最有名的证明

最有名的证明 斯坦纳—莱默斯定理 万安中学 侯来合 这个定理内容是:有两条内角平分线相等的三角形是等腰三角形。 1840年德国柏林数学家雷麦斯(G.Lehmus)在研究高深数学的休息间隙，看到欧氏几何的一个简单定理“等腰三角形两底角的内角平分线相等”，善于思考的他突然逆向思维，提出上述逆命是否成立，雷麦斯一天、两天都没有证明出来，他坚信这个命题是真的，可却一筹莫展。他毫不掩饰地写信给巴黎一个大学当教授的朋友斯图姆(J.C.F.Sturm,1803-1855),斯图姆不长于几何，也束手无策，并向周围老师介绍此题，希望得到求解，这个问题即便在今天，对于一个没有经验和借鉴的读者来说，仍然是一个不容易的“世界难题”，后来雷麦斯写信给当时著名的瑞士几何学家施坦纳(J.Steiner, 1796-1863)，希望证明这个命题，施坦纳出手不凡，很快给出了第一个证明，引起世界强烈反响，这个定理被命名为“雷麦斯-施坦纳定理”。 BE,CF是角B,C的平分线，BE=CF 已知:三角形ABC中， 求证:AB=AC 证明一:设AB>AC,于是角ACB>角ABC 角BCF=FCE=ACB>1/2角ABC=CBE=CBF 在 BC=BC BE=CF 角BCF>CBE 所以BF>CE <1> 三角形BCF和三角形CBF中 作平行四边形BEGF,则角EBF=FGE EG=BF FG=BE=CF 连接CG,三角形FCG为等腰三角形 则角FCG=FGC 因为角FCE>FGE 所以角ECGEG=BF <2> 显然〈1〉〈2〉矛盾 同理AB分析

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