11[1].7斯托克斯公式 - 高数课件

nullnull静能生慧内容小结内容小结1. 高斯公式及其应用公式:null应用:(1) 计算曲面积分 (非闭曲面时注意添加辅助面的技巧)(2) 可推出闭曲面积分为零的充要条件: 与曲面无关的充要条件 （只与边界线有关）即(略)。null2. 通量与散度 设向量场P, Q, R, 在域G内有一阶连续偏导数, 为则向量场通过有向曲面  的通量(流量) G 内任意点处的散度为 null三、环流量与旋度 §11.7 斯托克斯公式 环流量与旋度 一、斯托克斯公式*二、空间曲线积分与路径无关的条件(简介)四、向量微分算子(简介) 第十一章 一、 斯托克斯公式 一、 斯托克斯公式 定理1. 设光滑曲面  的边界 是分段光滑曲线, (斯托克斯公式)在内的一个空间的侧与  的正向符合右手法则, 在包含域内具有连续一阶偏导数,则有null注意: 如果  是 xoy 面上的一块平面区域, 则斯故格林公式是斯托另要注意P, Q, R的搭配, 及公式的记忆!托克斯公式就是格林公式．克斯公式的特例.null为便于记忆, 斯托克斯公式还可写作:或用第一类曲面积分示:(切记此两类情况下的斯托克斯公式)例1. 利用斯托克斯公式计算积分例1. 利用斯托克斯公式计算积分其中为平面 x+ y+ z = 1 被三坐标面所截三角形解: 记三角形域为, 取上侧,则的整个边界, 方向如图所示. 例1. 利用斯托克斯公式计算积分例1. 利用斯托克斯公式计算积分其中为平面 x+ y+ z = 1 被三坐标面所截三角形另解: 记三角形域为, 取上侧,则的整个边界, 方向如图所示. null截立方体 {(x,y,z )|0≤x,y,z≤1}的截痕的边界.解: 设为平面 x+y+z = 1.5其中为平面例2.计算从x轴正向看为逆时针方向.的上侧被  所围的部分 ,null利用斯托克斯公式得则其法线的方向余弦例3. 例3. 与平面 y = z 的交线 ,方向为从z轴正向看为顺时针。解: 设为平面 z = y 上被  所围椭圆域,且取下侧,计算积分为柱面其中null利用斯托克斯公式得例4.(P247 11)例4.(P247 11)求力沿有向闭曲线所作的功, 其中 为平面 x + y + z = 1 被三个坐解：从z 轴正向看去标面所截成三角形的整个边界,设三角形区域为 , 方向向上,则沿顺时针方向.null何来?*二、空间曲线积分与路径无关的条件(介绍 )*二、空间曲线积分与路径无关的条件(介绍 )定理2. 设 G 是空间一维单连通域, 具有连续一阶偏导数,则下列五 个条件(1) 对G内任一分段光滑闭曲线 , 有(2) 对G内任一分段光滑曲线, 与路径无关函数P, Q, R, 在域G内相互等价:null(3) 在G内存在某一函数 u, 使(4) 在G内处处有且(用行列式记)null(4)即在G内处处有(5) 在G内，力为保守力.例3*. 验证积分与路径无关, 并求解: 令例3*. 验证积分的原函数yxzxyz=1,=1,=1. 积分与路径无关；null因此简单情况下求原函数可按下列方法简单情况下求原函数可按下列方法所以三、环流量与旋度令 , 引进一个向量定义: 沿有向旋度 .三、环流量与旋度闭曲线 的环流量.旋度的力学意义:设某刚体绕定轴 l 转动,M为刚体上任一点, 建立坐标系如图,则旋度的力学意义:null点 M 的线速度为(此即“旋度”一词的来源)内容小结(切记此两类情况下的斯托克斯公式)内容小结1. 斯托克斯公式场论中的三个重要概念场论中的三个重要概念设梯度:散度:旋度:则 向量微分算子null称为Nabla算子或哈密顿(Hamilton)算子思考与练习思考与练习则提示:习题11-7 6 (P245) 事实上只需要r具有二阶连续偏导数,作业P245作业P2452 (1),(3),(4) ; 3(1),(3) ; 4(1); 5 (2) ; 作业P246 总习题十一3 (2) , (4) ; 4 (2) 5例6.例6.: 设(常向量)则单位外法向向量, 试证例6*.例6*.证明: 设(常向量)则单位切向量, 试证T 为L的 例7. 设  是曲面例7. 设  是曲面取上侧, 计算解:…null取足够小的正数, 作曲面取下侧 使其包在  内, 为 xoy 平面上夹于之间的部分, 且取下侧 ,则null第二项添加辅助面, 再用高斯公式计算, 得