填空题求解中的一些搞不清

·46· 中学数学月刊 2009年第2期 解 设这三条线段长分别为z，Y，8一z—Y，则 rz>0， ．{Y>0， 用(z，y)表示每次试验的结果，则所有可 【8一z—y>0， 叶神憾二训}． 设事件A=“分成的三条线段能构成三角形”，则事 件A包含的可能的结果为 『 N=．{(z，)，) l 如图2所示，试验全部结果构成区域M为AQ4B，事 件A构成区域N为ACDE．据几何概型概率公式，得到 P(A1：△塑巨笪亘丞一11、7 A04B的面积4。 因为区域N所占的比例与线 段长度无关，因而当整条线段的长 度变化时，该概率不会发生变化． 这类问题中往往要设 出两个变量，然后把这两个变量所 满足的条件写成集合形式，并把所 研究事件A也用集合表示，画出两 图2 个集合表示的平面区域．准确得到随机事件构成的区域 后，根据几何概型的概率公式求解．因此可概括出此类问 题的解题步骤：(1)设出变量；(2)用集合表示；(3)作出区 域；(4)计算求解． 练习：(1)在单位圆的圆周上随机取三点A，B，C，求 1 三角形ABC是锐角三角形的概率．(答案：÷) ‘f (2)两个人相约7时到8时在某地会面，先到者等候 另一个人20分钟，若另一人不来，则离去．试求两个人能 C 够会面的概率．(答案：昔) 7 类型3测度是体积 例4 用橡皮泥做一个直径为6厘米的小球，假设其 中混入一粒很小的沙粒，若忽略沙粒半径，试求沙粒距离 解 设事件A=“沙粒距离球心不小于1厘米”．事 件A要发生，则沙粒必须在距离球心1厘米外的3厘米内 的球形区域内运动． 据几何概型概率公式，得到 眦，一燃=型4X『33_4XlS葡26 即沙粒距离球心不小于1厘米的概率为筹． 练习：在区间(O，1)内任意取三个数z，Y，z，则能以这 三个数为边长组成三角形的概率是多少?(答案：÷) 分析 此题涉及三个变量z，Y，z，则所有可能的结果 为 斗伪z惟孙 事件A=“这三个数能组成三角形”所包含的可能的 填空题求麓中的 结果为N=．《(z，Y，z){茎耋蓥卜之样可以建_空 间直角坐标系，因为一个三元一次方程表示的是平面，因 此三元一次不等式组表示的是空问区域，其测度是体积， 于是，P。舢：生圭兰!主享!兰!!兰!]一丢．即这三 个数能够组成三角形的概率是÷． 在学习几何概型这节内容时，只要理解了测度的概念， 选择正确的测度类型，审清题意，问题也就容易解决了． 参考文献 [1]单撙．苏教版普通高中课程标准试验教科书(必 修3)[IVf]．南京：江苏教育出版社，2005． 一些“搞不清’’ 周永平 (江苏省张家港高级中学 215600) 随着新课程以及高考改革的深入，由于选择 题的区分度的局限性，对选择题的使用已越来越 慎重，有弱化的趋势，而填空题则由于其短、快、灵 的特点，且区分度相对较高，有强化的趋势，这已 成为不少专家的共识，有些省、市的高考试题中的 选择题的题量已大量减少甚至取消(如江苏)，而 填空题的数量则大幅增加．可以这样说，填空题的 地位将会空前提高，它必定会在数学试题中有着 举足轻重的作用．而目前的填空题的得分率相对 于同等难度的选择题而言，明显偏低，因此本文试 通过对填空题求解中的一些“搞不清”而导致的 错误分析，旨在引起人们对填空题的进一步重视． 1 搞不清——充分还是必要的 人们常习惯于用充要条件来进行解题，这样 就往往会把一些非充要条件当成了充要条件，分 不清到底是充分条件还是必要条件，从而发生解 ，一>> 0 Z y y >一 一 一疹卜= ， ，一，＼一 一ⅫⅪ一协一一 万方数据 2009年第2期 中学数学月刊 ·47· 题的错误也就在所难免了． 例l 已知函数，(z)=一+船2+缸+口2 在,27=1处有极值为10，则厂(z)的解析式为 错解：因为／(z)=3≯-t-2ax+b，所以 伶茜二苫解得{苫三j3’或仨三’1，． 分析 上述错误在于“／(优)=0是八z)在 z—m处取得极值的必要条件而非充分条件”，当 {三一：南时，z=1两侧／(z)的符号相同，故应 舍去；当{三一鼍：，时，z一1两侧／(z)的符号相 反，故符合题意． 例2已知向量口=(一2，一1)，西一(A，1)， 则口与b的夹角口为钝角时，J：I的取值范围为 错解 由于曰为钝角，从而口·b—l口|．I6I 1 ·cos8<0，即一数一1<0，故A>一去． 厶 分析 口为钝角，n·b<0，但是当口·b<0 时，口不一定为钝角，口可取7c，即“日为钝角是口·b <0的充分而非必要条件”，当口为兀时，即口与b 反向，此时A=2，故正确答案为A>一去且A≠2． 厶 2 搞不清——分类标准及方法 随着高考改革的深入，越来越重视对数学素养 的考查，这往往体现在数学思想的自觉运用上，而 尤其是分类思想的正确运用，则更是数学素养高低 的一块重要试金石． 例3 从集合{1，2，3，⋯，10)中任意选出三 个不同的数，使这三个数成等比数列，这样的等比 数列个数为 ． 错解 不妨把符合题意的数列具体找出来： “1，2，4”或“1，3，9”或“2，4，8”或“4，6，9”，等比 数列个数为4个． 分析 本题中没有规定公比一定要大于1， 所以把上述所得数列颠倒过来也都符合要求，故 正确答案是8个． 例4若集合M={ml≤Tn≤18，m∈ N’)，从M中每次取出三个元素使它们的和为3 的倍数，则这样的不同取法有 ． 错解 从M中每次取出三个元素使它们的 和为3的倍数，可分为以下三类：三个元素都是3 的倍数；三个元素被3除都余1；三个元素被3除 都余2．因此所求的不同取法为3C3=60． 分析 上述解答的错误在于分类不全，漏掉 了一类：三个元素分别是3的倍数、被3除余1、被 3除余2，因此本题的正确答案应是3c3+C{·C{ ．cA=276种． 3 搞不清——目标模型的选择 当求解一个问题时，应设法利用解题条件，搞 清相关模型，探明解题途径，如若搞错了模型而一 味强行求解，必会事倍功半甚至南辕北辙． 例5 某地拟建一垃圾处理厂，根据调查，该 地区垃圾的年增长量为b，2005年的垃圾量为口， 则从2005年到2010年的垃圾总量为． 错解 该地区的垃圾量为公比是b的等比数 列，故从2005年到2010年的垃圾总量为 口(1一b6) —r乏■。 分析 本题中的条件是“年增长量”而非 “年增长率”，“量”与“率”虽一字之差，却表明本 题对应的数列模型为等差数列(非等比数列)，从 而可求得答案6口+15b． 例6 在圆形的钥匙圈上挂了5把不同的钥 匙，则不同顺序的排法有 ． 错解 不同的排法为孚=24种． 分析 上述错误在于搞不清模型“钥匙圈” 与“席地围成一圈”的区别，钥匙圈可翻上翻下， 因而不同顺序的排法只有12种． 4 搞不清——有无隐含的范围 显性的问题由于易发现，也就常常引起人们的 重视，而隐陛的问题则由于不易发现则又会遭到人 们的忽视，在数学解题中常表现为紧抓表面的范围 不放而忽略了隐含范围． 例7 若方程X3—322+(m+2)x—m=0 的三个根可以作为一个三角形的三条边长，则实 数Tn的取值范围是 ． 错解 方程z3—3≯+(m+2)z—m=0可 化为(z一1)(≯一2z+m)=o，设方程工2—2x+ m=0的两根为z。，z2，则X1，z2以及1作为一个 三角形的三条边，必须满足lzz—z-l<1，即 ~／(z1+z2)2—4xlx2<1，亦即√4—4m<1，解 得m>百3． 分析 上述的错因在于忽略了隐含范围：方 程≯一2z+m=0有两实根，意味着必须满足△ ≥0，即m≤1，故本题的正确答案是} b>O)，则有：B(一a，O)， C(n，O)． ，J A 痞&一 占＼＼上9彳入』／cj／N M 图1 利用椭圆的参数方程，设E(acos口，bsina)， F(acosp，bsinp，则点M，N的坐标分别为 M(acos口，一bsina)，N(acos卢，--bsinp， 直线EN的方程为： 了一6sina一及b(cs。insaa+一sci。nst3脚)(X--acOs ff)．了一Dslna一灭cosa—cos∞ ，·令y_o’得工。=躺． 同理，直线FM的方程为：Y—bsinp=等堑坠譬黑(X--12COSnCOSp，令Y—o，同样得到——。-—_ ∥’岢2u'1日J件侍到nLCOS／s—COSct) 。z。：罢血鬯，，所以直线EN与FM相交于zSln口十sin∥ 轴上同一点D． 另一方面，直线BE，CF的方程分别为： y一忑裟鞠。h)'y一页丽而‘z十口)’ Y—a——(c—o—s—fl—--‘一1)Lz一口)。联立解得翰=螺簿装器sinSIn．S1nⅥ一口，十L∥十 口) 为了证明AD上BC，只要设法证明,．72A—zD． 为此，我们对XA，zD分别化简： 妇=口·群擗詈辱盎落部 sin肛os2鲁一sinasin2告=口·—————三—————壬 sin肚os2鲁+sin口sin2告 万方数据