球的体积和表面积

球的体积和面积 一. 教学目标 ,( 知识与技能 ?通过对球的体积和面积公式的推导，了解推导过程中所用的基本数学思想方法:“分 割——求和——化为准确和”，有利于同学们进一步学习微积分和近代数学知识。 ?能运用球的面积和体积公式灵活解决实际问题。 ?培养学生的空间思维能力和空间想象能力。 ,( 过程与方法 43通过球的体积和面积公式的推导，从而得到一种推导球体积公式,,πR和面积公式,,,3 2πR的方法，即“分割求近似值，再由近似和转化为球的体积和面积”的方法，体现了极限思想。 ,( 情感与价值观 通过学习，使我们对球的体积和面积公式的推导方法有了一定的了解，提高了空间思维能力和空间想象能力，增强了我们探索问题和解决问题的信心。 二. 教学重点、难点 重点:引导学生了解推导球的体积和面积公式所运用的基本思想方法。 难点:推导体积和面积公式中空间想象能力的形成。 三. 学法和教学用具 ,( 学法:学生通过阅读教材，发挥空间想象能力，了解并初步掌握“分割、求近似值 的、再由近似值的和转化为球的体积和面积”的解题方法和步骤。 ,( 教学用具:投影仪 四. 教学 (一) 创设情景 ?教师提出问题:球既没有底面，也无法像在柱体、锥体和台体那样展开成平面图形，那么怎样来求球的表面积与体积呢,引导学生进行思考。 ?教师设疑:球的大小是与球的半径有关，如何用球半径来表示球的体积和面积,激发学生推导球的体积和面积公式。 (二) 探究新知 1(球的体积: 如果用一组等距离的平面去切割球，当距离很小之时得到很多“小圆片”，“小圆片”的体积的体积之和正好是球的体积，由于“小圆片”近似于圆柱形状，所以它的体积也近似于圆柱形状，所以它的体积有也近似于相应的圆柱和体积，因此求球的体积可以按“分割——求和——化为准确和”的方法来进行。 步骤: 第一步:分割 如图:把半球的垂直于底面的半径,,作n等分，过这些等分点，用 一组平行于底面的平面把半球切割成n个“小圆片”，“小圆片”厚度近似 R为，底面是“小圆片”的底面。 n 如图: 3RRi,1,22V,,r,,[1,()]　　(i,1、,？？n)得, iinnn 第二步:求和 11(1,)(2,)3nn,,v，v，v，？，v,,R[1,] 123n半球6 第三步:化为准确的和 1 当n??时， ?0 (同学们讨论得出) n 122，33R(1)R,,,,,,所以 半球6343R得到定理:半径是,的球的体积 ,,,球3 3练习:一种空心钢球的质量是142g,外径是5cm,求它的内径(钢的密度是7.9g/cm) 2(球的表面积: 球的表面积是球的表面大小的度量,它也是球半径R的函数,由于球面是不可展的曲面,所以不能像推导圆柱、圆锥的表面积公式那样推导球的表面积公式,所以仍然用“分割、求近似和，再由近似和转化为准确和”方法推导。 思考:推导过程是以什么量作为等量变换的, 2 半径为R的球的表面积为 ,,,πR 练习:长方体的一个顶点上三条棱长分别为3、4、5，是它的八个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是 。 (50元) (三) 典例 课本P 例4和P例5 4729 (四) 巩固深化、反馈矫正 ?正方形的内切球和外接球的体积的比为 ，表面积比为 。 33:1 (答案: ; 3 :1) 22?在球心同侧有相距9cm的两个平行截面，它们的面积分别为49πcm和400πcm，求球的表面积。 2(答案:2500πcm) 分析:可画出球的轴截面，利用球的截面性 质求球的半径 (五) 课堂小结 本节课主要学习了球的体积和球的表面积公式的推导，以及利用公式解决相关的球的问题，了解了推导中的“分割、求近似和，再由近似和转化为准确和”的解题方法。 (六) 设计 作业 P 练习1、3 ，B(1) 30