K K 对应的平移算符 )()()()( 332211 321 aTaTaTRT mmmm KKKK = 作用于任意函数 )(rf K )()( αα arfrfT KKK += —— 3,2,1=α 平移算符作用于周期性势场 ‹平移算符 的性质αT )()( αα arVrVT KKK += )(rV K= ( ) ( )mT f r f r maα α= +K K K ‹各平移算符之间对易 对于任意函数 )(rf K )()( βαβα arfTrfTT KKK += )( βα aarf KKK ++= ( ) ( )T T f r f r a aβ α β α= + +K K K K αββα TTTT = ‹平移算符和哈密顿量对易 对于任意函数 )(rf K 2 2( ) [ ( )] ( ) 2 r a T Hf r V r a f r a m αα α α+ = − ∇ + + +K K=K K K K K 和 微分结果一样2r aα+∇ K K 2 2 2 2 2 2 ,, zyx ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ 2 2( ) [ ( )] ( ) 2 r T Hf r V r f r a mα α = − ∇ + +K=K K K K )( αarHf KK += αα HTHT =)(rfHT Kα= 15/ 24 —— 平移算符的本征值1 2 3, ,λ λ λ ‹T和H存在对易关系，具有共同本征函数 1 1 2 2 3 3 H E T T T ψ ψ ψ λψ ψ λψ ψ λψ = = = = ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ += += += )()( )()( )()( 33 22 11 aNrr aNrr aNrr KKK KKK KKK ψψ ψψ ψψ ‹周期性边界条件 4 对于 )()( 11aNrr KKK +=ψψ )()()( 11 11 rrTr NN KKK ψλψψ == )()( 22aNrr KKK +=ψψ )()()( 22 22 rrTr NN KKK ψλψψ == )()( 33aNrr KKK +=ψψ )()()( 33 33 rrTr NN KKK ψλψψ == 3 3 2 3 li Ne πλ = 1 2 3, ,l l l 对于 对于 2 2 2 2 li Ne πλ = 1 1 2 1 li Ne πλ = —— 整数 —— 引入矢量 3 3 3 2 2 2 1 1 1 b N lb N lb N lk KKKK ++= —— 倒格子基矢1 2 3, ,b b b K K K 满足 ijji ba πδ2=⋅ KK 平移算符的本征值 321 321 ,, akiakiaki eee KKKKKK ⋅⋅⋅ === λλλ 1 1 2 2 3 3 2 1 2 2 2 3 li N li N li N e e e π π π λ λ λ = = = 31 2 1 2 3, , ik aik a ik ae e eλ λ λ ⋅⋅ ⋅= = = KK K KK K 将 作用于电子波函数)()()()( 332211 321 aTaTaTRT mmmm KKKK = 1 1 2 2 3 3( ) ( )ik m a m a m ae rψ⋅ + += K K K K K )()()()( 332211 321 raTaTaT mmm KKKK ψ= )()( 321 321 rRr mmm m KKK ψλλλψ =+ 平移算符的本征值 )()()( mm RrrRT KKKK +=ψψ 1 1 2 2 3 3( )r m a m a m aψ= + + +K K K K )()( ruer k rki KK KK⋅=ψ )]([)( mk rkiRki m RrueeRr m KKKK KKKK +=+ ⋅⋅ψ )()( reRr mRkim KKK KK ψψ ⋅=+ )()( )( 332211 reRr amamamkim KKK KKKK ψψ ++⋅=+ —— 布洛赫定理 电子的波函数 满足布洛赫定理 )]([ ruee k rkiRki m KKKKK ⋅⋅= )(re mRki KKK ψ⋅= ( )ku r K —— 晶格周期性函数 —— 布洛赫函数 20 / 24 3、 平移算符本征值的物理意义 1) —— 原胞之间电子波 函数相位的变化 321 321 ,, akiakiaki eee KKKKKK ⋅⋅⋅ === λλλ 2) 平移算符本征值量子数 —— 简约波矢 —— 不同的简约波矢，原胞之间的相位差不同 1 1 1( ) ( ) ( ) ik aT r r a e rψ ψ ψ⋅= + = K KK K K K 3 3 3 2 2 2 1 1 1 b N lb N lb N lk KKKK ++= 3) 简约波矢改变一个倒格子矢量 332211 bnbnbnGn KKKK ++= 平移算符的本征值 ' ( )m n mik R i k G Re e⋅ + ⋅=K K KK K m n mik R iG Re e⋅ ⋅= K KK K )()( reRr mRkim KKK KK ψψ ⋅=+ —— 布洛赫定理 nk k G′ = + K K K 2n mG R nπ ′⋅ =K K mik Re ⋅= K K 5 为了使简约波矢 的取值和平移算符的本征值一一对应k K 3 1 2 3 (2 )* ( )b b b πΩ = ⋅ × = Ω K K K / 2 / 2j j jb k b− < ≤ 3 3 3 2 2 2 1 1 1 b N lb N lb N lk KKKK ++= 22 j j j Nl N ≤<− 简约波矢 第一布里渊区体积 取值限制第一布里渊区 2 2 j j j j j b l b b N − < ≤ 简约波矢 3 3 3 2 2 2 1 1 1 b N lb N lb N lk KKKK ++= 在 空间中第一布里渊区均匀分布的点k K cV b N b N b N 3 3 3 2 2 1 1 )2()11(1 π=×⋅ KKK 3)2( π cV NN =Ω⋅Ω 3 3 )2( )2( π π 每个代表点的体积 状态密度 简约布里渊区的波矢数目 24 / 24