【doc】一类非常规斯特姆-刘维问题的本征函数完备性与节点

【doc】一类非常规斯特姆-刘维问题的本征函数完备性与节点 一类非常规斯特姆-刘维问题的本征函数完 备性与节点 第30卷第4期 2011年4月 大学物理 COLLEGEPHYSICS Vo1.30NO.4 Apr.2011 一 类非常规斯特姆一刘维问题的本征函数完备性与节点 林琼桂 (中山大学物理科学与工程技术学院,广东广州510275) 摘要:端点与质点(集中质量)连结的弦或杆的振动等问题在分离变量后归结为一类非常规的斯特姆一刘维本征值问题 证明了此类本征值问题的本征函数族具有完备性.证明了第n个本征函数具有n一1个节点(零点). 关键词:非常规斯特姆一刘维本征值问题;本征函数;完备性;节点(零点) 中图分类号:0411.1文献标识码:A文章编号:1000—0712(2011)一04—0008—04 弦的横振动或弹性杆的纵振动是数学物理方法 中比较简单的问题.但是,如果弦或杆的某一端与集 中质量物体(又称为集中载荷,可以当作质点)连 结,则分离变量后所得的本征值问题不具有常规的 边界条件,此时斯特姆一刘维本征值问题的若干定理 需要重新加以考察.其中尤其重要的是本征函数族 的完备性,后者是分离变量法的理论基础. 上述与质点连结的弦或杆的振动问题已经有熟 知的求解方法?.通过建立广义正交性,解决了计算 上的困难.但关于本征函数族的完备性,文献[1]没 有给出相关的定理.数理方法的名着如文献[2]给 出的有关定理并未涵盖这类情况,国内的教科书 也都没有这方面的陈述.一般是默认完备性仍然成 立.这类问题还存在其他一些解法",其中有些并 不依赖于完备性.但是,这些方法或者不具有普适 性,或者存在计算过于繁琐等缺点.无论如何,完备 性是一个不能回避的问题.我们曾经多次提及这一 问题'',但并未引起同行的关注.本文的目的就 是解决这个问题.除了证明本征函数族的完备性,我 们还将证明第n个本征函数具有n一1个节点.这两 个结论都与常规边界条件(周期性边界条件除外) 下的结论相同. 1本征值问题与泛函极值问题 考虑端点与质点连结的弦(比如绳摆,参看文献 [I2]和其中的参考文献)或杆的振动问题,这里允 许几何参数(比如横截面)和力学参数(比如密度, 杨氏模量等)不均匀,但不考虑有奇性的极端情况 (比如杆上某点横截面为零).分离变量后,需要研 究函数U()的本征值问题 "=AR",Lu;一d(du)+qM,口<<6d\a, (1a) 』一n?(.)+nu(a)-A叼.M(.)=0(1b) lkbM(b)+or6u(b)-At/6M(b)=0 其中A是本征值;k,g,R都是的函数;R()= P()+'. 6(_--),其中a<x<…<f<6,M ?0,即考虑了弦或杆上也可能有质点的情况; = k(a),k=k(b);叼是非负参数,描述左端点上 的质点,"11=0表示该端没有质点,叼类似;.也 是非负参数,表示左端的质点(如无质点则为左 端点)与外界还有弹性连接,Ol.:0表示质点或端 点自由,如果一..,则左端点固定(第一类齐次 边界条件),类似;以下要求各函数在[a,b]上 满足 k()>0,P()>0,q()?0(2) 实际问题一般满足这些条件.如果包含量子力学情 况(无限深势阱中另有势场分布),则最后一个条件 q()?0不一定满足.不过它并不是必不可少的,只 是为了论证方便.我们将会对有关结论的推广给出 说明.由于边界条件中出现本征值,上述本征值问题 不是常规的斯特姆一刘维本征值问题.而且,在上述 边界条件下,算符不是自伴的. 为了深入研究上述本征值问题,需要将它与 泛函极值问题联系起来.为此,定义两个正定的 泛函: 收稿Et期:2010—07—17;修回151期:2010一lO一18 基金项目:国家物理学基础科学研究和教学人才培养基地基金资助项目;国家自然 科学基金资助项目(10675174) 作者简介:林琼桂(1963一),男,广东潮阳人,中山大学物理科学与工程技术学院教 授,博士,博士生导师,主要从事理论物理学的教学和研 究工作. 第4期林琼桂:一类非常规斯特姆一刘维问题的本征函数完备性与节点9 F[M]=J(ku+qu)dx+J0 , Otau(0)+Or6?(6)(3a) 6 ,["]=JRu.dx+r/.M.(0)6(6)(3b)J0 为了下面的需要,还定义两个对称的双线性泛函 r b u,]=J("+quv)dx+ J0 u(n)(0)+Ol6II,(6)(b)(4a) ,[M,]=JRuvdx+rl.(0)(6)+叼6u(b)(b)Jo (4b) 这两个泛函也可以看成两种内积.易知F[]= F[,],,["]=,[M,]. 微分方程本征值问题与泛函条件极值问题的联 系是熟知的.虽然非常规边界条件使得上述泛函 的形式与过去有所不同,但这对于有关结论的论证 并不造成困难,所以我们只给出结论而略去论证:设 在所有满足归一化条件,["]=1的函数中,".()使 F[u]取得最小值F[u.]=A.;在所有满足归一化条 件,[u]=1与正交条件,[u.,]:0的函数中,:() 使F["]取得最小值F[u:]=A.-.…?在所有满足归 一 化条件,[u]=1与正交条件,[u,u]=0(i=1,2, … ,n一1)的函数中,"()使F["]取得最小值 F[]=A;……习么()满足 F[,"]=A,[,],V(5) 由此可以证明"()是本征值问题式(1)对应于本 征值A的本征函数.值得注意,上式同时包含了方 程和边界条件.由以上陈述可知,泛函F["]的条件 极值(以下简称极值)都是本征值问题式(1)的本征 值,极值函数是相应的本征函数.后面将证明这些极 值函数{u()}.具有完备性,于是它们也就构成 本征值问题式(1)的全部本征函数了.在证明完备 性之前,我们将避免使用本征值和本征函数的说法. 由于F[u]是正定的,所以极值A>0.这也可以从 式(1)出发加以证明.如果去掉q()?0的条件,则可 能出现一些负的极值,但只能有有限个(见下). 按照极值函数{u()}的构造方式可知,极 值序列{A}田_.是单调递增的.又由式(1)容易证明, 所有本征值都是非简并的,从而泛函极值也是非简 并的,因此上述极值序列是严格单调递增的.后面将 证明它没有上界.即使去掉q()?0的条件,它也仍 然是严格单调递增而没有上界的.因此,小于任何给 定实数的极值都只能有有限个,特别地,负极值只能 有有限个. 按照极值函数的构造方式和式(5)还可知 ,[u,u]=8,F[M,M]=A6 n,m:1,2,…(6) 其中第一式即极值函数的正交归一性.由定义式 (4b)可知,这是一种广义的正交性,它也可以由式 (1)出发加以证明,这是过去熟知的结果…. 极值问题或本征值问题的解的存在性是一个更 深入的问题.在实际问题中,常常可以通过各种方法 将解计算出来,因此存在性一般不会对物理学家构 成困扰.本文不拟探讨存在性问题.下面致力于证明 {A}.没有上界,{u()}.具有完备性,并确定 u()的节点数目. 2极值序列的无限增长 都是[o,6]上的连续函 我们假定P()和() 数,实际上,()还应该有分段连续的一阶导数.由 连续函数的性质,它们在[n,b]上具有最大值和最 小值,再由式(2)的限制,可知最小值为正数: P0=minP()>0,0=rain()>0(7) 今欲证明 A—}+..,n_?..(8) 采用反证法.设 A<,n=1,2,…(9) 由,[]=1以及,[M]?fpu2d?p.J"d,可得 f?,:l,2,…(1O)JnPo 由F[u]=A<,F["]?Judx?.fH:dx, 可得 <,'2'…(11) 在式(10)和式(11)的条件下,由数学定理,可知序 列{"()}存在收敛子列,记作{u.()}三.,满足 ,["]一0,i,一?(12) 另一方面,由正交归一性,有 ,[一u]=2,V?i(13) 矛盾.证毕. 以上证明中用到q()?0的条件.如果该条件 不满足,只需对证明的细节略作改进,仍可得到同样 的结论.顺便指出,对于实数或矢量序列,只需有界 即存在收敛子列,而函数比较复杂(可以看作无限维 矢量),仅满足式(10)不足以推出存在收敛子列的 结论. 1O大学物理第3O卷 3极值函数的完备性4本征函数的节点 对于任何在[.,6]上连续且在(o,b)上具有分 段连续一阶导数的函数f(),用下列级数来近似代 表它: ()=Ci(),c=,[(14). l 则误差为 ?()=/()-f()(15) 如果{09()}在某种意义上收敛于0,即 {()}在同等意义上收敛于f(),那么我们就 说{u()}.在[a,b]上是完备的.现在我们要证明 ,[LO]-?0,n一..(16) 即{()}平均收敛于J厂(). 将()归一化为():()/,/7田,由 式(14)和式(15)易得 ,[,]:0,n=1,2,…,n(17) 由此可知,F[]?A(只有当正好等于u 才取等号),或F[]/I[(cJ]?A,也就是 1 ,[]?I_F[](18) ^n+l 由F[?]=F[-f,-f],后一泛函的双线性性以及 正交归一关系式(6),易得 F[?]:,[_厂_一Ac?FEf](19) E=l 因此 1 ,[?]??[,j(20)^n+l 由于F[I厂]与n无关,结合式(8),即得式(16).完备 性证毕. 以上证明中用到q()1>0的条件,以便F[_厂]正 定且所有极值均为正.如果该条件不满足,只需对证 明的细节略作改进,仍可得到完备性. 如果能证明{u()}在[.,6]上一致有界,且 A/n一c(n一..),那么还可以得出级数cn() 在[.,6]上绝对且一致收敛的结论.对于一端固定, 一 端与质点连结再连接弹簧的均匀杆(包括弹簧不 存在等特殊情况),不难验证上面两个条件均得以满 足.,般情况需要进一步的研究.不过,对于物理学 家来说,平均收敛已经是可以接受的结果了. 证明了完备性之后,下面将不再区分本征值与 泛函极值,本征函数与极值函数. 本节将证明第n个本征函数Lf,()在(n,6)上 具有n一1个节点. 首先证明,11,()在(o,b)上至多具有n一1个节 点.因此,u()在(fl,,6)上必无节点.下面的证明即 使限于常规情况也与文献[2]的方法不同. 采用反证法.设u()在(n,b)上有N一1个节 点,其中N>n,则区间[.,b]被分为?个子区间,即 [,,i=1,2,…,?,其中一,为节点,而 .=n,=b.今定义?个函数: f口u(),E[卜I,]; ')={0,[一,]. i=1,2,…,N(21) 容易证明,F[.]=A,[?],且当i?,有,[W,]: 0,F[W,]:0.适当选取常数n使,[W]=1,则有 ,[,]=8,F[埘,W]=A8, i,J=1,2,…,N(22) 由于??n+1,故可定义函数 "()=Ci()(23) =l 其中各项显然是线性独立的.适当选取其中n+1个 系数,可以满足 ,[M,u]=0,i=1,2,…,n;,["]:1(24) 此时,必有F[//,]?A另一方面,利用式(22)可以 证明F[u]=A.于是推得A?A,矛盾.证毕. 其次证明,()在(n,6)上至少具有n一1个 节点. 由正交关系,对?>1有 ,6 ,[ul,M?]=IRu1UNdx+ 叼.I(0)?(n)+叼6l(b)//,?(b)=0(25) 已知.()在(o,b)上无节点,如果()在(.,b) 也无节点,则可设(n,6)上有u()>0,"()>0,此 时上式左边第一项为正,后两项非负,右边为零,矛 盾.因此,-N()在(n,6)上必有节点. 设是"()最靠近.的节点,利用式(1)可以 证明 (A一A)[J^.Ru.uNd+,7.u(n)11,N(.)]= (.)u:(.)(.)(26) 对?>n,如果u()在(o,.)上也无节点,则可设 (.,)上有()>0,"()>0,此时上式左边为正, 右边由于u(.)<0而为负或零,矛盾.因此,n() 第4期林琼桂:一类非常规斯特姆一刘维问题的本征函数完备性与节点 在(a,)上必有节点. 又设是u()最靠近b的节点,类似可证,对 N>n,u()在(,b)上必有节点. 再设C,d是U()的相邻节点,类似可证,对?> n,lZ()在(C,d)上必有节点. 综合以上几点容易推知,U()在(a,b)上至少 具有n一1个节点.证毕. 最后得到U()在(a,b)上具有n一1个节点.这 个结论对q()>10不满足的情况同样成立. 5小结 本文讨论了本征值问题式(1)的本征值和本征函 数的性质,在承认存在无穷多解的前提下,对各已知函 数和参数作适当的限制,得到了若干结论,小结如下: 定理一所有本征值都是正的而且是非简并 的.本征值序列{A}.严格单调递增且A一+?(n _?. 定理二对应于不同本征值的本征函数满足广 义正交关系.第n个本征函数11,()在(a,b)上具有 n一1个节点. 定理三本征函数族{u()}::在[a,b]上是 完备的. 其中广义正交性是过去所熟知的…,它对于解 决计算问题具有重要作用.我们还对q()?0不满 足的情况给出了推广的结论. 我们还可以考虑多维空间区域D上非常规边界 条件的偏微分方程本征值问题: Lu=ARu,Lu=一V?(kVu)+qu,X?D(27a) (嚣+OLU--)0(27b) 其中R()=p(x)+'M8(一),?D,OD是 D的边界,n是其外法向单位矢量,Ou/On=n?Vu,其 余函数与一维情况类似.可以将上述各定理推广到 这种情况.不同的是,本征值可以有简并,因此本征 值序列单调递增但不是严格的单调递增;节点在多 维空间推广为节线或节面,只能证明,u(X)的节面 将D分割成不多于n个子区域.因篇幅所限,本文到 此为止. 参考文献: [1]吉洪诺夫AH,萨马尔斯基AA.数学物理方程[M]. 黄克欧,等译.北京:高等教育出版社,1956. 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Completenessandnodesofeigenfunctionsforaclassofunconventional Sturm-Liouvilleeigenvalueproblem LINQiong—gui (SchoolofPhysicsandEngineering,SunYat— SenUniversity,Guangzhou,Guangdong510275,China) Abstract:Thevibrationofastringorarodwiththeirendsconnectedtoparticles(concentrated mass),or (下转37页) 第4期刘有菊:相因子判断法菲涅耳波带片的衍射场37 曲线. 2)菲涅耳波带片是一种重要的衍射光学器件, 在远程通信,激光准直,天文观测和同步辐射超光学 成像等领域得到新的应用,在以往的研究中都是用 半波带法来解释波带片的多焦点和光强问题,而本 文利用相因子方法得出波带片各焦点位置,半值线 宽和光强大小. 3)此研究方法和结论可为光学信息处理技术, 光全息技术和光滤波技术等方面提供一定参考. 致谢:此论文在北大访学期间得到了钟锡华教 授的精心指导,在此对钟锡华老师表示衷心感谢. 参考文献: [1]麦伟麟.光学传递函数及其数理基础[M].北京:国防 工业出版社,1979:240. [2]钟锡华.现代光学基础[M].北京:北京大学出版社, 2006:40—45,280—285. [3]刘有菊.圆形余弦光栅菲涅耳衍射场的研究[J].大学 物理,2008,27(12):5.9. [4] [5] [6] [7] [8] [9] [1O] [12] [13] 刘有菊.用相因子判断分析条形余弦光栅衍射场[J]. 物理与工程,2009(1):22—26. 钟锡华.波前相因子判断法及其应用[J].大学物理, 2007,26(12):1—6. 钟锡华.像面衍射场系夫琅禾费衍射[J].大学物理, 2008,27(1):1—4. 赵凯华,钟锡华.光学[M].北京:北京大学出版社, 2001:191—192. 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Keywords:zoneplate;wavefrontphase—factor;Fresneldiffraction;Fraunhoferdiffraction (上接第11页) similarproblems,resultinaclassofunconventionalSturm-Liouvilleeigenvalueproblemafterseparationofvaria- bles.Thecompletenessoftheeigenfunctionsofsucheigenvalueproblemsisproved.Itisalsoprovedthatthen—th eigenfunctionhasn一1nodes(zeros). Keywords:unconventionalSturm— Liouvilleeigenvalueproblem;eigenfunctions;completeness;nodes(zeros)