负二项分布

负二项分布 1. 负二项分布的定义 A题 在独立重复试验序列中，设事件 发生的概率为 ()， 是直P(A),p0,p,1, A到事件 第 次发生为止所需要的试验次数，求 的概率分布。 r, A解 要使得第k试验时，事件恰好是第次发生，必须 r Ar,1(1)在前k,1次试验中，事件发生次，事件发生k,r次，(k,1),(r,1),A概率为 r,1r,1k,rC ; p(1,p)k,1 A2)在第k试验时，事件又发生1次，概率为 p。 ( 因此，的概率分布为: , r,1r,1r,1k,rrk,r,CCp p(1,p)p(1,p)P{,,k},k,1k,1 () 。 k,r,r，1,r，2,？ ,这个分布称为帕斯卡(Pascal)分布，也称为负二项分布，记为 。 b(r,p) 2(负二项分布的数学期望和方差 r,1,rk,r,C题 设 ,， () 。 b(r,p)p(1,p),P{,,k}k,r,r，1,r，2,？k,1 求 的数学期望 和方差 。 E,,D, 解 根据概率分布的性质，必有 ,,rrkr1,,,1P{,,k},Cp(1,p) 。 ,,k1,krkr,, 的数学期望为 , ,,,(k,1)!rrkr1rkr,,,E,,kP{,,k},kCp(1,p) ,kp(1,p),,k,1,(r,1)!(k,r)!krkrkr,,, ,,rk!rrkr1(1)(1)rkr，，,，,,Cp(1,p) ,rp(1,p),k,r!(k,r)!pkrkr,, ,rrrrkr1,,,,Cp(1,p) 。 ,k1,ppkr, 1 为了求 的方差，先求 : E[,(,，1)], ,,rrkr1,, ,k(k，1)P{,,k},k(k，1)Cp(1,p)E[,(,，1)],,k1,krkr,, ,,(k,1)!(k，1)!rkrrkr,, ,k(k，1)p(1,p),r(r，1)p(1,p),,(r,1)!(k,r)!(r，1)!(k,r)!krkr,, ,,r(r，1)r(r，1)r(r，1)rrkrrrkr12(2)(2)1，，，,，,, 。 ,Cp(1,p),Cp(1,p),,,kk11，,222pppkrkr,, 的方差为 , 2222 D,,E(,),(E,),E(,)，E,,(E,),E,,E[,(,，1)],E,(E,，1) 22rrr，r,r,rpr(r，1)r(1,p), 。 ,(，1),,222ppppp 3. 一个负二项分布的实例 题 重复掷骰子，直到第9次出现“6”为止。设 是到第9次出现“6”为止所需的掷骰, 子的次数，求次数 的数学期望和方差。 , 1解 掷骰子出现“6”的概率为 p, ，到第9次出现“6”为止所需的掷骰子的次数 显,6 11,b(9,)r,9然服从 p, ， 的负二项分布 ， 的概率分布为 ,66 15rk,9r,18rk,rC,C()()p(1,p) P{,,k},k,1k,166 () 。 k,9,10,11,？ 的数学期望为 , r9, 。 E,,,54p16 的方差为 , 59，r(1,p)6,270 。 D,,,21p2()6 2