【埃博拉病毒传播】数学建模讲述

【埃博拉病毒传播】数学建模讲述 安康学院第七届数学建模竞赛 承 诺 书 我们仔细阅读了安康学院数学建模竞赛的竞赛规则. 我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式(包括电话、电子邮件、网上咨询等)与队外的任何人(包括指导教师)研究、讨论与赛有关的问题。 我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料(包括网上查到的资料)，必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。 我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。 我们参赛选择的题号是(从A/B中选择一项填写): B 我们的参赛报名号为(如果赛区设置报名号的话): 所属院系(请填写完整的全名): 教育科学系 参赛队员 (打印并签名) :1. 吴婷婷 2012110015 2. 胡园园 2012110028 3. 马小梅 2012110038 指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名): 日期: 2015 年 5 月 8 日 埃博拉病毒传播问题 摘要: 埃博拉病毒病( EVD) 是严重的、往往致命的人类疾病，病死率高达90%( 埃博拉病毒病疫情主要发生在中非和西非靠近热带雨林的边远村庄( 该病毒通过野生动物传到人，并且通过人际间传播在人群中蔓延( 病情严重的患者需要获得重症支持治疗，无论对人还是对动物都无可用的已获正式许可的特异性治疗办法或者疫苗( 由于缺乏有效的治疗手段和人用疫苗，提高对感染埃博拉危险因素的认识以及个人可以采取一些保护，这是 减少人类感染和死亡的唯一方法( 本文建立一个埃博拉病毒的数学模型，对疫情进行实证; 并且对疫情的发展也做了一个预测( 关键词: 埃博拉病毒; 数学模型; 实证分析; 预测 一、问题重述 埃博拉病毒(又译作伊波拉病毒)于1976年在苏丹南部和刚果的埃博拉河地区被发现后，引起了医学界的广泛关注和重视。埃博拉病毒有传染性，主要是通过病人的血液、唾液、汗水和分泌物等途径传播。各种非人类灵长类动物普遍易感，经肠道、非胃肠道或鼻内途径均可造成感染，病毒的潜伏期通常只有5天至10天，感染后2,5天出现高热，6,9天死亡。发病后1,4天直至死亡，血液都含有病毒。当前主流的认知是，埃博拉病毒主要通过接触传播，而非通过空气传播;只有病人在出现埃博拉症状以后才具有传染性。在疾病的早期阶段，埃博拉病毒可能不具有高度的传染性，在此期间接触病人甚至可能不会受感染，随着疾病的进展，病人的因腹泻、呕吐和出血所排出的体液将具有高度的生物危险性;存在似乎天生就对埃博拉免疫的人，痊愈之后的人也会对入侵他们的那种埃博拉病毒有了免疫能力。所以属于考虑自愈型的。本题希望同学们通过数学建模的方法量化埃博拉病毒的传播规律，深刻认识该病毒的危害，并分析隔离措施的严格执行和药物治疗效果的提高等措施对控制疫情的作用。 1、仅针对猩猩群体建立病毒传播模型，根据已知数据描述并预测疫情变化，完成第80、120、200周的数据。 2、对人和猩猩的群体建立模型，综合描述并预测人和猩猩两个群体疫情的发展，完成第80、120、200周的数据。 3、从第41周开始，在实施严格控制人与猩猩的接触和将人群治愈率提高至80%两措施的情况下，对比第2问的预测结果说明措施的作用和影响。完成第45、50、55周数据。. 4、据前分析各种疫情控制措施的严格执行和药物效果的提高等措施对控制疫情的作用。 二、问题分析 由题意可知，目的是为了建立一种数学模型，分析隔离措施的严格执行和药物治疗效果的提高等措施对控制疫情的作用。问题一中，我们首先想到根据虚拟猩猩在前40周的传播情况，建立了一个猩猩的发病数量和死亡数量的模型。由此推测出猩猩在第80周、第120周、第200周的潜伏群体、处于发病状态、累计自愈、累计因病死亡的预测结果;在第二个问题中，建立“虚拟种群”相互感染的疾病传播模型，综合描述人和猩猩疫情的发展，并预测接下来疫情在这两个群体中的发展情况，并预测出 “虚拟人类种群”在第80周、第120周、第200周潜伏人群、处于发病状态、隔离治疗、累计治愈、累计因病死亡的结果;在第三个问题中，提到假设在第41周，外界的专家开始介入，并立即严格控制了人类与猩猩的接触，且通过某种特效药物将隔离治疗人群的治愈率提高到了80%。预测接下来疫情在“虚拟人类种群”的发展情况，根据对比第2问的预测结果说明其作用和影响，给出“虚拟人类种群”在第45周、第50周、第55周的相关数据;在第四个问题中，依据前面的数学模型，分析各种疫情控制措施的严格执行和药物(包括防疫药物、检疫药物和治疗药物等)效果的提高等措施对控制疫情的作用。 1、问题一要求建模描述并预测病毒在猩猩种群中的传播。实际需要找到几个已 知数据类即发病个体数、自愈个体数和死亡个体数之间的关系。观察到已知 数据中发病猩猩个数、自愈猩猩个数、死亡猩猩个数随时间单调变化，所以 考察各变量从时刻t到时刻t+?t的增量，然后得到变量关于t的微分方程， 编程进行数值计算。通过已知数据验证模型的可靠性，再以此为基础进行预 测。其中，要合理处理潜伏群体和处于发病状态个体数量的关系。 2、问题二建立在问题一的基础上，将人群进行分类。考虑到猩猩感染人而人不 感染猩猩，猩猩群体的传播规律不受影响，人类患病者的感染源为患病猩猩 和患病的人，这些患病人类中一部分会被隔离治疗，隔离群体则有相对应的 治愈率和死亡率，借鉴问题一的想法，找到问题二中给定量和假设量他们之 间的关系。然后进一步建立被分类人群(易患病的人、潜伏期的人、已患病 的人、患病被隔离的人、隔离被治愈的人、自愈的人、隔离后死亡的人、未 被隔离死亡的人)的数量关系。 3、问题三中，采取隔离措施后，人的群体和猩猩的群体相互独立，即猩猩不再 将病毒传染给人类。同时，被隔离人群的治愈率提高到了80%。所以对比于 第二问，忽略患病猩猩对人的传染，同时被隔离群体的治愈率为一给定值 0.8 。可将问题二的模型修改直接利用。对措施产生的作用进行探究应从处 于发病状态个体的个数和死亡个体的个数的变化入手，考虑干预手段的大小 对疾病预防和控制的影响。 4、注意到前面模型中对患病人群的隔离率没有相应的措施，所以，问题四中应 重点分析隔离率对疫情控制的影响，可具体考察与隔离率相关的式子并进行 分析。 三、模型建立与求解 1、问题一 模型假设:在本题中，假设某地区有20万居民和3000只猩猩。人能以一定的概率接触到所有的猩猩，当接触到有传播能力的猩猩后有一定概率感染病毒，人发病之后与猩猩的接触是可以忽略; 1)动态描述: 图1是对前40周猩猩群体中个体发病、自愈、死亡数量变化趋势的折线图形描述，先纵向分析三者各自的变化趋势，可以看出:前40周，死亡个体数和自愈个体数均随周数增加，发病个体数在前6周波动，后随周数减少，前40周发病个体数和自愈个体数增加的趋势有所减缓;后横向分析，可以看出:前40周，死亡个体数和自愈个体数同时增加，具有一致性，但不确定这种一致性会保持多久，而他们与发 病个体数有相反的变化趋势。 2)而在实际情况中，猩猩的发病率和死亡率会受到种群竞争、气候条件、自然生死等各种因素的影响，仅仅考虑猩猩在前40周的发病数量和死亡数量; 3)忽略猩猩因为出病毒传播以外的其他因素的死亡数量; 模型建立: 猩猩在前40周里的发病数量和死亡数量，分析数据可以知道每周的发病数量差值分别为7、6、5、4、3;并有规律:随着发病时间的增长，发病速度在不降低;统计数量可以得到散点图如下: 从以上分析可以得出下面结论: 在不具备集体隔离和治疗能力的猩猩群体内，发病和死亡的趋势不会无限进 行下去，猩猩们的自愈能力会扭转颓势。 然后将指定周数的数据填入下表: “虚拟猩猩种群”群体数量预测结果(单位:只) 处于发病 潜伏群体 累计自愈 累计因病死亡 状态 第80周 20 21 285 553 第120周 11 12 332 676 第200周 4 4 394 763 2、问题二 混合群体中类似于猩猩群体，人的群体分为8类:易患病的人、潜伏期的人、已患病的人、患病被隔离的人、隔离被治愈的人、自愈的人、隔离后死亡的人、未被隔离死亡的人。由于人发病后与猩猩的接触可以忽略，所以只有猩猩会感染人而人不会感染猩猩。则猩猩群体病毒传播的规律不发生改变，人的感染源有患病猩猩和患病的人。由于在问题二中，模型未知量较多和前40周数据有所波动造成了模型求解的复杂，所以在使用已知数据时，将处于发病状态人数数据的前8周看做第一阶段，以后数据为第二阶段;将被隔离人数数据的前5周看做第一阶段，以后看做第二阶段;另外两组数据完整使用。这样在编程求解时初值做相应改变。 通过MATLAB软件进行数值计算，计算所得数据的图表形式如下: “虚拟人类种群”群体数量预测结果(单位:个) 处于发病累计因病死 潜伏人群 隔离治疗 累计治愈 状态 亡 25 27 20 920 2344 第80周 18 22 11 1110 2610 第120周 10 12 6 1370 3400 第200周 3、问题三 (1)预测 采取隔离措施后，人的群体和猩猩的群体相互独立，即猩猩不再将病毒传染 给人类。同时被隔离群体的治愈率为一给定值0.8即g=0.8，1-g=0.2 。 可利用修改过的问题二的模型进行预测。即可完成下表: 处于发病累计因病死 潜伏人群 隔离治疗 累计治愈 状态 亡 30 35 28 984 2566 第80周 27 30 15 1200 2788 第120周 18 15 1455 1600 3544 第200周 (2)作用和影响说明: 严格控制患病猩猩与人类的接触后，人的感染源减少了近40%，使人类处于潜伏期和发病状态的数量大幅减少;药物治疗提高治愈率至80%后，隔离治疗人 群的死亡率下降了62%，总的患病人群的死亡率下降了41%，对疫情的控制效果明显。说明干预手段的程度的大小对疾病控制的影响显著。 4、问题四: 前述数学模型中疫情控制措施有:隔离措施(切断患病猩猩与人的接触、将患病人隔离)和提高治愈率的措施。 前面实现了严格控制患病猩猩与人的接触，并将隔离人群的治愈率提高至80%，对疫情的控制效果比较明显。但患病人群的隔离率k未经改善，当提高隔离率时，处于发病状态的个体数量会减少，因病死亡人数也会减少，对控制疫情有积极效果。模型的建立帮助我们搞清楚了现有干预手段究竟有多大效果，预测表明，隔离措施的严格执行和药物治疗是控制疫情的最好手段。 (1)目前的控制: 控制:埃博拉出血热是接触式传染性疾病，故改善行为模式、穿着个人疫症 医疗防护衣物与勤加消毒是主要的预防措施。避免接触患者及带病尸体的血液与分泌物是最基本的预防方式，及早观察及诊断带病者并具备完善的疾病通报机制为达致此项的必要条件。在照顾病人时，应先将之隔离，并穿着全套保护衣物(包括:连身型防护衣、口罩、手套、保护镜)。勤加洗手也是有效的措施之一，虽说此举的可行性在一些缺乏足够食水的非洲地区很低。在最近的2014年西非疫症中，肥皂亦出现供应短缺的问题(世卫则保证会供应足够的洁手沙)。持续30-60分钟以60摄氏度或持续5分钟以100摄氏度处理的高温消毒法亦为清除埃博拉病毒的有效方式。一些诸如酒精制品、洗洁精、漂白水(次氯酸钠)及漂白粉(次氯酸钙)等的表面清洁剂在适当的浓度下，同样为有效的消毒用品。由于缺乏先进的医疗仪器及未有遵守正确的医疗防护指引，大规模的疫症爆发多出现在缺乏具足够医疗知识之医护人员的贫穷地区。传统的土葬殡仪(尤其是那些涉及清洁及触碰尸体的仪式)应被劝阻或改良。飞机机组人员亦应按照指引第一时间隔离出现埃博拉症状的乘客。 2.隔离检疫 3.预防疫苗传播系统:科学家相信，蝙蝠最有可能是埃博拉病毒属成员的天然宿 主，植物、鸟类、节肢动物亦被列入名单。 4.传播地点:西非:几内亚、利比里亚、塞拉利昂 五、模型的优缺点及改进 模型优点: 1、模型变量全面，描述和联系性强，可以将问题描述清楚并就问题给出可参考答案。 2、模型具有灵活性和适应性，如解决问题二时，取用部分数据，模型仍然成。 模型缺点: 1、变量多，模型实现时遇到了较多困难。 2、在进行函数拟合时，有较多点在函数曲线外，误差较大。 3、细节处理不到位。 模型改进: 可以先只找S和I的关系，列微分方程求解，再列E、R、D的微分方程。这样就将一个大问题转化为两个较容易的问题，相当于减少了变量个数，而且更能考虑他们之间的细节关系。 六、参考文献 【1】姜启源，谢金星，叶俊 . 数学模型(第三版)【M】. 北京:高等教育出版社，2003. 【2】周后卿，徐幼专:埃博拉病毒感染数量的一个数学模型 . 【3】杨玉华:SARS传染模型的研究及实证分析 . 书中横卧着整个过去的灵魂——卡莱尔 人的影响短暂而微弱，书的影响则广泛而深远——普希金 人离开了书，如同离开空气一样不能生活——科洛廖夫 书不仅是生活，而且是现在、过去和未来文化生活的源泉 ——库法耶夫 书籍把我们引入最美好的社会，使我们认识各个时代的伟大智者———史美尔斯 书籍便是这种改造灵魂的工具。人类所需要的，是富有启发性的养料。而阅读，则正是这种养料———雨果