p_群Frattini子群中p_3阶非交换的子群

第 30卷第 5期 唐山师范学院学报 2008年 9月 Vol.30 No.5 Journal of Tangshan Teachers College Sep. 2008 ────────── 基金项目：咸阳师范学院引进人才基金项目（06XSYK273）。 收稿日期：2007-01-22 作者简介：祁燕（1980-），女，山西襄汾人，硕士，咸阳师范学院助教，主要从事群论方面的研究。 - 9 - p-群 Frattini子群中 3p 阶非交换的子群 祁 燕 （咸阳师范学院 数学系，陕西 咸阳 712000） 摘 要：考虑了非交换且非正规的 3p 阶群H 的嵌入问题，利用群扩张的理论证明了，当 5p ≥ ，存在这样的 p −群G，使得 ( )H G≤ Φ 。 关键词：Frattini子群；循环扩张；半直积；自同构 中图分类号： O175. 1 文献标识码：A 文章编号：1009-9115(2008)05-0009-03 Non-Abelian Subgroup of Order p3 Contained in the Frattini Subgroup of p-Groups QI Yan (Department of Mathematics, Xianyang Normal University, Shanxi Xianyang 712000, China) Abstract: we consider the problem that a p-group G can be choose so that there exists non-abelian and non-normal subgroup H of order 3p in ( )GΦ 。Two of the p-groups are found by using the extention theory of groups if 5p ≥ . Key words: Frattini subgroups; cyclic extension; semidirect product; autmorphism 1 引言 定义 1 设G是有限群。若 1G ≠ ，令 ( )GΦ 为G的所 有极大子群的交；而若G =1，令 ( )GΦ =1。我们称 ( )GΦ 为 G的 Frattini子群。 定义 2 设N 是有限 p −群，G是另外一个群。N 到G 中的一个嵌入指的是N 到G的一个单同态ε ： N G→ ， 使得 N Gε ≤ 。 因此，存在 N 到G 中的嵌入就等价于G 有同构于 N 的子群。这时，如果通过单同态ε 把N 嵌入G，我们可以 认为N 是G的子群，而G是N 的一个扩张。 Hill W. M.等[1]证明了 p为素数时， 3p 阶非交换群不能 正规嵌入到任意有限群的 Frattini 子群中，也就是说 ( )GΦ 中 3p 阶非交换的正规子群是没有的。一个很自然的问题就 是，是否存在某些 p −群G，使得 ( )GΦ 中有 3p 阶非交换 的非正规子群呢?就这个问题，本文将给出一个肯定的回答。 本文中我们用 *N Fα 示 N 和 F 关于α 的半直 积，其中 N 是正规子群，α 是 F 到Aut( )N 的同态。 2 主要定理及其证明 定理 1 设 5,p ≥ H = 2,z | 1,[ ]=p p px x z x,z x〈 = = 〉， 则存在群 G = 〈 , , , x y z w | 2 2 2p p p px y z w= = = = 1 ， [ , ] [ , ] [ , ] 1p py z y x x w= = = ，[ , ] py z y= ，[ , ]py w = [ , ] [ , ] px z z w x= = ，[ , ]x y z= ，[ , ]w y x= 〉， 使得 ( )H G≤ Φ 。 证明：利用群扩张的理论，分三步证明G 是由交换群 1 [ ] 1 2p px, u | x = u = , x,u =〈 〉出发，经过三次循环扩张得 到的 7p 阶群。 （1）设 3 1 [ ] 1 2p pN x,u | x = u = , x,u == 〈 〉，构造 3N 被 p阶循环群 z〈 〉的扩张 令映射 1: px x u uτ +6 6， ，再把它扩充到整个 3N 上。由于 21( ) 1p px + = ， 1pu = ，并且 1[ , ] 1px u+ = ，故τ 经 过线性扩张，可得到 3N 的一个自同构，即 3Aut( )Nτ ∈ 。 又因为 0 1 1( 1)( ) p p pp p p pC p C p Cp px x x xτ −+ + ++ = = = " ， 第 30卷第 5期 唐山师范学院学报 2008年 9月 - 10 - 所以 ( )o pτ = 。 设 z〈 〉为 p 阶循环群，且 z 在 3N 上的作用与τ 相同， 则 : zτα τ6 是 z〈 〉到 3Aut( )N 的一个同态，于是作半直 积 2N = 3N * τα z〈 〉，则 2 2 = , , | 1 p p pN x u z x u z〈 = = = ，[ , ] [ , ] 1x u u z= = ， [ , ] px z x= 〉，且 42| |N p= 。 （2）添加元素 y，构造 2N 的 p次循环扩张 令映射 : x xz u uσ → →， ， 1z zu−→ ，再把它扩充到 整个 2N 上。 由于 2[ , ] ( )px z x Z N= ∈ ， 故 2 ( ) [ , ] pCp p pxz x z z x= = 2- 1ppCp px x x= ≠ ， 但 2( ) 1pxz = ， 1pu = ， 1( ) pzu− = 1( ) 1p p pzu z u− −= = ， 并且 [ , ] 1xz u = ， 1[ , ] 1u zu− = ， 1[ , ] ( )p pxz zu x xz− = = 。 故σ 经过线性扩张，可得到 2N 的一个自同构，即 2Aut( )Nσ ∈ 。 由于 2 p-Cp p(x)= xz u = xσ ， ( )p zσ = pzu z− = ， 故 ( )o σ = p。 设 y〈 〉为 2p 阶循环群， pu y= ，且 y 在 2N 上的作 用与σ 相同。于是我们作 1N = 2N y〈 〉，则可知群 1N = , , , x u z y〈 | 2 2 1p p p px y z u= = = = ，[ , ]u z = [ , ] 1u x = ，[ , ] px z x= ，[ , ]x y z= ，[ , ]y z u= 〉 = , , x y z〈 | 2px = 2 1p py z= = ，[ , ]py z = [ , ] 1py x = ， [ , ] px z x= ，[ , ]x y z= ， [ , ] py z y= 〉，且 52 1 2 | | | || | | | N yN p N y 〈 〉 = =〈 〉∩ 。 （3）构造 1N 被 2p 阶循环群 w〈 〉的扩张 令映射 : x xθ 6 ， 1y yx−6 ， pz zx6 ，再把它扩充 到整个 1N 上。 由于 5p ≥ ，故 1N 正则[5]。又 1 1( ')N =1，所以 1N 是 p −交换的[5]。从而 1( ) 1p p pyx y x− −= ≠ ， 21( ) 1pyx− = ， ( )p pzx = 2 1p pz x = ， 并且 1[( ) , ]p pyx zx− [ , ] 1p p py x zx−= = ， 1[( ) , ] [ , ] 1p p pyx x y x x− −= = ， [ , ]px zx = [ , ] px z x= ， 11[ , ] [ , ]x p px yx x y x z zx − − = = = ， 1 1[ , ] ( )p pyx zx yx− −= 。 故 θ 经过线性扩张，可得到 1N 一个自同构，即 1Aut( )Nθ ∈ 。又 2 2 ( )p py yx yθ −= = ， 2 ( )p pz zx zθ = = 。 从而 2( )o pθ = 。 设 w〈 〉为 2p 阶循环群，且 w在 2N 上的作用与θ 相 同。则 : wθα θ6 是 w〈 〉到 1Aut( )N 的一个同态，于是 作半直积 G = 1 *N wθα 〈 〉。则可知群 2 2 , , , | 1p p p pG x y z w x y z w= 〈 = = = = ，[ , ] py z y= ， [ , ] [ , ] [ , ] 1p py z y x x w= = = ，[ , ] [ , ] [ , ]p py w x z z w x= = = ， [ , ]x y z= ，[ , ]w y x= 〉，且 7| |G p= 。 这说明群G可看成是由交换群 3N 出发，经过循环扩张 得到的 7p 阶群。由计算得 2 2 '= , , | 1p p p pG x y z x y z〈 = = = ，[ ] [ ] 1p py , z y , x= = ， [ , ] px z x= 〉 < ( )GΦ ， 而H 为 'G 的一个 3p 阶非交换的子群，故有 ( )H G< Φ 。 定理 2 设 5p ≥ ，H = , , |u w x〈 p p pu w x= = 1= ， [ ]=x, w u〉，则存在群 , , , , , | 1p p p p p pG x y z u v w x y z u v w= 〈 = = = = = = ， [ , ]w z v= ，[ , ]y z x= ，[ , ] [ , ] [ , ] [ , ] 1v w v x v z x y= = = = ， [ , ]x z w= ，[ , ] [ , ] [ , ]v y x w w y u= = = 〉 使 ( )H G≤ Φ 。 证明：利用群扩张的理论分三步来证明群G 是由初等 交换群 , , u v w〈 〉出发，逐次添加元素 , , x y z得到的。 （1）设 1N = u v w〈 〉× 〈 〉× 〈 〉。构造 1N 被 p阶循环群 x〈 〉的扩张 令映射 1: u u v v w wuτ −6 6 6， ， ，再把它扩充 到整个 1N 上。容易验证τ 是 1N 的一个 p阶自同构。设 x〈 〉 为 p 阶循环群，且 x 在 1N 上的作用与 τ 相同。则 : xτα τ6 是 x〈 〉到 1Aut( )N 的一个同态，于是作半直积 2N = 1 *N xτα 〈 〉，则可知群 2 , , , | 1 p p p pN u v w x u v w x= 〈 = = = = ，[ , ]v w = [ , ] [ , ] [ , ] [ , ] 1v u v x u w x u= = = = ，[ , ]x w u= 〉， 且 2 4| |N p= 。 （2）构造 2N 被 p阶循环群 y 的扩张 令映射 :θ u u6 ，v vu6 ，w wu6 ， x x6 ，再把 它扩充到整个 2N 上。容易验证θ 是 2N 的一个 p阶自同 构。设 y〈 〉为 2p 阶循环群，且 y 在 2N 上的作用与θ 相 同。则 : yθα θ6 是 y〈 〉到 2Aut( )N 的一个同态，于是作 祁 燕：p-群 Frattini子群中 p3阶非交换的子群 - 11 - 半直积 3N = 2 *N yθα 〈 〉。则可知群 3N = 〈 , , , , u v w x y | 1p p p p pu v w x y= = = = = ， [ , ] [ , ] [ , ] [ , ] [ , ] [ , ] [ , ] 1v w v x x y u v u w u x u y= = = = = = = ， [ , ] [ , ] [ , ]v y x w w y u= = = 〉， 且 3 5| |N p= 。 （3）构造 3N 被 p阶循环群 z〈 〉的扩张 令映射 : u uη 6 ， v vu6 ，w wv6 ， x xw6 ， y yx6 ， 再 把 它 扩 充 到 整 个 3N 上 。 容 易 验 证 3Aut( )Nη ∈ 。 又因为 ( )p pw wv wη = = ， 2 ( ) pCp px xw v xη = = ， ( 1)( 2) ( 1)( 2)( 1) 16 62( ) ( ) p p p p p pp p p py yx w v uη − − − −− − = y= 。 所以 ( )o pη = 。 设 z 为 p 阶循环群，且 z在 3N 上的作用与η相同。 则 : zηα η6 是 y 到 3Aut( )N 的一个同态，于是作半直 积 3 *G N zηα= 〈 〉。则可知群 , , , , , | 1p p p p p pG x y z u v w x y z u v w= 〈 = = = = = = ， [ , ]w z v= ，[ , ]y z x= ，[ , ] [ , ] [ , ] [ , ] 1v w v x v z x y= = = = ， [ , ]x z w= ，[ , ] [ , ] [ , ]v y x w w y u= = = 〉 且 6| |G p= 。 由于 1( ) ' ( )G G GΦ = ，由计算知， ( )GΦ = 〈 , , , u v w x | p p p pu v w x= = = 1= ， [ , ] [ , ] [ , ] 1v w v u v x= = = ，[ , ]x w u= 〉。 此时 ( )GΦ 中存在 3p 阶子群 H = , , | 1, [ ]=p p pu w x u w x x, w u〈 = = = 〉。 [参考文献] [1] W. M. Hill and D. B. Paker. The nipotance class and superniponent groups, Israel Journel of Mathmatics, 1977, 26: 68-74. [2] C. Hobby. The Frattini subgroups of a p-groups, Pacific J. Math., 1960, 10: 209-212. [3] Y. G. Berkovich and Z. Janko. Groups of Prime Power Order, Part I, unpublished, 2004. [4] 徐明曜.有限群导引(上册).北京:科学出版社,1999. [5] 徐明曜,黄建华,李慧陵,李世荣.有限群导引(下册).北京: 科学出版社,2001. （责任编辑、校对：陈景林）