等比数列求和

等比数列求和 《等比数列求和》情境—问题教学案例 发布者:[合肥九中] 来源:[本站] 浏览:[151] 评论:[0] 东阳中学 陈立明 摘要:本文以西部环境问题创设问题情境，激发学生“自我创造”的动力，按提出问题、辨析问题、探索解决、总结归纳、发散延伸、升华体验的教学程序开展教学，体现了提取表征、策划回顾、执行解决、控制反思四个基本教学过程，将学生思维溶入到问题解决的全过程中，实现了“个体的创新”。同时在实际问题的浓浓生活气息中，培养了学生的应用意识，渗透了数学建模的思想。 关键词:等比数列、案例、情境—问题教学、问题解决、问题表征、 在数列教学中，等比数列求和的推导是难点。该公式的推导方法学生不易理解，但是其求和的方法、思路在后面一般数列求和里面有着非常重要的作用。本案例试着利用问题教学的模式让学生自己去探索、发现。 1、 案例 1.1问题提出、诱发思考 师:西部地区的环境问题正引起越来越广泛的关注，其中一个重要的举措即是退耕还林。王师傅是当地一名热心群众，退休后，他决心用一个月的时间做下面的事:第一天，他自已种一棵树;第二天，他发动两个人和他一起每人种一棵树;第三天，这三个人每人再发动两个人加入他们的行列，每人种一棵树。如此继续，持续了一个月(30天计)。请问他们能让多少耕地还林,对此我们需要考虑哪些问题, 生:这就是森林覆盖的面积问题。我们要求出30天种树的总量，以及相邻两树之间的距离(既树的种法)。 师:这是一个实际问题，为了简便起见，我们假设任何相邻两树间的距离都是0.5米。因此剩下的问题即是求树的总数，大家可以尝试着做一下。 (学生动手求解，求解中允许与周围同学讨论，几分钟后) 1.2问题辨析、唤起回忆 师:有同学求出来了吗, 生:我发现他们第一天1人种树，每人一棵，共种1棵;第二天3人种树，每人一棵，共种3棵;第三天9人种树，每人一棵，共种9棵;第四天27人种树，每人一棵，共种27棵;依次类推。他们每天种的树构成一个以1为首项，3为公比的等比数列。所以 (1)。但我算不出来。 师?:不错。当数列项数比较多时，那么一项一项累加就比较繁琐，为了又快又巧地解决这个问题。高斯曾经有一个办法:就是整体乘以2，再两两配对，使得每一对都相同，整体求和就非常简单了(我们上节课曾经学过)。 生:老师，这个方法我们试过了， 但是下面就没有办法了。因为括号里的不是全部相等。 1.3探索解决、分组尝试 师?:非常好，你刚才分析本题的困难是因为项数太多，那我们为了解决困难只有想办法抵消一些项，使之转化为只有几项相加减的情况。而我们学过的高斯方法没有办法解决这个问题。所以解决问题的关键是寻找新的方法消去中间过多的项。同学们能否象高斯一样聪明，想出新方法, 这里老师做一点提醒:上面的植树总数S可以看作是天数的函数，比如S30表示30天时的函数值，S29就表示29天时的函数值。那如何消掉中间项呢?请看一下前后之间的项的关系? (教师在巡视中可以发现，教师的提示起到了重要的作用，学生求解过程中有如下:) 组1:先把S30算式中间的项写出来，即 ，并提取公因子3后写成: ，发现括号里即为S28，所以便有: 。做到这一步，学生发现要求S30，却出现了S28，于是有用S30替换S28的，也有用S28替换S30的，最终求得 。 组2:把(1)式作如下处理: 。然后用类似组1的方法求出S30。 组3:(1)×3: (2); (1)—(2)得 ，求得 。这即是教材的求法。) (教师让每组学生派代表对各自的求解思路作汇报后，作出总结。) 1.4总结归纳、命题推广 师?:从三组学生对这个问题的求解过程来看，前n项求和的本质都是为了消去中间过多的项，大家也可以从等差数列求和中得到类似的体会。但你们刚才的求和方法是否适合所有等比数列前n项求和的问题呢,比如 是以 为首项，q为公比的一个等比数列，每小组用你们自己的方法试一下。 (组1: 又得到 组2: 即 组3: 组4:受方组3的启发,从第二项开始提取一个 , 再应用公式 (各小组均未注意到 的情形，所以教师要作重点强调，并总结出等比数列求和公式 1.5发散延伸、数学建模 师:现回到先前的问题，现在我们已经求出他们种了 棵树，怎么来求面积呢,就把这个问题留作课外讨论。 (从学生课外解决该问题的处理方式来看主要有3类: 模型1:假设他们种树的区域是矩形，并划分成若干个小正方形，并把树种在小正方形的顶点上，如图(1)所示。现设每行种树 棵，共 行，于是由题意应该有 ，从而种植面积为 。由于这已超过高一学生的知识范围，因此没能解决问题。 (图1) (图2) (图3) 模型2:是对模型1的改进，他们不再把种在小正方形的顶点上，而种在正方形的中心，如图(2)所示，并发现一棵树木对应一个小正方形，与小正方形在哪没有关系，于是就可以去掉模型1中对种植区域为矩形的假设。最终求得 。 模型3:假设每棵树占地面积为以该树为圆心，相邻两树距离的为半径的圆的面积，如图(3)所示，因此 。 1.6模型、升华体验 教师在点评这三个模型时把握二点: 第一，比较三类模型的优劣。模型1显然不能解决问题，这其中存在两个假设:存在 ，使 ;王师傅他们种植的区域是矩形。即使如此，这一模型也不能求出S的确定值。模型2的初衷是为了去掉模型1前一个假设，做到中途才发觉假设2也可变弱。但毕竟这一模型是由模型1发展而来的，因此它的种植区域仍然是矩形或矩形割去若干小矩形后剩下的部分。模型3把树占地面积看作是一个圆的面积，有两个优点:其一是这样处理更接近实际;其二对种植区域的限制更小，可以是曲边形。但是该模型有个缺点:圆与圆的间隙没有考虑，而我们现实生活中绝对的精确是不可能的，我们只能追求相对精确。随着同学们学习的深入，会有更精确的方法。 第二，按照模型3的算法，得到具体的面积数，再与当地城市的面积进行对比，让学生明白，西部环境改善不是不可能的，只要人人都付出一份力，世界将充满绿色。这也是一个难得的德育机会。 2、 案例简析 2.1问题解决模式在案例中的实践 将问题拆为子问题题 计划解决特例 解决一般问题 相似问题的方法和结果 类比 过程监控 结果监控 新教材(人民教育出版社《数学》2003年版)对于此节课安排就是:先由一个实际的例子引出，再通过这个实际例子求和的方法推导，迁移出一般等比数列的求和公式。如果在教学中，对于公式只是简单的推导，再让学生记住公式，并利用公式计算，确实不难。只要将推导的方法直接告诉学生，再让学生利用大量练习进行巩固，这样也能达到一定的教学效果。可是只是这样让学生机械的、被动的去接受结果，忽略让学生自己去发现结果和探索问题的思维过程，就使学生失去了训练思维的绝好的机会。这种教学只介绍推导方法，思考问题的思路显得狭隘，限制了学生从多层次、多角度去思考的权利，也使学生建立了一个信念:“老师的任何问题都是有一个答案，提问仅仅是一个手段，渐渐的学会了消极听课——等待老师自问自答。随着这种态度的发展，问题意识日趋淡化。”(袁振国) 而在问题解决模式下的解题策略为:[1] 本案例由现实情境引入课题，由学生提出问题并指明需要解决的核心问题，让他们遭遇了实际困难。教师运用心理学家马斯洛(美国)的“成长动机说”[2]，通过提示，引导学生回忆，把火热的思维过程展现在课堂上。经过问题表征的提取，相关学习经验的回顾，激发学生“自我实现创造”的动力。再将植树的特例推广到一般情况。让他们自己去体验探索的艰辛和体会成功的愉悦。这种处理真正将学生置于教育教学的主体地位，充分发挥每个学生的创新精神和创造潜能。 这节课中学生从多个层面去思考，通过观察、分析、归纳、猜想，用多种方法去解决问题，展现了他们的能力。这对于学生来说就是一种个体创新[3]，是学生的真实成长。在该案例设计中，教师一直以一个学生的合作者的姿态出现，采用局部启发法，从三方面对学生提供了支持:(1)提取问题表征[见?](2)回顾启发[见?](3)计划与实施[见?]。符合问题解决教学模式。 2(2在课堂上促进学生应用意识的养成 新的课程标准已对学生数学应用意识作了清楚的刻画，正如[1]文中指出的:“学生的应用意识主要体现在以下2个方面。(1)面对实际问题，能主动尝试着从数学的角度运用所学知识和方法寻求解决问题的策略„„(2)认识到现实生活中蕴涵着大量的数学信息，数学在现实世界中有着广泛的应用。”[4]但目前数学教育中存在着一个较大的问题即学生应用能力、应用意识的培养与课堂教学的脱钩，认为课堂是学生学习基础知识、基本技能的主战场，因此一提起数学应用，以及作为数学应用的一个重要载体的研究性学习便想到了让学生走出校园，进入社区，着手调查。笔者以为，让学生在现实生活中体验数学对学生应用意识的养成确有巨大的影响，但不是全部。吕传汉、汪秉彝曾这样写道:“学生学习有别于人类的一般学习，它主要是掌握间接经验的过程„„不必事事从直接经验开始，而应是在教师指导下对现成知识‘再发现’。”[5]如何不出校门培养学生的应用意识,一个有效的手段即是教师创设一个有利于儿童学习活动的问题情境，让“学校数学”与“日常数学”走向融合，使学生不出校门而在问题解决中学习数学知识，逐渐树立起“学数学即是做数学”的观念。而在此过程中一个重要的思想即是模型的思想，或更为具体地说也就是数学建模，这也是笔者在案例设计时思考的又一问题。 2(3数学模型思想在课堂教学中的渗透 在此强调这一点，笔者以为有着特殊重要的意义。从数学本身的发展来看，数学往往起源于具体事物、具体经验，形成非结构性知识，但数学的发展并不终止于非结构性知识，而往往需要作进一步的抽象，最终形成具有良好结构的数学知识。这种结构的形成在一定程度上是由于数学模型的一般化，模型之间的协调。正是基于此，笔者认为，数学模型化思想(包括数学建模和数学解模的思想)的学习较数学知识本身的学习有更重要的意义和更大的发展潜力。让学生用数学模型思想看问题，用建模的方法解决问题，用解模应用于生活，即是促进了学生“数学地思维”的能力。《〈高中数学课程标准〉的框架设想》[6]也明确指出要把数学建模贯穿于各学习模块之中，并单独设立了“数学建模”的专题课程。但笔者以为，目前在中学开设“数学建模”专题课程时机尚不成熟，这首先是因为中学数学课程内容多，学时少;其次是因为学生现有能力结构不适合独立开设数学建模课程[7]。因而，与专门开设数学建模课相比，教师在日常课堂教学中渗透模型思想，以建模为平台开展日常教学就显得更为迫切。结合正常课堂教学，通过对教材呈现的知识的理性重建，在部分环节上“切入”建模的内容，尽管有时会偏离该堂课的教学目标，但对于学生能力的培养，未来的发展都有着很大的作用。 参考文献: [1]徐斌艳.数学教育展望。华东师范大学出版社P143 [2]陈柏良.运用案例开展数学探究教学，中学教研.2004.9 [3]袁振国.教育新理念P2 [4]王尚志，孔启平(培养学生的应用意识是数学课程的重要目标[J] (数学教育学报，2002，11(2):43( [5] 吕传汉，汪秉彝(再论中“数学情境与提出问题”的数学学习[J](数学教育学报，2002，11(4):74( [6]《国家高中数学课程标准》制定组(《高中数学课程标准》的框架设想[J] (课程?教材?教法，2002，4:1-7( [7] 张思明著(中学数学建模教学的实践与探索[M] (北京:北京教育出版社，1998:24(