高中数学定积分知识点总结

高中数学定积分总结 篇一:高中数学定积分知识点 数学选修2-2知识点总结 一、导数 1(函数的平均变化率为 f(x2)?f(x1)f(x1??x)?f(x1)?y?f ?? ??x?xx2?x1?x 注1:其中?x是自变量的改变量，可正，可负，可零。 注2:函数的平均变化率可以看作是物体运动的平均速度。 2、导函数的概念:函数y?f(x)在x?x0处的瞬时变化率是lim f(x0??x)?f(x0)?y ，则?lim ?x?0?x?x?0?x 称函数y?f(x)在点x0处可导，并把这个极限叫做y?f(x)在x0处的导数，记作f'(x0)或 y'|x?x0，即f'(x0)=lim f(x0??x)?f(x0)?y 1 . ?lim ?x?0?x?x?0?x 3.函数的平均变化率的几何意义是割线的斜率; 函数的导数的几何意义是切线的斜率。 4导数的背景(1)切线的斜率;(2)瞬时速度; 6、常见的导数和定积分运算:若f?x?，g?x?均可导(可积)，则有: 用导数求函数单调区间的步骤: ?求函数f(x)的导数f'(x) ?令f'(x)0,解不等式，得x的范围就是递增区间. ?令f'(x)<0,解不等式，得x的范围，就是递减区间; [注]:求单调区间之前一定要先看原函数的定义域。 7.求可导函数f(x)的极值的步骤: (1)确定函数的定义域。 (2) 求函数f(x)的导数f'(x) (3)求方程f'(x)=0 的根 (4) 用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格，检查f/(x)在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值;如 果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值;如果左右不改变符号，那么f(x)在这个根处无极值 8.利用导数求函数的最值的步骤:求f(x)在?a,b?上的最大 2 值与最小值的步骤如下: ?求f(x)在?a,b?上的极值; ?将f(x)的各极值与f(a),f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。[注]:实际问题的开区间唯一极值点就是所求的最值点; 9(求曲边梯形的思想和步骤 (“以直代曲”的思想) 10.定积分的性质 根据定积分的定义，不难得出定积分的如下性质: 性质1 ?1dx?b?a a ba b b b b b 性质5 若f(x)?0,x??a,b?，则?f(x)dx?0 ?推 广:?[f1(x)?f2(x)???fm(x)]dx??f1(x)dx??f2(x)dx????fm(x) a a 3 a a ?推广:?f(x)dx??f(x)dx??f(x)dx????f(x)dx a a c1 ck b c1c2 b 11定积分的取值情况:定积分的值可能取正值，也可能取负值，还可能是0. ( l )当对应的曲边梯形位于 x 轴上方时，定积分的值取正值，且等于x轴上方的图形面积; (2)当对应的曲边梯形位于 x 轴下方时，定积分的值取负值，且等于x轴上方图形面积的相反数; (3)当位于 x 轴上方的曲边梯形面积等于位于 x 轴下方的曲边梯形面积时，定积分的值为0，且等于x 轴 上方图形的面积减去下方的图形的面积( 12(物理中常用的微积分知识(1)速度的导数为加速度。(2)力的积分为功。 4 二、推理与证明知识点 13.归纳推理的定义: 从个别事实中推演出一般性的结论，像这样的推理通常称为归纳推理。 (((((((归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理。 14.归纳推理的思维过程大致如图: 15.归纳推理的特点: ?归纳推理的前提是几个已知的特殊现象，归纳所得的结论是尚属未知的一般现象。 ?由归纳推理得到的结论具有猜测的性质，结论是否真实，还需经过逻辑证明和实验检验，因此，它不能作为数学证明的工具。 ?归纳推理是一种具有创造性的推理，通过归纳推理的猜想，可以作为进一步研究的起点，帮助人们发现问题和提出问题。 16.类比推理的定义: 根据两个(或两类)对象之间在某些方面的相似或相同，推演出它们在其他方面也相似或相同，这样的推理称为类比推理。类比推理是由特殊到特殊的推理。 17.类比推理的思维过程 18.演绎推理的定义: 演绎推理是根据已有的事实和正确的结论(包括定义、公理、定理等)按照严格的逻辑法则得到新结论的推理过程。 5 演绎推理是由一般到特殊的推理。 19(演绎推理的主要形式:三段论 20.“三段论”可以表示为:?大前题:M是P?小前提:S是M ?结论:S是P。 其中?是大前提，它提供了一个一般性的原理;?是小前提，它指出了一个特殊对象;?是结论，它是根据一般性原理，对特殊情况做出的判断。 21.直接证明是从命题的条件或结论出发，根据已知的定义、公理、定理，直接推证结论的真实性。直接证明包括综合法和法。 22.综合法就是“由因导果”，从已知条件出发，不断用必要条件代替前面的条件，直至推出要证的结论。 23.分析法就是从所要证明的结论出发，不断地用充分条件替换前面的条件或者一定成立的式子，可称为“由果索因”。 要注意叙述的形式:要证A，只要证B，B应是A成立的充分条件. 分析法和综合法常结合使用，不要将它们割裂开。 24反证法:是指从否定的结论出发，经过逻辑推理，导出矛盾，证实结论的否定是错误的，从而肯定原结论是正确的证明方法。 25.反证法的一般步骤 (1)假设命题结论不成立，即假设结论的反面成立; (2)从假设出发，经过推理论证，得出矛盾; (3)从矛盾判定 6 假设不正确，即所求证命题正确。 26 27.反证法的思维方法:正难则反 (((( 28.归缪矛盾 (1)与已知条件矛盾: (2)与已有公理、定理、定义矛盾; (3)自相矛盾( 29有关的数学命题)的步骤 ? nn?N(1)证明:当n??时命题成立; 00(2)假设当n=k (k?N*，且k?n0)时命题成立，证明当时命题也成立. 由(1)，(2)可知，命题对于从n0开始的所有正整数n都正确 注]:常用于证明不完全归纳法推测所得命题的正确性的证明。 三、数系的扩充和复数的概念知识点 30.复数的概念:形如a+bi的数叫做复数，其中i叫虚数单位，a叫实部， b叫虚部，数(((( 集C??a?bi|a,b?R?叫做复数集。 规定:a?bi?c?di?a=c且， 强调:两复数不能比较大小，只有相等或不相等。 ?实数 (b?0)? 31(数集的关系:复数Z???一般虚数(a?0) 虚数 ()?? ??纯虚数(a?0)? 32.复数的几何意义:复数与平面内的点或有序实数对一一对应。 7 33.复平面:根据复数相等的定义，任何一个复数z?a?bi，都可以由一个有序实数对(a,b)唯一确定。 由于有序实数对(a,b)与平面直角坐标系中的点一一对应，因此复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应。这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面， 篇二:高中数学人教版选修2-2导数及其应用(定积分)知识点总结 数学选修2-2导数及其应用(定积分)知识点必记 1(函数的平均变化率是什么, 答:平均变化率为 f(x2)?f(x1)f(x1??x)?f(x1)?y?f ?? ??x?xx2?x1?x 注1:其中?x是自变量的改变量，可正，可负，可零。 注2:函数的平均变化率可以看作是物体运动的平均速度。 2、导函数的概念是什么, 答:函数y?f(x)在x?x0处的瞬时变化率是lim f(x0??x)?f(x0)?y ，则称?lim ?x?0?x?x?0?x 函数y?f(x)在点x0处可导，并把这个极限叫做y?f(x)在x0处的导数，记作f'(x0)或y'|x?x0，即f'(x0)=lim 8 f(x0??x)?f(x0)?y . ?lim ?x?0?x?x?0?x 3.平均变化率和导数的几何意义是什么, 答:函数的平均变化率的几何意义是割线的斜率;函数的导数的几何意义是切线的斜率。 4导数的背景是什么, 答:(1)切线的斜率;(2)瞬时速度;(3)边际成本。 答:若f?x?，g?x?均可导(可积)，则有: 答:?求函数f(x)的导数f'(x) ?令f'(x)0,解不等式，得x的范围就是递增区间. ?令f'(x)<0,解不等式，得x的范围，就是递减区间; 注:求单调区间之前一定要先看原函数的定义域。 7.求可导函数f(x)的极值的步骤是什么, 答:(1)确定函数的定义域。(2) 求函数f(x)的导数f'(x) (3)求方程f'(x)=0的根 (4) 用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格，检查f/(x)在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值;如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值;如果左右不改变符号，那么f(x)在这个根处无极值 8.利用导数求函数的最值的步骤是什么, 9 答:求f(x)在?a,b?上的最大值与最小值的步骤如下: ?求f(x)在?a,b?上的极值; ?将f(x)的各极值与f(a),f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。 注:实际问题的开区间唯一极值点就是所求的最值点; 9(求曲边梯形的思想和步骤是什么, (“以直代曲”的思想) 10.定积分的性质有哪些, 根据定积分的定义，不难得出定积分的如下性质: 性质1 ?1dx?b?a a ba b b 性质5 若f(x)?0,x??a,b?，则?f(x)dx?0 ?推广:?[f1(x)?f2(x)? a ?fm(x)]dx??f1(x)dx??f2(x)dx? a a bb ??fm(x) 10 a b ?推广:?f(x)dx??f(x)dx??f(x)dx? a a c1 b c1c2 ??f(x)dx ck b 11定积分的取值情况有哪几种, 答:定积分的值可能取正值，也可能取负值，还可能是0. ( l )当对应的曲边梯形位于 x 轴上方时，定 积分的值取正值，且等于x轴上方的图形面积; (2)当对应的曲边梯形位于 x 轴下方时，定积分的值取负值，且等于x轴上方图形面积的相反数; (3)当位于 x 轴上方的曲边梯形面积等于位于 x 轴下方的曲边梯形面积时，定积分的值为，且等于面积( 12(物理中常用的微积分知识有哪些, 答:(1)位移的导数为速度，速度的导数为加速度。 (2)力的积分为功。 11 篇三:高中数学导数与积分知识点 高中数学—导数、定积分 一(课标要求: 1(导数及其应用 (1)导数概念及其几何意义 ? 通过对大量实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵; ?通过函数图像直观地理解导数的几何意义。 (2)导数的运算 23 ? 能根据导数定义求函数y=c，y=x，y=x，y=x，y=1/x，y=x 的导数; ? 能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数(仅限于形如f(ax+b))的导数; ? 会使用导数公式表。 (3)导数在研究函数中的应用 ? 结合实例，借助几何直观探索并了解函数的单调性与导数的关系;能利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间; ? 结合函数的图像，了解函数在某点取得极值的必要条 12 件和充分条件;会用导数求不超过三次的多项式函数的极大值、极小值，以及闭区间上不超过三次的多项式函数最大值、最小值;体会导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性。 (4)生活中的优化问题举例 例如，使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题，体会导数在解决实际问题中的作用。 (5)定积分与微积分基本定理 ? 通过实例(如求曲边梯形的面积、变力做功等)，从问题情境中了解定积分的实际背景;借助几何直观体会定积分的基本思想，初步了解定积分的概念; ? 通过实例(如变速运动物体在某段时间内的速度与路程的关系)，直观了解微积分基本定理的含义。 (6)数学文化 收集有关微积分创立的时代背景和有关人物的资料，并进行交流;体会微积分的建立在人类文化发展中的意义和价值。具体要求见本《》中数学文化的要求。 二(命题走向 导数是高中数学中重要的内容，是解决实际问题的强有力的数学工具，运用导数的有关知识，研究函数的性质:单调性、极值和最值是高考的热点问题。在高考中考察形式多种多样，以选择题、填空题等主观题目的形式考察基本概念、 13 运算及导数的应用，也经常以解答题形式和其它数学知识结合起来，综合考察利用导数研究函数的单调性、极值、最值. 三(要点精讲 1(导数的概念 函数y=f(x),如果自变量x在x0处有增量?x，那么函数y相应地有增量?y=f(x0+?x),f(x0)，比值 ?y 叫做函数y=f(x)在x0到x0+?x之间的平均变化率，即?x ?yf(x0??x)?f(x0)=。 ?x?x 如果当?x?0时， ?y 有极限，我们就说函数y=f(x)在点x0处可导，并把这个极?x 限叫做f(x)在点x0处的导数，记作f’(x0)或y’|x?x0。 即f(x0)=lim说明: ?x?0 f(x0??x)?f(x0)?y =lim。 ?x?x?0?x ?y?y 有极限。如果不存在极?x?x (1)函数f(x)在点x0处可导，是指?x?0时，限，就说函数在点x0处不可导，或说无导数。 14 (2)?x是自变量x在x0处的改变量，?x?0时，而?y是函数值的改变量，可以是零。 由导数的定义可知，求函数y=f(x)在点x0处的导数的步骤(可由学生来归纳): (1)求函数的增量?y=f(x0+?x),f(x0); (2)求平均变化率 ?yf(x0??x)?f(x0) =; ?x?x (3)取极限，得导数f’(x0)=lim2(导数的几何意义 ?y 。 ?x?0?x 函数y=f(x)在点x0处的导数的几何意义是曲线y=f(x)在点p(x0，f(x0)) 处的切线的斜率。也就是说，曲线y=f(x)在点p(x0，f(x0))处的切线的斜率是f’(x0)。相应地，切线方程为y,y0=f(x0)(x,x0)。 3(常见函数的导出公式( (,)(C)??0(C为常数) (,)(x)??n?x n n?1 / (,)(sinx)??cosx (,)(cosx)???sinx 4(两个函数的和、差、积的求导法则 15 法则1:两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差)， 即: (u?v)?u?v. 法则2:两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个 函数乘以第二个函数的导数，即:(uv)?uv?uv. 若C为常数,则(Cu)?Cu?Cu?0?Cu?Cu.即常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数: (Cu)?Cu. 法则3两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积， ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' 16 再除以分母的平方:??‘= ?u??v? u'v?uv' (v?0)。 2 v 形如y=f??(x)?的函数称为复合函数。复合函数求导步骤:分解——求导——回代。法则:y,|X= y,|U ?u,|X 5(导数的应用 (1)一般地，设函数y?f(x)在某个区间可导，如果f'(x)?0，则f(x)为增函数;如果f'(x)?0，则f(x)为减函数;如果在某区间内恒有f'(x)?0，则f(x)为常数; (2)曲线在极值点处切线的斜率为0，极值点处的导数为0;曲线在极大值点左侧切线的斜率为正，右侧为负;曲线在极小值点左侧切线的斜率为负，右侧为正; (3)一般地，在区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值。?求函数?(x)在(a，b)内的极值; ?求函数?(x)在区间端点的值?(a)、?(b); ?将函数? (x)的各极值与?(a)、?(b)比较，其中最大的是最大值，其中最小的是最小值。 6(定积分 (1)概念 设函数f(x)在区间[a，b]上连续，用分点a,x0<x1<?<xi,1<xi<?xn,b把区间[a，b]等分 17 成n个小区间，在每个小区间[xi,1，xi]上取任一点ξ(2，?n) 作和式In,ii,1， ?f(ξ i,1 n i )?x(其中?x为小区间长度)，把n??即?x?0时，和式 In的极限叫做函数f(x)在区间 [a，b]上的定积分，记作: ? b a f(x)dx，即?f(x)dx,lim?f(ξi)?x。 a n?? i?1 b n 这里，a与b分别叫做积分下限与积分上限，区间[a，b] 叫做积分区间，函数f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量， f(x)dx叫做被积式。 m 18 基本的积分公式:0dx,C;xdx, ?? 11 xm?1，C(m?Q， m?,1);?dx,lnxm?1x ax ，C;?edx,e，C;?adx,，C;?cosxdx,sinx， C;?sinxdx,,cosx，C lna x xx (表中C均为常数)。 (2)定积分的性质 ?? ? b ab kf(x)dx?k?f(x)dx(k为常数); a b ? a f(x)?g(x)dx??f(x)dx??g(x)dx; 19 a a bb ? ? b a f(x)dx??f(x)dx??f(x)dx(其中a,c,b)。 a c cb (3)定积分求曲边梯形面积 由三条直线x,a，x,b(a<b)，x轴及一条曲线y,f (x)(f(x)?0)围成的曲边梯的面积S? ? b a f(x)dx。 如果图形由曲线y1,f1(x)，y2,f2(x)(不妨设 f1(x)?f2(x)?0)，及直线x,a，x,b(a<b)围成，那么所 求图形的面积 S,S曲边梯形AMNB,S曲边梯形DMNC, 20 四(典例解析 题型1:导数的概念 例1(已知s= ? b a f1(x)dx??f2(x)dx。 a b 12gt，(1)计算t从3秒到3.1秒 、3.001秒 、 3.0001 秒?.各段内2 平均速度;(2)求t=3秒是瞬时速度。 解析:(1)?3,3.1?,?t?3.1?3?0.1,?t指时间改变量; ?s?s(3.1)?s(3)? v? 11 g3.12?g32?0.3059.?s指时间改变量。 22 ?s0.3059 ??3.059。 ?t1 其余各段时间内的平均速度，事先刻在光盘上，待学生回答完第一时间内的平均速度后， 即用多媒体出示，让学生思考在各段时间内的平均速度的变化情况。 21 ?s?t?s (2)从(1)可见某段时间内的平均速度随变化而变化，?t 越小，越接近 ?t?t 于一个定值，由极限定义可知，这个值就是?t?0时， ?s 的极限， ?t V=lim ?x?0 ?t =lim ?x?0 11(3??t)2?g322g2s(3??t)?s(3) ?lim ?x?0?t?t 1 glim(6+?t)=3g=29.4(米/秒)。 2?x?0 4 例2(求函数y=2的导数。 x = 解析:?y? 444?x(2x??x) 22 ???， 2222 (x??x)xx(x??x) ?y2x??x ??4?2， 2?xx(x??x) ?lim ??y82x??x??lim??4?2=-。 32??x?0?x?x?0x(x??x)?x? 点评:掌握切的斜率、 瞬时速度，它门都是一种特殊的 极限，为学习导数的定义奠定 基础。 题型2:导数的基本运算 例3((1)求y?x(x?(2)求y?(x?1)( 2 11 ?)的导数; xx3 1x ?1)的导数; (3)求y?x?sin xx cos的导数; 22 x2 (4)求y=的导数; 23 sinx (5)求y, 3x2?xx?5x?9 x 3 的导数。 解析:(1)?y?x?1? 12'2 ?y?3x?. ,(转载于:www.XltkWJ.Com 小 龙文档 网:高中 数学定积分知识点总结)x2x3 (2)先化简,y? 1 x? 3 1x ?x? 1x ?1??x?x 1 2 ? 12 24 1?1??1?1? ?y??x2?x2??1??. 222x?x? ' (3)先使用三角公式进行化简. xx1 y?x?sincos?x?sinx 222 111?? ?y'??x?sinx??x'?(sinx)'?1?cosx. 222?? (x2)'sinx?x2*(sinx)'2xsinx?x2cosx (4)y’==; 22 sinxsinx (5)?y,3x,x，,,9x 32 ' 32 ? 12 12 1 25 3 ?3212 xxy’,,*(x),,x,，,,,,),,,*,,，,,,*(,),?(x 22 91 x(1?2)?1。 2x 点评:(1)求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，这 26