厦大离散数学期末试卷2009_试题 完整答案

厦大离散数学期末试卷2009_试题 完整答案 厦门大学《离散数学》课程试卷 软件学院2008年级 主考教师:金贤安 试卷类型:,A卷, 一、 选择题(共10题，每题3分，共30分) 1、下列语句为命题的是( )。 A(勿踏草地;。 B(你去图书馆吗,; C(月球上有水; D(本命题为假。 2(下列推理中，( )是错误的。 A. 如果x是有理数，则它为整数。1/2是有理数。所以1/2是整数。 B. 若周末气温超过30度，小红就去游泳。小红周末没去游泳。所以周末气温没超过30度。 C. 下午小明或者去看电影，或者去打篮球。下午小明没去打篮球。因此下午小明去看电影了。 D. 若a能被4整除，则a能被2整除。a能被2整除。因此a能被4整除。 3(谓词公式中的x( )。 ，x(P(x),,yR(y)),Q(x) A(只是约束变元 B(只是自由变元 C(既非约束变元又非自由变元 D(既是约束变元又是自由变元 4. 下列关系中，( )不是等价关系。 A. 非空集合的幂集的元素间包含关系; B. 集合之间的等势关系; C. 公式之间的等值关系; D. 图之间的同构关系。 5. 下面等值式中，( )是不正确的。 A. ,x(A(x),B(x)),,xA(x),,xB(x) B. ，x(A(x),B(x)),，xA(x),，xB(x) C. ，x(A(x),B),，xA(x),B D. ,x(A,B(x)),A,,xB(x) 1 6(下列关于集合的势的叙述中，( )是错误的。 A. 实数集比自然数集优势; B. 任一无限集合都存在与自己等势的真子集; C. 集合之间的优势关系是偏序关系; D. 有理数集比整数集优势。 7(设A,B,C是集合，F是关系，，则下列式子中不正确的是( )。G:A,B,D,A ,1A( B. A,B,,,A,B,BG(G(D)),DC. D. F[A,B],F[A],F[B](A,B),C,A,(B,C)8. 以下序列中，( )是简单可图的。 A. (4,4,3,3,2,2); B. (3,3,3,1); C. (5,4,3,2,2); D. (6,6,3,2,2,2,1)。 9. 下列叙述中错误的是( )。 A(n(n?2)阶竞赛图都具有哈密顿通路; B(非平凡树不是欧拉图，也不是哈密顿图; C(n(n?3且为奇数)阶的二部图一定不是哈密顿图; D(欧拉回路包含图的所有顶点，哈密顿回路包含图的所有边。 10(下列关于图的连通性的叙述中正确的是( )。 A. 有向图是连通的是指它是强连通的; B. 任一无向图的点连通度都不超过它的边连通度; C. 在一n阶圈Cn(n?4)上任意去掉两个顶点得到得图都有2个连通分支; D. n阶无向完全图的点连通度为n; 二、填空题(共8题，每题3分，共24分) 1(令F(x):x是汽车，G(y):y是火车，H(x,y):x比y快。则命题“不存在比所有火车都 快的汽车”符号化形式为_________________。 ，，x(F(x),(,y(G(y),H(x,y)))2(公式的主析取范式为______________。 (p,q),rm0,m4,m63(集合A={a,b,c,d}上的等价关系共有______个。 4(自对偶图的顶点数n和边数m之间满足关系式为m =_______________。 5(设T是有t片树叶的2叉正则树，则T应该有_______个顶点。 6(P({Φ,{Φ}}) = _{Φ,{Φ},{Φ,{Φ}},{{Φ}}}____。 2 7(在1到100之间(包含1和100)即不能被2，也不能被3，还不能被5整除的自然数有 _______个。 8(“p仅当q”，“只有q才p”，“除非q才p”这三个命题的符号化分别为_____ , ____ 和 _____ 。(请按顺序填写) 三、应用、计算和题(共6题，46分) 1((6分) 在命题逻辑的自然推理系统中构造下面推理的证明。 前提:?(P??Q)，?Q?R，?R 结论:?P 2((8分)设集合A={a，b，c，d}，A上的关系R={,,,,} 求:(1)画出R的关系图。(2分) (2)R的自反闭包、对称闭包和传递闭包的关系图。(2分，2分和2分) 3((8分)设为一偏序集，其中A={1，2，„，12}，R是A上的整除关系。 (1)画出的哈斯图;(4分) (2)求A的所有极大元和极小元(2分) (3)求B={2,3,6}的最小上界和最大下界(2分)。 4.(8分) 判断左图是否为欧拉图，若是，请给出一欧拉回路(用阿拉伯数字在边上标明顺序即可); 若不是，请说明原因;(4分) 判断右图是否为哈密顿图，若是，请给出一哈密顿回路(用阿拉伯数字在顶点上标明顺 序即可);若不是，请说明原因(4分); 5((8分) 设G是无向简单图且δ(G)?k?2，试证明G中存在长度大于等于k+1的初级回 路(圈)。 6((8分)在一棵有3个2度顶点，2个4度顶点，其余顶点都是树叶的无向树中，应该有 几片树叶,(2分) 请画出所有这样的非同构的无向树。(6分) 3 答案及评分标准 一 选择题 CDDAC DCADD 二 1. ，，x(F(x),,y(G(y),H(x,y)))或者 ,x(F(x),，y(G(y),，H(x,y)))2. m,m,m137 3. 15 4. m=2n-2 5. 2t-1 6. {,,{,},{{,}},{,,{,}}} 7. 26 8. (该小题每空1分) p,q,p,q,p,q 三 1 (1) 前提引入 ，Q,R (2) 前提引入 ，R (3) (1)(2)析取三段论 ，Q (4) 前提引入 ，(P,，Q) (5) 置换 ，P,Q (6) ，P (3)(5)析取三段论 若未注明推理

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,或标注有错,扣1分. 2 (1) 如图1 0 (2) r(R),R,R,R,I,{,a,a,,,a,b,,,b,a,,,c,d,,,b,c,},IAA ,1 s(R),R,R,{,a,a,,,a,b,,,b,a,,,c,d,,,b,c,,,d,c,,,c,b,} 2t(R),R,R,？,{,a,a,,,a,b,,,a,c,,,a,d,,,b,b,,,b,d,,b,a,,,c,d,,,b,c,} 该题要求画出三个闭包的关系图. 每个关系图2分,共6分. 边少画或多画一律判错. 4 3 (1)如图2 (2)A的极大元有:7，8，9，10，11，12 A的极小元有:1 (3)B的上界是{6,12},最小上界是6 B的下界是1，最小下界是1 哈斯图中若出现水平的边,扣1分. 4((,分) (,)判断下图是否为欧拉图，若是，请给出一欧拉回路(用阿拉伯数字在边上标明顺序即可);若不是， 请说明原因;(4分) 答:因为该图是连通图且图中没有奇度顶点，所以该图是欧拉图(只要判断正确给2分)。欧拉回路标序如 下图: , , , , 14 , 10 11 12 , 13, 3 , , 找的欧拉回路正确再2分 (2)判断下图是否为哈密顿图，若是，请给出一哈密顿回路(用阿拉伯数字在顶点上标明顺序即可); 若不是，请说明原因(4分) 5 答:该图不是哈密顿图(2分)。取,,,,，,，,,，从图中删除,，得五个连通分支，如下图所示，所以该图不是哈密顿图。(2分) 另一证明:反证若有哈密顿圈,由于点5,7,9都是二度点,因此该哈密顿圈必包含边 (4,5)(5,6)(6,7)(7,8)(8,9)(9,4),这6条边构成一个圈,矛盾. , , , , , , , 10 10 , , , , , , , , ,((8分)设G是无向简单图且δ(G)?k?2，试证明G中存在长度大于等于k+1的初级回路(圈)。 证明:不妨设,是连通图，若G不连通，因为,的各连通分支的最小度也都大等于k，因而可对它的某个连通分支进行讨论。设u,v为G中任意两个顶点，由G是连通图，因而u,v之间存在路径，用“扩大路径法”扩大这条路径，设最后得到的“极大路径”为Γ=vv„v,则t?k，事实上若存在“极大路径” Γ=vv„vt01ts01s且s