一道浙江高考题的变式与推广

一道浙江的变式与推广 （上海市教科院实验中学    轩瑞升    201102） 04浙江15题．设坐标平面内有一个质点从原点出发，沿ｘ轴跳动，每次向正方向或负方向跳１个单位，经过５次跳动质点落在点（３，０）（允许重复过此点）处，则质点不同的运动共有＿＿种（用数字做答）． 简析：因为质点在直线（ｘ轴）上跳动，据题意质点只在数轴上0，1，2，3，4五点处分别向负方向跳一个单位，故质点不同的运动方法有 5种． 为了引申推广，现作如下变式： 变式１．若质点在ｘ轴上自原点经过ｎ＋２次跳动落在点（ｎ，０）（允许重复过此点）处，其它条件不变，则质点不同的运动方法共有 种． 仿上分析质点在数轴上０，１，２，．．．，ｎ＋１共ｎ＋２个点处分别向负方向跳一个单位，故质点不同的运动方法有 ｎ＋２种． 若质点在ｘ轴上自原点经过７次跳动落在点（３，０）（允许重复过此点）处，则质点不同的运动方法共有＿＿种（用数字做答）． 因为质点跳7次只向正方向前进3个单位，所以每种运动方法中必有2次向负方向跳1个单位．若分类考虑有三种情形：⑴在同一点连续2次向负方向跳（即负、负、正、正），且在0、１、２、３、４、５共6点处进行，计 种；⑵在同一点先后各１次向负方向跳（即负、正、负、正），且在０、１、２、３、４共５点处进行，计 种；⑶在不同２点分别１次向负方向跳（如负、正、正、正、负），且在０、１、２、３、４共５点处进行，计 种．故质点不同的运动方法共有２１种． 若整体考虑：在7次跳动中恰有2次向负方向（或恰有5次向正方向）跳，余下的５次向正方向跳，故质点不同的运动方法共有 ２１种． 由上分析可以得到更一般的情况： 变式２．若质点在x轴上自原点经过n＋４（ ）次跳动落在点（ｎ，０）（允许重复过此点）处，其它条件不变，则质点不同的运动方法共有 种． 推广１．若质点在x轴上自原点经过n＋2m（n、m ）次跳动落在点（ｎ，０）（允许重复过此点）处，其它条件都不变，则质点不同的运动方法共有 种． 若质点的跳动由直线拓展到坐标平面，其跳动方式由“向左右两个方向”拓展到“向左右上下四个方向”，则质点从一点跳到另一点不同的运动方法应如何计算呢？我们先看一个简单的情形． 变式３．在直角坐标平面上，若质点从原点（０，０）出发，每次向左或向右或向上或向下跳一个单位，经过７次跳动落在点Ａ（４，３）（允许重复过此点）处，则质点不同的运动方法是 种． 事实上，从原点跳到Ａ点必须向右跳动４次且向上跳动３次，可以理解为在７次跳动中任选４次向右跳（或任选３次向上跳），故其不同的跳动方法为 种． 在上述情形中，若将质点跳7次改为跳9次，其它条件都不变，则质点不同的运动方法是多少呢？ 从上分析可知，质点从原点跳到点A（4，３）必须且只需向右跳４次且向上跳３次即７次，而题设给出跳９次，其中多跳２次只能是：⑴横向跳动时向左或向右各跳１次；⑵纵向跳动时向上或向下各跳１次．因此质点在９次跳动中只有两种情形：⑴向右跳５次向左跳１次向上跳３次；⑵向右跳４次向上跳４次向下跳１次．从而质点不同的运动方法为 1134种． 若将质点跳７次改为跳11次，其它条件都不变，结果又如何呢？仿上可知其中多跳的４次只能是：⑴横向跳动向左或向右各２次；⑵纵向跳动向上或向下各２次；⑶向左或向右或向上或向下各跳１次．因此质点在11次跳动中只有三种情形：⑴６次向左２次向右３次向上；⑵４次向左５次向上２次向下；⑶５次向左１次向右４次向上１次向下．从而质点不同的运动方法为 种． 根据以上分析，可以得到 推广２．在直角坐标平面上，质点从原点（０，０）出发，每次向左或向右或向上或 向下跳一个单位， 若经过k次跳动落在点Ａ（n，m）(n，m ，n＋m＝k)处，则质点不同的运动方法是 种； 若经过k＋２次跳动落在点Ａ（n，m）(n，m ，n＋m＝k)（允许重复过此点）处，则质点不同的运动方法是 种； 若经过k＋４次跳动落在点Ａ（n，m）(n，m ，n＋m＝k)（允许重复过此点）处，则质点不同的运动方法是 种．