筋混凝土构件的变形与裂缝验算

9 钢筋混凝土构件的变形与裂缝验算 一、目的要求 1．掌握构件在裂缝出现前后沿构件长度各截面的应力状态 2．了解裂缝宽度计算公式的推导过程（平均裂缝间距、平均裂缝宽度） 3．掌握受弯构件裂缝宽度验算和变形验算的方法 二、重点难点 1．裂缝的出现与分布规律 2．平均裂缝间距、平均裂缝宽度 3．短期刚度、长期刚度计算公式的建立 三、主要内容 9.1概述 结构构件应根据承载能力极限状态及正常使用极限状态分别进行计算和验算。通常，对各类混凝土构件都要求进行承载力计算；对某些构件，还应根据其使用条件，通过验算，使变形和裂缝宽度不超过规定限值，同时还应满足保证正常使用及耐久性的其他要求与规定限值，例如混凝土保护层的最小厚度等。 与不满足承载能力极限状态相比，结构构件不满足正常使用极限状态对生命财产的危害性要小，正常使用极限状态的目标可靠指标 可以小些。《规范》规定：结构构件承载力计算应采用荷载设计值；对于正常使用极限状态，结构构件应分别技荷载的标准组合、准永久组合进行验算或按照标准组合并考虑长期作用影响进行验算。并应保证变形、裂缝、应力等计算值不超过相应的规定限值。由于混凝土构件的变形及裂缝宽度都随时间增大，因此，验算变形及裂缝宽度时，应按荷载的标准组合并考虑荷载长期效应的影响。荷载效应的标准组合也称为荷载短期效应，是指按永久荷载及可变荷载的标准值计算的荷载效应；荷载效应的准永久组合也称为荷载长期效应，是按永久荷载的标准值及可变荷载的准永久值计算的荷载效应。 按正常使用极限状态验算结构构件的变形及裂缝宽度时，其荷载效应值大致相当于破坏时荷载效应值的50％一70％。 9.2 裂缝验算 9.2.1裂缝控制的目的与要求 确定最大裂缝宽度限值，主要考虑两个方面的原因：一是外观要求，二是耐久性要求，并以后者为主。 从外观要求考虑，裂缝过宽将给人以不安全感，同时也影响对结构质量的评价。满足外观要求的裂缝宽度限值，与人们的心理反应、裂缝开展长度、裂缝所处位置，乃至光线条件等因素有关，难以取得完全统一的意见。目前有些研究者提出可取0.25一0.3mm。 根据国内外的调查及试验结果，耐久性所要求的裂缝宽度限值，应着重考虑环境条件及结构构件的工作条件。处于室内正常环境，亦即无水源或很少水源的环境下，裂缝宽度限值可放宽些。不过，这时还应按构件的工作条件加以区分。例如，屋架、托梁等主要屋面承重结构构件，以及重级工作制吊车架等构件，均应从严控制裂缝宽度。 直接受雨淋的构件，无围护结构的房屋中经常受雨淋的构件，经常受蒸汽或凝结水作用的室内构件(如浴室等)，以及与土直接接触的构件，都具备钢筋锈蚀的必要和充分条件，因而都应严格限制裂缝宽度。 〈规范》对混凝土构件规定的最大裂缝宽度限值见附16，这是指在有荷载作用下产生的横向裂缝宽度而言的，要求通过验算予以保证。 9．2．2  裂缝的出现与分布规律 由于混凝土的抗拉强度低，随着荷载的增加，在构件的受拉区将出现裂缝。图9．1表示一轴心受拉构件，混凝土截面积为A，纵向钢筋截面积为止AS，在两端轴向拉力的作用下，钢筋和混凝土受到的拉应力分别为 和 ，如果拉力很小，构件处于弹性阶段，钢筋的拉应力等于混凝土拉应力的 倍，即 = ，其中 ＝ 。沿构件的纵向，各截面的受力均相同，所以 和 沿构件纵向都相等，如图9．1b和图9．1c所示。 由于混凝土为非匀质材料，沿构件的纵向各截面，混凝土的实际抗拉强度是变化的(图9．1c)，假定其中a-a截面处的抗拉强度最小，即为最弱的截面 。随着构件所受的拉力逐渐增加，混凝土进入弹塑性阶段，拉应力逐渐接近抗拉强度，当a哨截面处混凝土拉应力超过其抗拉强度时，首先在此处出现第一条裂缝，如图9．2所示。在裂缝出现截面，钢筋和混凝土所受到的拉应力将发生突然变化，开裂的混凝土不再承受拉力，拉应力降低到零，原来由混凝土承担的拉力转移由钢筋承担，所以裂缝截面的钢筋应力就突然增大(图9．2)。在开裂前混凝土有一定弹性，开裂后受拉张紧的混凝土向裂缝截面两边回缩，混挺土和钢筋有产生相对滑移的趋势。由于钢筋与混凝土之间存在粘结作用，混凝土的回缩受到钢筋的约束，因而随着离裂缝截面距离的加大，回缩逐渐榷小，亦即混凝土仍处在一定的张紧状态，当达到某一距离处，混凝土和钢筋的拉应变相同，两者的应力又恢复到未裂前状态。 当拉力稍增加时，在混凝土拉应力大于抗拉强度的截面又将出现第二条裂缝。第二条裂缝总在离首批裂缝截面外一定距离的截面出现，这是因为靠近裂缝两边混凝土的拉应力 较小，总小于混凝土的抗拉强度，故靠近裂缝两边的混凝土不会开裂。图9．3表示第二条裂缝以及后续裂缝相继出现后的应力分布，钢筋和混凝土的应力是随着裂缝位置而变化，呈波浪形起伏。各裂缝之间的间距大体相等，各裂缝先后出现，最后趋于稳定，不再出现新裂缝。此后再继续增加拉力时，只是使原有的裂缝延伸与开展，拉力越大，裂缝越宽。如果混凝土的材料性能(抗拉强度)很不均匀，则裂缝的间距有疏有密，裂缝的出现也有先有后，当两条裂缝的间距较大时，随着拉力的增加，在两条裂缝之间还有可能出现新的裂缝。实践中大量遇到的情况是：混艇土有一定的不均匀性，但不是很不均匀的材料，裂缝相当于田9．3的情况。也就是说，裂缝基本是均匀分布的。 9．2．3  平均裂缝间距 为了确定轴心受拉构件中裂缝的间距，可割离出第一条裂缝出现以后而第二条裂缝即将出现时的一段构件加以分析，即将图9．2中截面a--a与b—b之间的一段构件割离如图9．4，其中截面a—a’出现裂缝，截面b—b，即将出现但尚未出现裂缝。 在截面a-a′处，拉力Ncr全部由钢筋承担，钢筋拉应力 为 = 在截面b—b′处，拉力Ncr由钢筋和未开裂的混凝土两者共同承受。混凝土应力达到受拉时抗拉强度 ，钢筋的应力可根据钢筋与混凝土应变等相的原则求得，但应考虑到混凝土塑性变形的发展，弹性模量取用 ，则截面b—b′处钢筋的拉应力为 由图9.4平衡条件得 （9.2） （9.3） （9.4） 由于b—b‘，截面尚未开裂，钢筋应力总小于a-a’截面的钢筋应力，所以为了保持作用在这一段钢筋上的力的平衡，在钢筋与混凝土的接触面上必须存在粘结力，即平行于井作用于钢筋表面的剪应力(图9．4d)． 粘结应力 在ab段中井非均匀分布，设其平均值为 ， 为粘结应力图形丰满程度系数，则由(图9．4d)力的平衡条件可得 式中 裂缝的间距； 钢筋截面的周长 将（9.2）式和（9.4）式代入（9.5），得     u 如钢筋直径为d ,则（9.6）式化为 混凝土的黏结强度大致与其抗拉强度成正比关系， 为一常数，则（9.7）式可表达为 —经验系数。 （9.8）式表明，裂缝间距 与 成正比，这与试验结果不能很好的符合，因此，对（9.8）式必须予以修正。 在推导(9．8)式时，在假设即将出现裂缝的截面处，整个截面中拉应力是均匀分布的。然而，实际的拉应力分布可能并不均匀。此外，由于混凝土和钢筋的粘结作用，钢筋对受拉张紧的混凝土的回缩起着约束作用，而这种约束作用是有一定的影响范围的，离钢筋表面愈远，混凝土所受的约束作用将愈小。因此，裂缝间距与混凝土保护层厚度有一定的关系，在确定平均裂缝间距时，应适当考虑混凝土保护层厚度的影响。 考虑混凝土保护层等影响，改用两项表达式 纵向受拉钢筋保护层厚度（mm） —经验系数。 受弯、偏心受拉和偏心受压构件裂缝分布规律和公式推导过程与轴心受拉构件类似，它们的平均裂缝间距比轴心受拉构件小些。根据试验资料的分析，并考虑纵向受拉钢筋表面形状的影响，平均裂缝间距的计算公式为 )        式中  —系数，对轴心受拉构件，取 ＝1．1，对其他受力构件，取 ＝1 c—最外层纵向受拉钢筋外边缘至受拉区底边的距离(mm)，当c<20mm时，取c＝20mm；当c>65 mm时，取c=65mm； —按有效受拉混凝土截面面积计算的纵向受拉钢筋配筋率，在最大裂缝宽度计算中，当 <0.01时，取 =0.01； Ate—有效受拉混凝土截面面积，可按下列规定取用：对轴心受拉构件取构件截面面积；对受弯、偏心受压和偏心受拉构件，取腹板截面面积与受拉翼缘截面面积之和的1／2； As—纵向受拉钢筋的截面面积； —纵向受拉钢筋的等效直径(mm)； —第i种纵向受拉钢筋的直径(mm)； —第i种纵向受拉钢筋的根数； —第；种纵向受拉钢筋的相对粘结特性系数，对带肋钢筋，取1.0；对光面钢筋，取0.7。 9.2.4平均裂缝宽度 裂缝宽度是指受拉钢筋截面重心水平处构件侧表面的裂缝宽度。试验表明，裂缝宽的离散程度比裂缝间距更大些。因此，平均裂缝宽度的确定，必须以平均裂缝间距为基础。 (1)平均裂缝宽度计算式 平均裂缝宽度 。等于构件裂缝区段内钢筋的平均伸长与相应水平处构件侧表面混凝土平均伸长的差值(图9．5)，即 = =   (9.13) 式中 — 纵向受拉钢筋的平均拉应变， ， 为裂缝间纵向受拉钢筋应变不均匀系数； —与纵向受拉钢筋相同水平处侧表面混挺土的平均拉应变。 令 ， 称为裂缝间混凝土自身伸长对裂缝宽度的影响系数。将 及 表达式代入（9.13）式，可得 = 试验研究表明， 系数虽然与配筋率、截面形状和混凝土保护层厚度等因素有关，但在一般情况下， 变化不大，且对裂缝开展宽度的影响也不大，为简化计算，对受弯、轴心受拉、偏心受力构件，均可近似取 ＝0.85，则(9．14)式成为 （2）裂缝截面处的钢筋应力 指按荷载效应的标准组合计算的混凝土构件裂缝截面处纵向受拉钢筋的应力。对受弯、轴心受拉、偏心受拉以及偏心受压构件， 均可按裂缝截面处力的平衡条件求得。 受弯构件    =   =0.87 轴心受拉构件  = 偏心受拉构件 截面应力状态如图9．6，若近似取大偏心受拉构件截面内力臂长 ，即设压区混凝土压应力合力与受压钢筋合力作用点重合，对受压钢筋作用点取力矩干衡，可得 = 偏心受压构件 偏心受压构件裂缝计算时的截面应力图形如图9.7所示。对受压区合力点取矩，得 =       Mk—按荷载效应的标准组合计算的弯矩值 Nk—按荷载效应的标准组合计算的轴向压力值 —截面重心到纵向钢筋合力点的距离 —使用阶段的轴向压力偏心矩增大系数 (3)裂缝间纵向受拉钢筋应变不均匀系数 在两个相邻裂缝间，钢筋应变是不均匀的，裂缝截面处最大，离开裂缝截面就逐渐减小，这主要是由于裂缝间的受拉混凝土参加工作的缘故．因此 系数，的物理意义就是反映裂缝间受拉混凝土对纵向受拉钢筋应变的影响程度。 的大小与以有效受拉混凝土截面面积计算的纵向受拉钢筋配筋率 有关。这是因为参加工作的受拉混凝土主要是指钢筋周围的那部分有效受拉混凝土面积。当 较小时，说明钢筋周围的混凝上参加受拉的有效相对面积大些，它所承担的总拉力也相对大些，对纵向受拉钢筋应变的影响程度也相应大些，因而 小些。 试验和研究表明 可近似表达为 9．2．5 最大裂缝宽度与裂缝宽度验算 以上按(9．15)式求得的 。值是整个构件上的平均裂缝宽度，而实际上由于混凝土质量的不均匀，裂缝的间距有疏有密，每条裂缝开展的宽度有大有小，离散性是很大的．验算宽度是否超过允许值，应以最大裂缝宽度为准。同时在荷载长期作用下，由于混凝土的滑移徐变和受拉混凝土的应力松弛导致裂缝间受拉混凝土不断退出工作，这将使 增大，从而使裂缝宽度随时间而增大。此外，由于混凝土收缩使裂缝间混凝土的长度 缩短也引起裂缝宽度增大。 在计算中，荷载短期效应组合下的最大裂缝宽度 。可由平均裂缝宽度乘以一个扩大系数 求得；当考虑荷载长期效应影响时，可再乘以考虑荷载长期作用影响的扩大系数；这些扩大系数均根据试验资料用统计方法得出。再考虑裂缝宽度分布不均匀性和荷载长期效应组合影响后，对矩形、T形、倒T形和I形截面的钢筋混疑土轴心受拉、受弯、偏心受拉和偏心受压构件，将裂缝宽度计算公式综合如下 《规范》还规定；对直接承受轻、中级吊车的受弯构件，可将计算求得的最大裂缝宽度乘以系数0.85。这是因为这类构件主要承受短期荷载，卸载后裂缝可部分闭合，同时用车满载的机遇较小，而且是按 ＝1计算的。对 的偏心受压构件，可不验算裂缝宽度。 通过对(9．24)式的分析可看出，如果验算后发现构件裂缝宽度不满足要求，可以采取增大截面尺寸、提高混凝土强度等级、减小钢筋直径或增大钢筋截面面积等措施。 9．3 变形验算 9.3.1变形控制的目的和要求 在一般建筑中，对混凝土构件的变形有一定的要求，主要是出于以下四方面的考虑： (1)保证建筑的使用功能要求 结构构件产生过大的变形将损害甚至丧失其使用功能。例如，放置精密仪器设备的楼盖梁、板的挠度过大，将使仪器设备难以保持水平；吊车梁的挠度过大会妨碍吊车的正常运行等。 (2)防止对结构构件产生不良影响 主要是指防止结构性能与设计中的假定不符。例如，梁端的旋转将使支撑面积减小，支撑反力偏心距增大，当梁支撑在砖墙(或柱)上时，可能使墙体沿梁顶、底出现内外水平缝，严重时将产生局部承压或墙体失稳破坏等。 (3)防止对非结构构件产生不良影响 这包括防止结构构件变形过大会使门窗等活动部件不能正常开关；防止非结构构件如隔墙及天花板的开裂、压碎或其他形式的破坏等。 (4)保证人们的感觉在可接受程度之内 例如，防止厚度较小板站上人后产生过大的颤动或明显下垂引起的不安全感；防止可变荷载(活荷载、风荷载等)引起的振动及噪声对人的不良感觉等。 随着高强度混凝土和钢筋的采用，构件截面尺寸相应减小，变形问题更为突出。 《规范》在考虑上述因素的基础上，根据工程经验，仅对受弯构件规定了允许挠度值，见附表15。 9.3.2  截面抗弯刚度的主要特点 构件的最大挠度可以根据其刚度，用结构力学的方法计算。对匀质弹性材料梁，其跨中挠度公式为 对于材料力学中研究的梁，梁的截面抗弯刚度B＝EI是一个常数。因此，弯矩与挠度之间是始终不变的正比例关系，如图9．8中虚线OA所示。 对混凝土受弯构件，上述关于匀质弹性材料梁的力学概念仍然适用，但不同之处在于钢筋混凝土是不匀质的非弹性材料，因而混凝土受弯构件的截面抗弯刚度不为常数而是变化的，其主要特点如下： (1)随荷载的增加而减小 适筋粱从加载开始到破坏的M～ 曲线如图9．8所示。在裂缝出现前，M一 曲线与直线OA几乎重合，因而截面抗弯剐度可视为常数．当接近裂缝出现时，即进入第1阶段末时，M～ 曲线已偏离直线，逐渐弯曲，说明截面抗弯刚度有所降低。出现裂缝后，即进入第Ⅱ阶段后，M～ 曲线发生转折， 增加较快，截面抗弯刚度明显降低．钢筋屈服后进入第Ⅲ阶段，此时M增加很小， 激增，截面抗弯刚度明显降低。 按正常使用极限状态验算变形时，所采用的截面抗弯刚度，通常在M一 曲线第Ⅱ阶段，弯矩为(0.5～0.7)MU的区段内。在该区段内的截面抗弯刚度仍然随弯矩的增大而变小。 (2)随配筋率 的降低而减小 试验表明，截面尺寸和材料都相同的适筋粱，配筋率大的，其M一 曲线陡，变形小，相应的截面抗弯刚度大，反之，配筋率小，M一 曲线平缓，变形大，截面抗弯刚度就小。 (3)沿构件跨度，截面抗弯刚度是变化的 如图9.9所示，即使在纯弯区段，各个截面承受的弯矩相同，但曲率也即截面抗弯刚度却不相同，裂缝截面处的小些，裂缝间截面的大些．所以，验算其变形时采用的截面抗弯  刚度是指纯弯区段内平均的截面抗弯刚度而言。 (4)随加载时间的增长而减小 试验表明，对一个构件保持不变的荷载值，则随时间的增长，截面抗弯刚度将会减小，但对一般尺寸的构件，3年以后可趋于稳定．在变形验算中，除了要考虑荷载的短期效应 组合以外，还应考虑荷载的长期效应组合的影响，对前者采用短期刚度BS，对后者则采用长期刚度及B。 综上所述，在混凝土受弯构件的变形验算中所用到的截面抗弯刚度，是指构件上一段长度范围内的平均截面抗弯刚度(以下简称刚度)；考虑到荷载作用时间的影响，有短期刚 度BS和长期刚度B的区别，且两者都随弯矩的增大而减小，随配筋率的降低而减小。 9.3.3  短期刚度计算公式的建立 (1)平均曲率 对于钢筋混凝土梁，裂缝出现后，沿梁长度方向上，受拉钢筋的拉应变和受压区边缘混凝土的压应变都是不均匀分布的，裂缝截面处最大，裂缝间则为曲线变化，中和轴高度呈波浪形变化，裂缝截面处中和轴高度最小，如图9.9所示。因而各截面的曲率也是不同的。但大量试验表明，如果量测范围比较长(>750mm)，则各水平纤维的平均应变沿梁截面高度的变化基本符合平截面假定。 根据平均应变符合平截面的假定，可得平均曲率 9.3.3长期刚度 在荷载长期作用下，构件截面抗弯刚度将会降低，致使构件的挠度增大。在实际工程中，总是有部分荷载长期作用在构件上，因此计算挠度时必须采用长期刚度B。 (1)荷载长期作用下刚度降低的原因 在荷载长期作用下，受压混凝土将发生徐变，即荷载不增加而变形却随时间增长。在配筋率不高的粱中，由于裂缝间受拉混凝土的应力松弛以及钢筋的滑移等因素，使受拉混凝土不断退出工作，因而受拉钢筋平均应变和平均应力亦将随时间而增大。同时，由于裂缝不断向上发展，使其上部原来受拉的混凝土退出工作，以及由于受压混凝土的塑性发展，使内力臂减小，也将引起钢筋应变和应力的某些增大。以上这些原因都会导致挠度增大、刚度降低。此外，由于受拉区与受压区混凝土的收缩不一致，使梁发生翘曲，亦会导致曲率的增大和刚度的降低。凡是影响混凝土徐变和收缩的因素都将影响刚度的降低，使构件挠度增大。 (2)长期刚度B 对于受弯构件，《规范》要求按荷载标准组合并考虑荷载长期效应影响的刚度B进行计算，并建议用荷载准永久组合对挠度增大的影响系数"来考虑荷载长期效应对刚度的影响。 9.3.4 受弯构件的变形验算 钢筋混凝土受弯构件在荷载作用下，在各截面的弯矩是不相等的，靠近支座附近截面，由于弯矩很小将不出现裂缝，因而其刚度较跨中截面大很多。例如一根承受两个对称集中荷载的筒支粱(图9.1la)，该梁各截面刚度B的分布图形如图9．1lb所示，按最大弯矩截面计算的刚度为最小刚度Bmin亦即是跨中纯弯区段的平均值。为了简化计算，在同一符号弯矩范围内，按最小刚度，即取弯矩最大截面处的刚度，作为各截面的刚度(图9.11b中虚线)，使变刚度梁作为等刚度粱来计算。这就是挠度计算中的“最小刚度原则”。 《规范》规定：在等截面构件中，可假定各同号弯矩区段内的刚度相等，并取用该区段内最大弯矩处的刚度。当计算跨度内的支座截面刚度不大于跨中截面刚度的两倍或不小于路中截面刚唐的1／2时，该跨也可按等刚度构件进行计算，其构件刚度可取跨中虽大弯矩截面的刚度。