傅里叶分解与合成

傅里叶分解与合成 周期信号的傅里叶分析 任意一个周期函数都可展开为傅里叶级数，因此各种波形的周期信号都可分解为一系列不同频率的正弦波。通过实验电路实现周期信号的傅里叶分解与合成，对周期信号进行傅里叶分析，对于深刻理解周期函数的傅里叶展开具有重要意义。 1 周期函数的傅里叶展开 周期为的函数可以展开为三角函数构成的傅里叶级数 ftT，， ,1ftaanwtbnwt,，， (1.1) ，，，，,0nncossin n12, 周期为的方波函数(如图1.1所示) T T(0)ht,,2 (1.2) {ft,，，T(0),,,,ht2 可展开为傅里叶级数 4111h,,,,,,？？，，,，，，，ftttttsinsin3sin5sin7,,,357,, (1.3) , 41h,,，，,,,,，，sin21ntn1,,，，,,,21n,, f(t) h t -T 0 T -h 图1.1 方波信号 由此得出，方波信号的基波与各谐波同相位，基波与前三阶谐波频率比为 1111:3:5:7，振幅比为。 1::: 357 2周期信号的傅里叶分解 2.1实验原理 用RLC串联谐振电路作为选频电路，对方波信号进行频谱分解，在示波器 上显示被分解的波形。 C实验电路如图2.1所示，其中、是可变的。取0.1H。 RL 图2.1 RLC串联谐振电路 当输入信号的频率与电路的谐振频率相匹配时，此电路将有最大的响应。 谐振频率为, 0 1 (2.1) ,,0LC 这个响应的频带宽度以值来表示 Q 1LQ, (2.2) ,RrC， ,其中为取样电阻，为电感线圈的电阻及与电容箱相串联的等效损耗电阻Rr ,当值较大时之和。Q，在附近的频带宽度较狭窄，所以实验中选择Q值足够0 大，大到足够将基波与各次谐波分离出来。 Cn,调节可变电容，在频率谐振，则会从此周期性波形中选择出这个单0 元，它的值为: Vtbnt()sin,, (2.3) n0 这时电阻两端电压为 R VtIRnt,，,sin, (2.4) ，，，，R00 bX,1n此式中，X为串联电路感抗和容‎‎抗之和，，为串联电路的总I,,,tgZ0ZR 阻抗。 X,0在谐振状态时，此时，阻抗，其中为方ZrRRRrRR,，，，,，，LCL波电源的内阻;为取样电阻;为电感的损耗电阻;为电容的损耗电RRrRLC阻。(值常因较小忽略) RC 通过傅里叶分解合成仪中的1KHz的方波来做傅里叶分解实验，其输出阻抗 低，可以保证顺利地完成分解实验。 2.2实验装置 实验装置包括: 傅里叶分解合成仪; 十进式电容箱; 0.1H标准电感; 双踪示波器; 2.3实验内容 2.3.1 谐振时电容值的测量 测量RLC串联电路时对1KHz，3 KHz，5 KHz正弦波谐振时的电容值、C、C21 C，并与理论值进行比较，结果如表2.1所示。方波频率，取样电fHz,10003 R,,27r,,23LH,0.1阻，实验测得信号内阻，电感。 表2.1 谐振频率 1000Hz 3000Hz 5000Hz 0.2498,f 0.0279,f 0.0100,f 实验值 0.253,f 0.0280,f 0.0101,f 理论值 2.3.2方波的分解 RLC串联谐振电路连线图如下: 将1KHz方波输入到RLC串联电路，然后调节电容值至、、附近，从CCC231 示波器上观测谐振波，测量基波和n阶谐波的相对振幅。 如图2.1所示: (1)1KHz方波输入信号， 图2.1 fC1,,0.2498f(2)谐振频率=1KHz，谐振时电容值，波形如图2.2所示，相对0 AV,1.7振幅，李萨如图形如图2.3所示。 图2.2 图2.3 (3)谐振频率, 谐振时电容值，波形如图2.4所示，相fKHz,3C1,,0.0279f0 AV,0.5对振幅。李萨如图形如图2.5所示。 图2.4 图2.5 fKHz,5(4)谐振频率，谐振时电容值，波形如图2.6所示，C1,,0.0100f0 AV,0.24相对振幅。李萨如图形如图2.7所示。 图2.6 图2.7 2.3.3计算并校正相对振幅 (1)损耗电阻的测定 r C RR R LCL 图2.8 损耗电阻测量电路 用标准电容箱加正弦信号发生器用谐振法测量。接一个如图2.8所示的串联谐振电路。测量在谐振状态时，采用外接信号源分别为1KHz、3 KHz、5 KHz VV时，信号源输出电压和取样电阻两端的电压，根据可计算RABR VVABRR出的值。 ,LrRRRR，，，Lc 损耗电阻测量电路连线图如下: 不同频率时电感的损耗电阻为: RL VAB,,,,,,,,,,6.21KHz =3*0.5v=1.5v = r=23Ω, R=27Ω , ? 0 =5.8Ω 代入数据 得: VAB,,,,,,,,,,3.53KHz =1.5*0.2v=0.3v = r=23Ω, R=27Ω , ? 0 =13Ω 代入数据 得: VAB,,,,,,,,,,,2.35KHz =0.8*0.2v=0.16v = r=23Ω, R=27Ω , ? 0 代入数据 得:=27.625Ω (2)相对振幅的校正 /采用分压原理校正。设为谐波校正后的振幅，为谐波未被校正时的振AA 幅。为1KHz使用频率时的损耗电阻。为3KHz或者5KHz使用频率时的损耗RRL1L 电阻。则校正公式为: RR/::AA, RRrRRr，，，，LL1 RRr，，/LAA,， RRr，，L1 校正结果如下: 基波1KHz， =’ =1.700v 132327，，谐波3KHz，=’ * = 0.500 * =0.565v 5.82327，， 27.632327，，谐波5KHz，=’ * = 0.240 * =0.334v 5.82327，， 经过校正后，= 1700 :565 :343 ? 1: : , 与理论值符合较好。 3周期信号的傅里叶合成 3.1实验原理 利用傅里叶分解合成仪实现。把四组频率为1KHz，3 KHz，5 KHz，7 KHz的 111同相位正弦波按振幅调节好输入到加法器，叠加后形成方波。 1::: 357 3.2实验过程 (1)用丽萨如图形反复调节各组移相器使1KHz，3 KHz，5 KHz，7 KHz正弦波同相位。 调节方法是示波器轴输入1KHz正弦波，而轴输入傅里叶分解合成仪提XY 供的1KHz，3 KHz，5 KHz，7 KHz正弦波，在示波器上显示出如图3.1 所示波形时，说明基波和各阶谐波初相位相同。 同相位 同相位 同相位 同相位 输入 1KHz 3 KHz 5 KHz 7 KHz Y 图3.1 方波相位调节图 111(2)调节1KHz，3 KHz，5 KHz，7 KHz正弦波振幅比为。 1::: 357(3)将1KHz,3 KHz,5 KHz,7 KHz正弦波逐次输入加法器，观察合成波形变化。 3.3实验数据 (1)实验调节的波形如下图所示 图3.2 1KHz的正弦波 图3.3 3KHz的正弦波 图3.4 5KHz的正弦波 图 3.5 7KHz的正弦波 (2)对应的李萨如图如下图所示: 图3.6 1KHz正弦波对应的李萨如图 图3.7 3KHz正弦波对应的李萨如图 图3.8 5 KHz正弦波对应的李萨如图 图3.9 7KHz正弦波对应的李萨如图 (3)1KHz正弦波与3KHz正弦波叠加波形，如图3.10所示。 图3.10 1KHz与3KHz正弦波叠加波形 (4)1KHz，3 KHz，5 KHz正弦波叠加波形，如图所示3.11所示。 图3.11 1KHz、3KHz、5KHz正弦波叠加波形 (5)1KHz，3 KHz，5 KHz，7 KHz正弦波叠加波形，如图3.12所示。 图3.12 1KHz、3KHz、5KHz、7KHz正弦波叠加波形 3.4数据分析 通过傅里叶分解合成仪将频率为1KHz、3 KHz、5 KHz、7 KHz的正弦波按照一定的相位关系和振幅比进行叠加，能够实现方波的合成。根据实验数据，可以得到以下结论: (1)基波上迭加谐波越多，合成波形越趋近于方波。 (2)迭加谐波越多，合成波前沿、后沿越陡直。 (3)谐波的振幅逐阶递减，阶数越高，振幅越小。阶数越高的谐波对周期信号的形成影响越小。 结束语 采用RLC选频电路对方波信号进行傅里叶分解，测得基波和各谐波的频率 111比为1:3:5:7…，振幅比为…，基波和各谐波同相位。反之，利用1::: 357 傅里叶分解合成仪将满足上述条件的正弦波进行傅里叶叠加，可形成方波。