【刚体定点运动课件】刚体定点运动的角动量和动能惯量张量（可编辑）

【刚体定点运动课件】刚体定点运动的角动量和动能惯量张量（可编辑） 11-2 刚体定点运动的角动量 和动能 惯量张量 体定点运动的动力学问题. 应用质点系的 三个普遍定理, 必须先解决 体动量、 角动量、 动能的计算问题. 即使用分析力学处理, 也 有赖于这一问题的解决 动能 . 刚体的动量P mvc . 一、刚体做定点运动时对定点的角动量的计算 O w i 定点 , 角速度为 . 体中第 个质 点的质 m v r O 量为 速度为 位矢为 . 则刚体对 点的角动 i i i 量为 L r m v i i i m r w r i i i m [w r 2 r r w ] i i i i 其中符号 示对刚体中所有质点取和. 为了进行投影计算, 建立任意坐标系Oxyz w w i w j w k x y z r x i y j z k i i i i 2 2 L [w m y z w m x y w m x z ]i x i i i y i i i z i i i 2 2 [w m y x w m x z w m y z ]j x i i i y i i i z i i i 2 2 [w m z x w m z y w m x y ]k x i i i y i i i z i i i 现引入符号 2 2 I m y z I I m x y xx i i i xy yx i i i 2 2 I m x z I I m y z yy i i i yz zy i i i 2 2 I m x y I I m z x zz i i i zx xz i i i L [I w I w I w ]i [I w I w I w ]j xx x xy y xz z yx x yy y yz z [ ] I w I w I w k zx x zy y zz z I ,I ,I x y z xx yy zz 分别称为 体对 轴、 轴、 轴的转 动惯量, I xy ,I yz ,I zx 称为惯量积, 统称为惯量系数. L I w I w I w x xx x xy y xz z L I w I w I w y yx x yy y yz z L I w I w I w z zx x zy y zz z 1 惯量系数决定于刚体质量对坐标系的分布. 刚体--连续体, 所以取和--积分 I xx y 2 z 2 dm y 2 z 2 rdxdy dz I xy m xyr x y z d d d d xy 简化之一: 采用与 体固连的动坐标系, 体质量相对于它的分布不随时间改变, 6 个惯量系 数将成为常数. 坐标系与参考系不一致! L w 2 角动量 和角速度 间存在线性变换关系. w 只要给出一个 , 通过这种变换机制就可求得一 L 个新的矢量 , 其大小 和方向都不同于原来的 w , 这种线性变换称为 仿射变换. L [I w I w I w ]i [I w I w I w ]j xx x xy y zz z yx x yy y yz z [ ] I w I w I w k zx x zy y zz z 可写成矩阵形式 L I I I w x xx xy xz x L I I I w y yx yy yz y L I I I w z zx zy zz z ? 9 个惯量系数组成的矩阵是一个二阶张量I , 刚体定点运动对定点的角动量的表达式为 ? L I w 运算方法与矩阵运算方法相同. 另外, 也可 将张量写成并矢形式, ? I i i I xx ij I xy i kI xz j i I yx jj I yy j kI yz k i I zx kj I zy kkI zz . , , 并矢由两个矢量并列组成, 如AB i i j k 等, 两个 矢量间无运算符号. 它的运算规则是以相邻的两 个矢量按矢量运算规则进行运算, 如一个并矢与 一个矢量的点积为 AB C A B C , C AB C A B i j k AB AB A B x y z 二、惯量张量 我们用由9 个惯量系数组成的惯量张量 I I I ? xx xy xz I I I I yx yy yz I I I zx zy zz 描述定点运动 体的惯性. 张量与矩阵不同, 矩阵元是单纯的数, 不 坐标变化而不同, 张量则不同, 为了使张量不 描述它的坐标系不同而变化, 张量的元素就必须 满足一定的坐标变换规则. 正如矢量一样, 矢量 本身不因坐标系而改变, 而它的投影必须满足一 定的坐标变换规则. *请自学 I I , 这样的 若惯量张量的元素满足关系 ij ji 张量称为对称张量. 惯量张量是描述刚体绕某一定点运动的惯性 的物理量, 因此, 惯量张量应属于刚体某一点的. 三、惯量主轴 ? L 表达式能否进一步简化, 取决于惯量张量I 能否简化. 可以证明通过适当选择坐标系可使惯量张量 对角化, 即使所有惯量积为零. 这样的坐标系称 为 点的主轴坐标系. 对主轴坐标系, 惯性张量 成为 l1 0 0 0 l2 0 0 0 l 3 l ,l ,l 代表 体对主轴坐标系的x , y , z 各轴的转动 1 2 3 惯量, 即l1 I xx ,l2 I yy ,l3 I zz . 此时 Lx I xx 0 0 wx Ly 0 I yy 0 wy A L 0 0 I w z zz z 即 L I w i I w j I w k A xx x yy y zz z i , j , k 为主轴坐标系各轴的单位矢量, wx ,wy ,wz 为 角速度在 坐标系上的投影. 寻找主轴坐标系属于求本征值和本征矢量问 题. 主轴坐标系的每一个轴称为 固定点的主轴, 从 A 式看出: 若角速度沿某一主轴方向, 则角动 量的方向也沿此方向, 即有 L lw B l 为正的比例系数. 我们把 B 式作为主轴的另一定义: 若刚体绕 w L 过定点某轴以角速度 转动, 而刚体对 点的 ? w 与 方向相同, 则此轴就是 点的惯量主轴. 将 B 式展开得 I xx l wx I xy wy I xz wz 0 0 I yx wx I yy l wy I yz wz C I zx wx I zy wy I zz l wz 0 这组齐次的线性方程组有非零解的条件为 I xx l I xy I xz I yx I yy l I yz 0 I zx I zy I zz l l 称为特征方程, 它为 的三次方程, 根据由张量元 组成的矩阵是实对称矩阵, 此特征方程具有3 个实 根， 它们是l ,l ,l , 称为本征值. 分别将本征值 1 2 3 代回 C 式求出与之相应的角速度矢量wx ,wy ,wz 为相 应的本征矢量, 它们的方向即3 个主轴方向. 3 个 本征值就是 体对3 个主轴的转动惯量, 也称主转 动惯量. 以上所述是寻找本征值和本征矢量的一般数 学和方法, 研究多自由度系统的小振动问题 时已学习过了, 这里不再重复. 对均匀对称的刚体, 从 体质量分布的对称 性分析容易找出惯量主轴. 让我们先从L lw 导出某轴为轴上某点的惯 量主轴的充分必要条件. 以此点为原点, 以此轴 x y , z 为 轴建立直角坐标系 轴方向任意 , 并设 w 体以角速度 绕此轴转动, 则 L I xx wi I xy wj I zx wk 可见 I m x y 0 , I m x z 0 xy i i i zx i i i 是L // w 的充分必要条件. 根据此条件, 我们能做出这样的重要结论: 1 匀质刚体的对称轴是轴上各点的惯量主轴 O 证明: 以对称轴任一点 为原点, 对称轴为 z 轴建立坐标系Oxyz . 若有一点x , y , z , 则必有 i i i 另一点 x ,y , z . i i i m z x m z x 0 i i i i i i m z y m z y 0 i i i i i i I m z x 0 xz i i i I m z y 0 yz i i i 所以z O 轴为 点的惯量主轴. 也是轴上各点的惯量 主轴. 2 与匀质刚体的对称面垂直的轴, 是轴与对 称面交点的惯量主轴. 3 若坐标系的两个轴是惯量主轴, 则第三轴 也是惯量主轴. 4 匀质刚体若有旋转对称轴, 则以旋转对称 轴为一轴的坐标系是主轴坐标系. 若选用与 体固连的主轴坐标系, 则L 为最 ? 简单表达式 I 对角化, 且元为常量. L I xx wx i I yy wy j I zz wz k 匀质刚体若有旋转对称轴, 则可选用以旋转对称 轴为一轴的坐标系 不必固连 进行简化. 四、刚体做定点运动时的动能 1 2 1 1 T m v m v v m v w r i i i i i i i i 2 2 2 1 w r m v i i i 2 所以 1 T w L 2 当利用主轴坐标系时L I w i I w j I w k xx x yy y zz z T 1 I w 2 I w 2 I w 2 2 xx x yy y zz z w ,w ,w 其中 x y z 为角速度在主轴坐标系上的投影, I xx ,I yy ,I zz 为3 个主转动惯量. 刚体定点运动时的动能还可写成以下形式 1 1 w 1 T w L w L wL 2 2 w 2 w T 1 m v2 1 m w r 2 i i i i 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 [m r sina ]w m r w Iw i i i i i 2 2 2 L Iw w I 为刚体对瞬时轴的转 动惯量. 此二与 体定轴转动的动能公式 形式相同. 五、惯量椭球 阐明惯量张量的意义 及与其相关的几何关系. 先研究刚体对过定点 的任一个轴的转动惯量的 表达式. 以刚体固定点为原点建立Oxyz 坐标系,过 O l a , b ,g 点的 轴的方向余弦为 , 则 体 对轴的转 动惯量为 I m r2 l i i m [r 2 r cosq 2 ] i i i i m [r 2 r l 2 ] i i m [x 2 y 2 z 2 ax by gz 2 ] i i i i i i i 考虑到a 2 b 2 g 2 1, 最后得到 I m y 2 z 2 a 2 m z 2 x 2 b 2 m x 2 y 2 g 2 l i i i i i i i i i 2m x y ab 2m y z bg 2m z x ga i i i i i i i i i 即 I l I xxa 2 I yy b 2 I zz g 2 2I xy ab 2I yz bg 2I zxga 此式还可写成 ? I l I l l 反映了转动惯量 轴的方向变化而改变的规 律. 说明只要知道固定点的惯量张量, 过此点的 任何轴的转动惯量都可求得, 因而更明确地说明 惯量张量是描述刚体绕一点的转动惯性的物理量. 1 1 ? T w L w I w [ 2 2 1 2 2 2 I xx wx I yy wy I zz wz 2 2I w w 2I w w 2I w w xy x y yz y z zx z x ] 用几何图象直观地描述转动惯量 轴方向分 布的情况, 在l R OP 轴上取一长为 的线段 , 并令 R 与 轴的转动惯量有如下关系 1 R I l O 过定点 有无穷多的轴, P 这 线段末端 点 的 坐标为 x Ra , y R b , z Rg 将a , b ,g 解出代入 I l I xx a 2 I yy b 2 I zz g 2 2I xy ab 2I yz bg 2I zx ga R 1 I 考虑到 l , 所以, 这 线段末端的坐标应 满足以下方程 I xx x 2 I yy y 2 I zz z 2 2I xy xy 2I yz yz 2I zx zx 1 这是一个二次曲面方程. 因转动惯量为有限值, R 线段长度 不能是无穷大, 所以此曲面只能是椭 球面. 因它反映转动惯量分布情况, 故称为惯量 椭球. 此方程是对原点对称的, 固定点处于椭球 的中心. 说明以下几点: 1 对 体中不同固定 点, 有不同的惯量椭球, 与 惯量张量一样, 惯量椭球也 是属于 体中某一点的. 2 椭球一定存在3 个对称轴, 若以它们为坐 标轴, 则椭球方程化为形, I xx x2 I yy y 2 I zz z 2 1 此时，3 个惯量积都为零, 可见惯量椭球的3 个对 称轴就是固定点的3 个互相垂直的主轴. 不管刚体 形状如何特殊, 对任一点总能找到至少一套相互 垂直的主轴. I I 如果 xx yy , 则惯量椭球是一个旋转椭球, O xy O 此时过 点在 平面内的任何一根轴都是 点的 惯量主轴; 如果I xx I yy I zz , 则惯性椭球变成 圆球, O O 此时过 点沿任何方向的轴都是 点的惯量主轴. L w 3 利用惯量椭球可把 和 方向间的关系直 观地表达出来: 设w P 与惯量椭球相交于 点, 则此 L P 时 的方向将沿椭球面上 点的法线方向. 在主轴坐标系Oxyz 中, 椭球面方程为 , , 2 2 2 1 0 f x y z I xx x I yy y I zz z 设椭球面上P 点的坐标为x , y , z , 已知 点的法 1 1 1 线方向en f x ,y ,z P 平行于函数 在 点的梯度方向 gradf 2I x i I y j I z k P x 1 ,y 1 ,z 1 xx 1 yy 1 zz 1 因为w // OP , 可写成 w k OP k x i y j z k 1 1 1 w kx ,w ky ,w kz x 1 y 1 z 1 或 w w w x y z x1 , y 1 , z1 k k k 得 gradf P x 1 ,y 1 ,z 1 2 I xxwx i I yy wy j I zz wz k 2 L k k e // L 从而 n . 只有w L w 方向沿惯量主轴时, 才与 平行. O 例题 1 一匀质薄圆盘能绕其中心 做定点转 m R 动, 其质量为 , 半径为 . 已知某瞬时圆盘绕 30o w 过中心与盘面成 角的轴以角速度 转动. 试求 此时圆盘对中心的角动量和圆盘的动能, 以及圆 盘对此轴的转动惯量. O z 解 以过 点并垂直于盘面的轴为 轴, 由角 z x 速度与 轴构成的平面与盘面的交线为 轴. 由对 称性可知, 这样建立的坐标系是主轴坐标系. 由 1 2 1 2 I I mR I mR 题设知: xx yy 4 , zz 2 , w w cos 30 w 0 , w w cos 60 x , y z . O 所以, 圆盘对 点的角动量为 L I xxwx i I yy wy j I zzwz k 1 2 1 2 mR w cos 30 i mR w cos 60 k 4 2 3 2 1 2 mR wi mR wk 8 4 角动量与盘面的夹角a 为 L 2 a arctan z arctan 49 L 3 x 可见角动量的方向与角速度方向不一致. 圆盘的动能为 1 2 2 2 1 3 2 2 1 2 2 T I xx wx I yy wy I zz wz mR w mR w 2 2 16 8 1 5 2 2 mR w 2 16 5 2 I mR 可知圆盘对该瞬时轴的转动惯量为 l 16 . 也可用另法求此转动惯量 2 2 2 2 2 I l I xxa I yy b I zzg I xx cos 30 I zz cos 60 1 2 3 1 2 1 5 2 mR mR mR 4 4 2 4 16