球的体积公式积分推导[精华]
设球的方程为:
2222x,y,z,R 为方便起见,特选定第一,二,三,四卦限为研究对象。
V,zdxdy
,,
D
222D:x,y,R代入,可得
222V,R,x,ydxdy ,,
D
选取极坐标
x,rcost令 y,rsint
0,r,R
其中, 0,t,2π
再次代入
2π22R
V,dtrR,rdr ,,00
dR,r22,,dr,注意到 ,2r
dR,r22πR,,2V,dtrR,r22? ,,,2r00
12πR2222VdtRrdRr,,,,,, ,,200
?
R3111R2222223RrdRrRrR2,,,,,,,,,,,,02330
2π112π2π333VRdtRtR,,,? ,03330
由于是取第一,二,三,四卦限为研究对象,则上式为球的体积的一
半。
4π3
,VR球? 3