高一数学讲义

集合 1、 知识结构 本小节首先从初中代数与几何涉及的集合实例人手，引出集合与集合的元素的概念，并且结合实例对集合的概念作了．然后，介绍了集合的常用示方法，包括列举法、描述法，还给出了画图表示集合的例子． 二、重点难点分析 这一节的重点是集合的基本概念和表示方法，难点是运用集合的三种常用表示方法正确表示一些简单的集合．这一节的特点是概念多、符号多，正确理解概念和准确使用符号是学好本节的关键．为此，在教学时可以配备一些需要辨析概念、判断符号表示正误的题目，以帮助学生提高判断能力，加深理解集合的概念和表示方法． 1．关于牵头图和引言分析 章头图是一组跳伞队员编成的图案，引言给出了一个实际问题，其目的都是为了引出本章的内容无论是分析还是解决这个实际间题，必须用到集合和逻辑的知识，也就是把它数学化．一方面提高用数学的意识，一方面说明集合和简易逻辑知识是重要的基础． 2．关于集合的概念分析 点、线、面等概念都是几何中原始的、不加定义的概念，集合则是集合论中原始的、不加定义的概念． 初中代数中曾经了解“正数的集合”、“不等式解的集合”；初中几何中也知道中垂线是“到两定点距离相等的点的集合”等等．在开始接触集合的概念时，主要还是通过实例，对概念有一个初步认识．教科书给出的“一般地，某些指定的对象集在一起就成为一个集合，也简称集．”这句话，只是对集合概念的描述性说明． 3．关于自然数集的分析 教科书中给出的常用数集的记法，是新的国家，与原教科书不尽相同，应该注意． 新的国家标准定义自然数集N含元素0，这样做一方面是为了推行国际标准化组织（ISO）制定的国际标准，以便早日与之接轨，另一方面，0还是十进位数｛0，1，2，…，9｝中最小的数，有了0，减法运算 INCLUDEPICTURE "http://www.teachercn.com/Files/RoUpimages/2004723155119734.gif" \* MERGEFORMATINET 仍属于自然数，其中 ．因此要注意几下几点： （1）自然数集合与非负整数集合是相同的集合，也就是说自然数集包含0； （2）自然数集内排除0的集，表示成 或 ，其他数集{如整数集Z、有理数集Q、实数集R}内排除0的集，也可类似表示 ， ， ； （3）原教科书或根据原教科书编写的教辅用书中出现的符号如 ， ， …不再适用． 4．关于集合中的元素的三个特性分析 集合中的每个对象叫做这个集合的元素．例如“中国的直辖市”这一集合的元素是：北京、上海、天津、重庆。 集合中的元素常用小写的拉丁字母 ，…表示．如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作 ；否则，就说a不属于A，记作  要正确认识集合中元素的特性： （l）确定性： 和 ，二者必居其一． 集合中的元素必须是确定的．这就是说，给定一个集合，任何一个对象是不是这个集合的元素也就确定了．例如，给出集合{地球上的四大洋}，它的元素是：太平洋、大西洋、印度洋、北冰洋．其他对象都不用于这个集合．如果说“由接近 的数组成的集合”，这里“接近 的数”是没有严格标准、比较模糊的概念，它不能构成集合． （2）互异性：若 ， ，则 集合中的元素是互异的．这就是说，集合中的元素是不能重复的，集合中相同的元素只能算是一个．例如方程 有两个重根 ，其解集只能记为｛1｝，而不能记为｛1，1｝． （3）无序性：｛a，b｝和｛b，a｝表示同一个集合． 集合中的元素是不分顺序的．集合和点的坐标是不同的概念，在平面直角坐标系中，点（l，0）和点（0，l）表示不 5．要辩证理解集合和元素这两个概念 （1）集合和元素是两个不同的概念，符号和是表示元素和集合之间关系的，不能用来表示集合之间的关系．例如 的写法就是错误的，而 的写法就是正确的． （2）一些对象一旦组成了集合，那么这个集合的元素就是这些对象的全体，而非个别现象．例如对于集合 ，就是指所有不小于0的实数，而不是指“ 可以在不小于0的实数范围内取值”，不是指“ 是不小于0的一个实数或某些实数，”也不是指“ 是不小于0的任一实数值”…… （3）集合具有两方面的意义，即：凡是符合条件的对象都是它的元素；只要是它的元素就必须符合条件． 6．表示集合的方法所依据的国家标准 本小节列举法与描述法所使用的集合的记法，依据的是新国家标准如下的规定． 符号 应用 意义或读法 备注及示例 诸元素 构成的集 也可用 ，这里的I表示指标集 使命题 为真的A中诸元素之集 例： ，如果从前后关系来看，集A已很明确，则可使用 来表示，例如 此外， 有时也可写成 或 7．集合的表示方法分析 集合有三种表示方法：列举法、描述法、图示法．它们各有优点．用什么方法来表示集合，要具体问题具体分析． （l）有的集合可以分别用三种方法表示．例如“小于 的自然数组成的集合”就可以表为： ①列举法： ； ②描述法： ； ③图示法：如图1。 （2）有的集合不宜用列举法表示．例如“由小于 的正实数组成的集合”就不宜用列举法表示，因为不能将这个集合中的元素—一列举出来，但这个集合可以这样表示： ①描述法： ； ②图示法：如图2． （3）用描述法表示集合，要特别注意这个集合中的元素是什么，它应该符合什么条件，从而准确理解集合的意义．例如： ①集合 中的元素是 ，它表示#数# 中自变量 的取值范围，即 ； 集合 中的元素是 ，它表示函数值。的取值范围，即 ； 集合 中的元素是点 ，它表示方程 的解组成的集合，或者理解为表示曲线 上的点组成的集合； ④集合 中的元素只有一个，就是方程 ，它是用列举法表示的单元素集合． 实际上，这是四个完全不同的集合． 列举法与描述法各有优点，应该根据具体问题确定采用哪种表示法．要注意，一般无限集，不宜采用列举法，因为不能将无限集中的元素—一列举出来，而没有列举出来的元素往往难以确定． 8．集合的分类 含有有限个元素的集合叫做有限集，如图1所示． 含有无限个元素的集合叫做无限集，如图2所示． 9．关于空集分析 不含任何元素的集合叫做空集，记作 ．空集是个特殊的集合，除了它本身的实际意义外，在研究集合、集合的运算时，必须予以单独考虑． 1、集合的概念 （1）集合：某些指定的对象集在一起就形成一个集合。 （2）元素：集合中每个对象叫做这个集合的元素。 2、常用数集及记法 （1）非负整数集（自然数集）：全体非负整数的集合。记作N （2）正整数集：非负整数集内排除0的集。记作N*或N+ （3）整数集：全体整数的集合。记作Z （4）有理数集：全体有理数的集合。记作Q （5）实数集：全体实数的集合。记作R 注： （1）自然数集与非负整数集是相同的，也就是说，自然数集包括数0。 （2）非负整数集内排除0的集。记作N*或N+ 、Q、Z、R等其它数集内排除0的集，也是这样表示，例如，整数集内排除0的集，表示成Z* 3、元素对于集合的隶属关系 （1）属于：如果a是集合A的元素，就说a属于A，记作a∈A； （2）不属于：如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作 ． 4、集合中元素的特性 （1）确定性： 按照明确的判断标准给定一个元素或者在这个集合里，或者不在，不能模棱两可。 （2）互异性： 集合中的元素没有重复。 （3）无序性： 集合中的元素没有一定的顺序（通常用正常的顺序写出） 注： 1、集合通常用大写的拉丁字母表示，如A、B、C、P、Q…… 元素通常用小写的拉丁字母表示，如a、b、c、p、q…… 2、“∈”的开口方向，不能把a∈A颠倒过来写。 练习题 1、下列各组对象能确定一个集合吗？ （1）所有很大的实数……（不确定） （2）好心的人……（不确定） （3）1，2，2，3，4，5……（有重复） （二）集合的表示方法 1、列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合的方法。 例如，由方程 的所有解组成的集合，可以表示为{-1，1}． 注：（1）有些集合亦可如下表示： 从51到100的所有整数组成的集合：{51，52，53，…，100} 所有正奇数组成的集合：{1，3，5，7，…} （2）a与{a}不同：a表示一个元素，{a}表示一个集合，该集合只有一个元素。 描述法：用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合，并把这个条件写在大括号内表示集合的方法。 格式：{x∈A| P（x）}  含义：在集合A中满足条件P（x）的x的集合。 例如，不等式 的解集可以表示为： 或 所有直角三角形的集合可以表示为： 注：（1）在不致混淆的情况下，可以省去竖线及左边部分。 如：{直角三角形}；{大于104的实数} （2）错误表示法：{实数集}；{全体实数} 3、文氏图：用一条封闭的曲线的内部来表示一个集合的方法。 注：何时用列举法？何时用描述法？ （1） 有些集合的公共属性不明显，难以概括，不便用描述法表示，只能用列举法。 如：集合 （2） 有些集合的元素不能无遗漏地一一列举出来，或者不便于、不需要一一列举出来，常用描述法。 如：集合 ；集合{1000以内的质数} 注：集合 与集合 是同一个集合吗？ 答：不是。 集合 是点集，集合 = 是数集。 （三） 有限集与无限集 1、有限集：含有有限个元素的集合。 2、无限集：含有无限个元素的集合。 3、空集：不含任何元素的集合。记作Φ，如： 练习题： 1、用描述法表示下列集合 ①{1，4，7，10，13}…… ②{-2，-4，-6，-8，-10}…… 2、用列举法表示下列集合 ①{x∈N|x是15的约数}……{1，3，5，15} ②{（x，y）|x∈{1，2}，y∈{1，2}}……{（1，1），（1，2），（2，1）（2，2）} 注：防止把{（1，2）}写成{1，2}或{x=1，y=2} ③ …… ④ …… {-1，1} ⑤ ……{（0，8）（2，5），（4，2）} ⑥ …… {（1，1），（1，2），（1，4）（2，1），（2，2），（2，4），（4，1），（4，2），（4，4）}