欧拉公式

欧拉公式 欧拉公式是指以欧拉命名的诸多公式。其中最著名的有，复变函数中的欧拉幅角公式--将复数、指数函数与三角函数联系起来; 拓扑学中的欧拉多面体公式;初等数论中的欧拉函数公式。 此外还包括其他一些欧拉公式，比如分式公式等等 (Euler公式) 在数学历史上有很多公式都是欧拉(Leonhard Euler 公元1707-1783年)发现的，它们都叫做 欧拉公式，分散在各个数学分支之中。 分式与欧拉公式 a^r/(a-b)(a-c)+b^r/(b-c)(b-a)+c^r/(c-a)(c-b) 当r=0,1时式子的值为0 当r=2时值为1 当r=3时值为a+b+c 复变函数论与欧拉公式 e^ix=cosx+isinx，e是自然对数的底，i是虚数单位。它将三角函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位。 e^ix=cosx+isinx的证明: 因为e^x=1+x/1～+x^2/2～+x^3/3!+x^4/4!+…… cos x=1-x^2/2!+x^4/4!-x^6/6!…… sin x=x-x^3/3!+x^5/5!-x^7/7!…… 在e^x的展开式中把x换成?ix. (?i)^2=-1, (?i)^3=?i, (?i)^4=1 …… e^?ix=1?ix/1!-x^2/2!?ix^3/3!+x^4/4!…… =(1-x^2/2!+……)?i(x-x^3/3!……) 所以e^?ix=cosx?isinx 将公式里的x换成-x，得到: e^-ix=cosx-isinx，然后采用两式相加减的方法得到: sinx=(e^ix-e^-ix)/(2i)，cosx=(e^ix+e^-ix)/2.这两个也叫做欧拉公式。将e^ix=cosx+isinx中的x取作π就得到: e^iπ+1=0.这个恒等式也叫做欧拉公式，它是数学里最令人着迷的一个公式，它将数学里最重要的几个数字联系到了一起:两个超越数:自然对数的底e，圆周率 π，两个单位:虚数单位i和自然数的单位1，以及被称为人类伟大发现之一的0。数学家们它是“上帝创造的公式” 那么这个公式的证明就很简单了，利用上面的e^?ix=cosx?isinx。 那么这里的π就是x，那么 e^iπ=cosπ+isinπ =-1 那么e^iπ+1=0 这个公式实际上是前面公式的一个应用 [1] 三角形与欧拉公式 设R为三角形外接圆半径，r为内切圆半径，d为外心到内心的距离，则: d^2=R^2-2Rr 拓扑学里的欧拉公式 事实上，欧拉公式有平面与空间两个部分: 空间中的欧拉公式 V+F-E=X(P)，V是多面体P的顶点个数，F是多面体P的面数，E是多面体P的棱的条数,X(P)是多面体P的欧拉示性数。 如果P可以同胚于一个球面(可以通俗地理解为能吹胀而绷在一个球面上)，那么X(P)=2，如果P同胚于一个接有h个环柄的球面，那么X(P)=2-2h。 X(P)叫做P的欧拉示性数，是拓扑不变量，就是无论再怎么经过拓扑变形也不会改变的量，是拓扑学研究的范围。 在多面体中的运用: 简单多面体的顶点数V、面数F及棱数E间有关系 V+F-E=2 这个公式叫欧拉公式。公式描述了简单多面体顶点数、面数、棱数特有的规律。 平面上的欧拉公式 V+F-E=X(P),其中V是图形P的定点个数，F是图形P内的区域数，E是图形的边数。 在非简单多面体中，欧位公式的形式为: V-E+F-H=2(C-G) 其中H指的是平面上不完整的个数，而C指的是独立的多面体的个数，G指的是多面体被贯穿的个数。 初等数论与欧拉公式 欧拉φ函数:φ(n)是所有小于n的正整数里，和n互素的整数的个数。n是一个正整数。 欧拉证明了下面这个式子: 如果n的标准素因子分解式是p1^a1*p2^a2*……*pm^am，其中众pj(j=1,2,……,m)都是素数，而且两两不等。则有 φ(n)=n(1-1/p1)(1-1/p2)……(1-1/pm) 利用容斥原理可以证明它。 物理学与欧拉公式 众所周知，生活中处处存在着摩擦力，欧拉测算出了摩擦力与绳索缠绕在桩上圈数之间的关系。现将欧拉这个颇有价值的公式列在这里: F=fe^ka 其中，f表示我们施加的力，F表示与其对抗的力，e为自然对数的底，k表示绳与桩之间的摩擦系数，a表示缠绕转角，即绳索缠绕形成的弧长与弧半径之比。 此外还有很多著名定理都以欧拉的名字命名。