2016届河北南宫中学高三5月第三次模拟考试(石家庄二模)数学(理)试题

河北南宫中学2016届高三5月第三次模拟考试（石家庄二模） 数学（理）试 本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟。 第I卷（选择题  共60分） 注意事项： 1. 答第I卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。 2. 每题选出答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，在改涂在其他答案标号。 一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.设集合A={x|x<2}，集合B={x|y=}，则= A.{x|x≤2}          B.{x|x<2}        C.{x|x≤3}        D.{x|x<3} 2.设i是虚数单位，复数为纯虚数，则实数a的值为 A.1          B. -1        C.        D.-2 3. 设函数=sinx-x，则 A.既是奇函数又是减函数          B.既是奇函数又是增函数        C.是增函数且有零点            D.是减函数且没有零点 4. 命题p：；命题q：在中，若sinA>sinB，则A>B。   下列命题为真命题的是 A.p          B.        C.        D. 5．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 A.          B.        C.        D.1 6.已知=则的值为 A.2          B. 3        C. 4        D.16 7.若实数x，y满足，则z=2x-y的最小值为 A.-18          B.-4        C.4        D.-2 8. 运行下面的程序框图，输出的结果是 A.7          B.6        C.-5        D.-4 9.若等比数列的各项均为正数，且=2（e为自然对数的底数），则= A.20          B.30        C.40        D.50 10. 已知P是所在平面内一点，,现将一粒豆（大小忽略不计）随机撒在内，则此豆落在内的概率是 A.          B.        C.         D. 11. 如图，已知平面，，A,B是直线l上两点，C,D是平面内的两点，且DA⊥l，CB⊥l，AD=3，AB=6，CB=6，P是平面上的一动点，且直线PD，PC与平面所成角相等，则二面角P-BC-D的余弦值的最小值是 A.         B.        C.         D. 1 12. 已知实数p>0，直线4x+3y-2p=0,与抛物线和圆从上到下的交点依次是A,B,C,D，则的值为 A.          B.        C.        D. 第II卷（非选择题  共90分） 注意事项：第II卷所有题目的答案考生需用黑色签字笔答在“数学”答题卡指定的位置。 二．填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分。） 13.已知双曲线的一条渐近线方程为，则实数m的值为      。 14.某高校安排5名大学生到4个单位实习，每名大学生去一个单位，每个单位至少安排一个大学生，则不同的安排的种数为            。（用数字作答） 15.已知函数=，若过点M（2，t）可作曲线y=的两条切线，且点M不在函数的图象上，则实数t的值为              。 16.已知数列的各项均为正整数，对于，有其中k为正整数，若存在，当n>m且为奇数时，恒为常数p，则p的值为            。 三．解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17. （本小题满分12分） 已知内角的对边分别是，且满足。 （I） 求的值； （Ⅱ）若a=3，tanA=3，求的面积。 18. （本小题满分12分） 如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD为矩形，AB=2,BC=2，点P在底面上的射影在AC上，E是AB的中点。 （I） 证明：DE⊥平面PAC； （Ⅱ）若PA=PC，且PA与面PBD所在的角的正弦值为，求二面角D-PA-B的余弦值。 19. （本小题满分12分） 为了引导居民合理用水，某市决定全面实施阶梯水价，阶梯水价原则上以住宅（一套住宅为一户）的月用水量为基准定价，具体划分如下： 从本市随机抽取了10户家庭，统计了同一月份的用水量，得到下面茎叶图： （I）先要在这10户家庭中任意选取3家，求取到第二阶梯水量的户数X的分布列与数学期望； （Ⅱ）用抽到的10户家庭作为样本估计全是的居民用水情况，从全市依次随机抽取10户，若抽到n户月用水量为二阶的可能性最大，求n的值。 20. （本小题满分12分） 已知椭圆E:的左右焦点分别为,D为该椭圆上任意一点，且的最大值为。 （I） 求椭圆E的方程； （Ⅱ）已知椭圆的上顶点为A（0,1），动直线l：y=kx+m(m≠1)与椭圆E交于不同的两点B,C且AB⊥AC，过A作AB⊥l于点H，求动点H的轨迹方程。 21．（本小题满分12分） 设函数=，e为自然对数的底数。 （I） 当k=1时，函数y=在点（1，）处的切线为l，证明：除切点（1，）外，函数的图象恒在切线l的上方； （Ⅱ）当k=2时，设A,B,C是函数，x∈（2，+∞）图象上三个不同的点，求证：是钝角三角形。 请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。答题时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑。 22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲 如图，Rt内接于⊙O，∠C=，弦BF交线段AC于E，E为AC的中点，在点A处作圆的切线与线段OE的延长线交于D，连接DF。 （I）求证：DE·EO=FE·EB； （Ⅱ）若∠CBE=，⊙O的半径r为，求切线AD的长。 23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与方程 在极坐标系中，曲线的极坐标方程为，以极点O为坐标原点，极轴为x轴的非负半轴建立平面直角坐标系，曲线的参数方程为（为参数） （I） 求曲线的直角坐标方程； （Ⅱ）若时，曲线上对应点记为P，过点P作的切线与曲线相交于A,B两点，求线段AB的中点M与点P之间的距离。 24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知实数a>0,b>0函数=的最大值为3. （I） 求a+b的值； （Ⅱ）设函数=，若对于均有，求a的取值范围。 2016年石家庄市第二次模拟考试试题答案         （数学理科） 一、选择题 1-5 BAACB    6-10CABBA    11-12CC 二、填空题 13.                              14.      240 15.      -6                      16.      1或9 三、解答题 17.（I）由正弦定理可得：       …………………1分 ，  -------------------------3分 即   故．                      -------------------------5分 （II）（法一）由，得, 即, 将代入得：，-------------------------7分 解得或， 根据得同正， 所以,. …………………8分                    则，可得 代入正弦定理可得，，………………10分 所以.-------------------------12分 （法二）由得 , 即, 将代入得：，-------------------------7分 解得或，根据得同正， 所以,．………………8分                    又因为，所以， ．          -------------------------10分 ．-------------------------12分 18.     解析：（1）在矩形中，，且是的中点， ∴∠=∠,……………1分 ∴∠=∠, ∵∠∠,∴∠∠,即⊥.…………3分 由题可知面面，且交线为，∴面.∴…………5分 (2) 解法一：令与交于点，∵,且是的中点，∴. ∵面面，∴面. 取中点,连接,因为底面为矩形，所以. 建立如右图所示的空间直角坐标系： ……………6分 设的法向量为，, 由,  ∴的法向量为 由…………8分 设平面的法向量为， 由   设平面的法向量为， 由 ……………………………10分   ∴二面角的余弦值为    ……………12分 解法二：令与交于点，过点作于点，连结， ∵,且是的中点，∴. ∵面面，∴面. ∴，∵，∴面. ∴∠为与面所成的角. …………………7分 ∴∠，∵， ∴.……………8分 取的中点，连结.∵,∴ 在中，，，∴,即 ∵分别是的中点，∴∥,∴. 所以∠是二面角的平面角. ……………10分 在中，∵,,.∴∠ ∴二面角的余弦值为……………12分 19.解：（1）由茎叶图可知抽取的10户中用水量为一阶的有2户，二阶的有6户， 三阶的有2户。 第二阶梯水量的户数X的可能取值为0,1,2,3        ………………1分               所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P ………………………5分 EX=  ……………………………6分 (2)设Y为从全市抽取的10户中用水量为二阶的家庭户数，依题意得Y～B, 所以，其中………………8分 设  …………………10分 若，则，； 若，则，。 所以当或，可能最大， 所以的取值为6。………………12分 20.解析：（1），………2分 因为，所以当时，得最大值.………………………………3分 所以,故离心率………………………………4分 （2）由题意知，可得椭圆方程为：， 设 由，得， ，    ……………………………6分 由得： 即，……………………………8分 将韦达定理代入化简可得：……………………………10分 所以直线的方程为：，即直线恒过定点 由⊥可知，点的轨迹为以为直径的圆，圆心，半径为 故动点的轨迹方程为……………………………12分 21. 解析：（Ⅰ）当时，，， 所以在处的切线方程是………………………2分 所证问题等价于…………………………3分 即 当时， 当时 命题得证！…………………………5分 （Ⅱ）当时，， ……………………6分 因为 即函数在单调递增………………………8分 设 ， ∴．∵ ∴ ．    10分 ∵ ∴为钝角. 故△为钝角三角形．…………12分 (注意：利用图象说明，需画图准确，说明充分,可给四分；只画图，不说明，给2分) 选做题 22．（I）证明：在中，弦相交于E， ， 又E为AC的中点，所以，-------------------------2分 又因为,， 根据射影定理可得,-------------------------4分 ，  　------------------------5分 （II）因为为直径，所以， 又因为，所以为等腰直角三角形． ………………6分 ，根据勾股定理得，解得，-------------------------8分 所以，由（I）得所以， 所以．      ------------------------10分 23解：（I）由， 得，………………2分 曲线的直角坐标方程为，    　-----------------------------------4分 （II）将代入 得，由题意可知切线AB的倾斜角为，    --------------------------6分 设切线AB的参数方程为（为参数）， 代入得：，  即，          --------------------------8分 设方程的两根为和可得：， 所以--------------------------10分 24解：（I） ，--------------------------2分 所以的最大值为， ,--------------------------4分 （II）当时， ，    --------------------------6分 对于，使得等价于，成立， 的对称轴为， 在为减函数， 的最大值为，--------------------------8分 ，即，解得或， 又因为，所以．--------------------------10分