2015届高考数学 考前三个月 必考题型过关练 第34练 双曲线的渐近线和离心率 理

第34练　双曲线的渐近线和离心率 题型一　双曲线的渐近线问题 例1　(2013·课标全国Ⅰ)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为，则C的渐近线方程为________． 破题切入点　根据双曲线的离心率求出a和b的比例关系，进而求出渐近线． 　y＝±x 解析　由e＝＝知，a＝2k，c＝k，k∈(0，＋∞)， 由b2＝c2－a2＝k2，知b＝k.所以＝. 即渐近线方程为y＝±x. 题型二　双曲线的离心率问题 例2　已知O为坐标原点，双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，以OF为直径作圆与双曲线的渐近线交于异于原点的两点A，B，若(＋)·＝0，则双曲线的离心率e为________． 破题切入点　数形结合，画出合适图形，找出a，b间的关系． 答案　 解析　如图，设OF的中点为T，由(＋)·＝0可知AT⊥OF， 又A在以OF为直径的圆上，∴A， 又A在直线y＝x上，∴a＝b，∴e＝. 题型三　双曲线的渐近线与离心率综合问题 例3　已知A(1,2)，B(－1,2)，动点P满足⊥.若双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线与动点P的轨迹没有公共点，则双曲线离心率的取值范围是________． 破题切入点　先由直接法确定点P的轨迹(为一个圆)，再由渐近线与该轨迹无公共点得到不等关系，进一步列出关于离心率e的不等式进行求解． 答案　(1,2) 解析　设P(x，y)，由题设条件， 得动点P的轨迹为(x－1)(x＋1)＋(y－2)·(y－2)＝0， 即x2＋(y－2)2＝1，它是以(0,2)为圆心，1为半径的圆． 又双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±x，即bx±ay＝0， 由题意，可得>1，即>1， 所以e＝<2， 又e>1，故11的条件，常用到数形结合． (2)在求双曲线的渐近线方程时要掌握其简易求法．由y＝±x⇔±＝0⇔－＝0，所以可以把标准方程－＝1(a>0，b>0)中的“1”用“0”替换即可得出渐近线方程．双曲线的离心率是描述双曲线“张口”大小的一个数据，由于＝＝，当e逐渐增大时，的值就逐渐增大，双曲线的“张口”就逐渐增大． 1．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)以及双曲线－＝1的渐近线将第一象限三等分，则双曲线－＝1的离心率为________． 答案　2或 解析　由题意，可知双曲线－＝1的渐近线的倾斜角为30°或60°，则＝或. 则e＝＝＝ ＝ ＝或2. 2．已知双曲线C：－＝1 (a>0，b>0)的左，右焦点分别为F1，F2，过F2作双曲线C的一条渐近线的垂线，垂足为H，若F2H的中点M在双曲线C上，则双曲线C的离心率为________． 答案　 解析　取双曲线的渐近线y＝x，则过F2与渐近线垂直的直线方程为y＝－(x－c)，可解得点H的坐标为，则F2H的中点M的坐标为，代入双曲线方程－＝1可得－＝1，整理得c2＝2a2，即可得e＝＝. 3．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线均和圆C：x2＋y2－6x＋5＝0相切，且双曲线的右焦点为圆C的圆心，则该双曲线的方程为________． 答案　－＝1 解析　∵双曲线－＝1的渐近线方程为y＝±x， 圆C的标准方程为(x－3)2＋y2＝4， ∴圆心为C(3,0)． 又渐近线方程与圆C相切， 即直线bx－ay＝0与圆C相切， ∴＝2，∴5b2＝4a2.① 又∵－＝1的右焦点F2(，0)为圆心C(3,0)， ∴a2＋b2＝9.② 由①②得a2＝5，b2＝4. ∴双曲线的标准方程为－＝1. 4．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左，右焦点分别为F1(－c,0)，F2(c,0)，若双曲线上存在点P使＝，则该双曲线的离心率的取值范围是________． 答案　(1，＋1) 解析　根据正弦定理得＝， 由＝， 可得＝，即＝＝e， 所以PF1＝ePF2. 因为e>1， 所以PF1>PF2，点P在双曲线的右支上． 又PF1－PF2＝ePF2－PF2＝PF2(e－1)＝2a， 解得PF2＝. 因为PF2>c－a(不等式两边不能取等号，否则题中的分式中的分母为0，无意义)， 所以>c－a，即>e－1， 即(e－1)2<2，解得e<＋1. 又e>1，所以e∈(1，＋1)． 5．(2014·湖北)已知F1，F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且∠F1PF2＝，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为________． 答案　 解析　设PF1＝r1，PF2＝r2(r1>r2)， F1F2＝2c，椭圆长半轴长为a1，双曲线实半轴长为a2，椭圆、双曲线的离心率分别为e1，e2， 由(2c)2＝r＋r－2r1r2cos ， 得4c2＝r＋r－r1r2. 由得 所以＋＝＝. 令m＝＝＝ ＝， 当＝时，mmax＝， 所以()max＝， 即＋的最大值为. 6．(2014·山东改编)已知a>b>0，椭圆C1的方程为＋＝1，双曲线C2的方程为－＝1，C1与C2的离心率之积为，则C2的渐近线方程为________． 答案　x±y＝0 解析　由题意知e1＝，e2＝， ∴e1·e2＝·＝＝. 又∵a2＝b2＋c，c＝a2＋b2， ∴c＝a2－b2， ∴＝＝1－()4， 即1－()4＝， 解得＝±，∴＝. 令－＝0，解得bx±ay＝0， ∴x±y＝0. 7．若椭圆＋＝1(a>b>0)与双曲线－＝1的离心率分别为e1，e2，则e1e2的取值范围为________． 答案　(0,1) 解析　可知e＝＝1－， e＝＝1＋， 所以e＋e＝2>2e1e1⇒00，b>0)的左焦点F作圆x2＋y2＝的切线，切点为E，延长FE交双曲线的右支于点P，若E为PF的中点，则双曲线的离心率为________． 答案　 解析　设双曲线的右焦点为F′，由于E为PF的中点，坐标原点O为FF′的中点，所以EO∥PF′，又EO⊥PF，所以PF′⊥PF，且PF′＝2×＝a，故PF＝3a，根据勾股定理得FF′＝a.所以双曲线的离心率为＝. 9．(2014·浙江)设直线x－3y＋m＝0(m≠0)与双曲线－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线分别交于点A，B.若点P(m,0)满足PA＝PB，则该双曲线的离心率是________． 答案　 解析　双曲线－＝1的渐近线方程为y＝±x. 由得A(，)， 由得B(，)， 所以AB的中点C坐标为(，)． 设直线l：x－3y＋m＝0(m≠0)， 因为PA＝PB，所以PC⊥l， 所以kPC＝－3，化简得a2＝4b2. 在双曲线中，c2＝a2＋b2＝5b2， 所以e＝＝. 10．(2013·湖南)设F1，F2是双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的两个焦点，P是C上一点，若PF1＋PF2＝6a，且△PF1F2的最小内角为30°，则双曲线C的离心率为________． 答案　 解析　不妨设PF1>PF2， 则PF1－PF2＝2a， 又∵PF1＋PF2＝6a， ∴PF1＝4a，PF2＝2a. 又在△PF1F2中，∠PF1F2＝30°， 由正弦定理得，∠PF2F1＝90°，∴F1F2＝2a， ∴双曲线C的离心率e＝＝. 11．P(x0，y0)(x0≠±a)是双曲线E：－＝1(a>0，b>0)上一点，M，N分别是双曲线E的左，右顶点，直线PM，PN的斜率之积为. (1)求双曲线的离心率； (2)过双曲线E的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于A，B两点，O为坐标原点，C为双曲线上一点，满足＝λ＋，求λ的值． 解　(1)点P(x0，y0)(x0≠±a)在双曲线－＝1上， 有－＝1. 由题意有·＝， 可得a2＝5b2，c2＝a2＋b2＝6b2， 则e＝＝. (2)联立得4x2－10cx＋35b2＝0. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)． 则① 设＝(x3，y3)，＝λ＋， 即 又C为双曲线上一点，即x－5y＝5b2， 有(λx1＋x2)2－5(λy1＋y2)2＝5b2. 化简得λ2(x－5y)＋(x－5y)＋2λ(x1x2－5y1y2)＝5b2. 又A(x1，y1)，B(x2，y2)在双曲线上， 所以x－5y＝5b2，x－5y＝5b2. 由(1)可知c2＝6b2， 由①式又有x1x2－5y1y2＝x1x2－5(x1－c)(x2－c)＝－4x1x2＋5c(x1＋x2)－5c2＝10b2. 得λ2＋4λ＝0，解得λ＝0或λ＝－4. 12．(2014·江西)如图，已知双曲线C：－y2＝1(a>0)的右焦点为F.点A，B分别在C的两条渐近线上，AF⊥x轴，AB⊥OB，BF∥OA(O为坐标原点)． (1)求双曲线C的方程； (2)过C上一点P(x0，y0)(y0≠0)的直线l：－y0y＝1与直线AF相交于点M，与直线x＝相交于点N.证明：当点P在C上移动时，恒为定值，并求此定值． 解　(1)设F(c,0)， 直线OB方程为y＝－x， 直线BF的方程为y＝(x－c)，解得B(，－)． 又直线OA的方程为y＝x， 则A(c，)，kAB＝＝. 又因为AB⊥OB，所以·(－)＝－1， 解得a2＝3， 故双曲线C的方程为－y2＝1. (2)由(1)知a＝，则直线l的方程为 －y0y＝1(y0≠0)，即y＝. 因为c＝＝2，所以直线AF的方程为x＝2， 所以直线l与AF的交点为M(2，)； 直线l与直线x＝的交点为N(，)． 则＝＝ ＝·. 因为P(x0，y0)是C上一点，则－y＝1， 代入上式得＝· ＝·＝， 即＝＝为定值． 文档已经阅读完毕，请返回上一页！