五、 刚体绕定轴的转动(一)

五、刚体绕定轴的转动 （一） 一，学时安排  6学时（习题课1学时） 二，教学要求：（重点   难点） 1， 理解角位移 角速度等概念 2， 理解力矩和转动惯量概念以及刚体定轴转动时的动力学规律－转动定律并熟练地应用 3， 理解角动量和冲量距概念以及角动量原理和角动量守恒定律，并会具体应用。 4， 掌握刚体定轴转动的动能原理，并会具体应用。 三， 教学参考书 1 杨中耆著《大学物理》力学部分 2 Berkeley Physics couse Vol 1 3 University Physics part 1 说明：授课中将第四节质点的角动量与角动量守恒放在第五节刚体绕定轴的转动中，以便与刚体的角动量相比较，突出它们的共性。 前言 本章前四个问题讨论的是物体平动的情况，力学中，在一般情况下，一个物体的运动包含平动、转动 、振动等是很复杂的，一物体在平动时，若把物体看成是一刚体（无形变）物体上每一点的运动情况都是一样的，无需考虑物体的形状，大小如何。故物体可抽象为一质点，其运动情况如前面所述。但在转动中，例飞轮高速旋转时，其上的各点运动情况各不相同，因而不能简化为质点。与前面相比，发生了几点变化：一是主要研究对象变了，由质点变为刚体。二是主要研究的问题也变了，由平动变为转动。从物体来说，必须考虑它的形状，大小。但忽略形状大小的改变；从运动来说突出了转动，暂时忽略振动或其他运动。 若将刚体分成许多细微部分，并把每一细微部分看成一个质点，那么刚体可以看成是有无数质点构成的质点组，这个质点组与前面我们所讨论的质点组是有区别的，刚体视为质点组其特征是：构成刚体的任意二质点间的距离，在运动中恒定不变，这种看法使我们有可能在质点动力学的基础上来研究刚体情况。 1、刚体绕定轴转动的运动特征： 刚体中某一直线上的点保持不动（对固定参考系而言），其它各点都以该点直线上的相应点为圆心，在垂直于该点的平面内作大小不同的圆周运动。该直线为转轴，这种运动称刚体绕定轴的转动。 刚体绕定轴的转动有三个特点： 1 刚体上各质点都在各自的平面内作半径不同的圆周运动。 2 各质点作圆周运动的平面垂直于轴线，圆心在轴线上。 3 各质点绕轴运动的角速度是相同的，这就意味着角速度的变化也是相同的，即各质元的角加速度 相同。 研究刚体定轴转动时，通常取一垂直于定轴的平面作为转动平面来研究，由转动平面的任意性知，其上任一点可代刚体的所有点的运动情况。 刚体定轴转动时，O点为转轴与某一转动平面的交点，P为刚体转动平面上任一质点，P点在转动平面内绕O点作圆周运动。运动学中讨论的角位移 ，角速度 ，角加速度 等概念都适用刚体定轴转动。当刚体绕定轴转动的角加速度 为定值时，组成刚体的各质元都作半径不同的匀变速率圆周运动。刚体的运动规律满足匀变速率圆周运动的基本公式： 2、 转动惯量 刚体绕定轴的转动我们采取类比法讲授，以便于同学们更好理解定轴转动中的一些基本物理量的物理含义。 任何物体在平动时都具有保持原来运动状态的特性，叫平动惯性。而转动的物体有没有这种惯性呢？转动的砂轮在关闭电动机后还会继续转动，最终停下来是由于轴与轮之间的摩擦力。可以想象，如果轮和轴之间丝毫摩擦也没有，那么，砂轮会永远转下去，这就是刚体转动时保持原有状态的特性，叫做转动惯性。 在质点力学中，质量是物体平动惯性大小的量度，在描述刚体转动惯性时，只考虑刚体质量的多少是不够的。例：两种同质量但质量分布不一样的物体（见下图）绕o点转动，（a）比（b）转动惯性要大。因此，不仅要考虑物体质量的大小，还需要考虑质量相对于轴的分布情况，故需要引入一个新的物理量——转动惯量。用它来描述转动物体的转动惯性。 （1） 转动惯量的定义 若把刚体看成是许多质量元 所组成，每一质元视为一质点，则刚体的转动动能 就是各质量元作圆周运动的动能之和。对任意质量元 ，其作圆周运动的动能： = ，整个刚体的转动动能： 令     (1) 并称为转动惯量。例图（a）中刚体绕定轴的转动惯量为 。 在国际单位中， 的单位为 。 刚体绕定轴转动的转动动能写成    (2) 说明：1）对定转轴的刚体来说，各质量元到转轴的距离 是一定值，所以 对转轴固定的刚体来说是个定值。 2）一般物体的质量可认为是连续分布的，如上例中（b）图，杆的质量就是连续分布的，对质量连续分布的刚体  ，有：   其中 为体积的体密度， 为对应于 的体积元， 为体积元与转轴之间的距离。 （2） 转动惯量的物理意义 将（2）式 与平动动能 的比较知： 与 相当，它们分别表示刚体转动与质点平动的快慢； 与m相当，于是在刚体转动中， 起着平动中质量的作用，故称之为转动惯量。 （3.） 与转动惯量有关的因素 由J的定义知，J与刚体的总质量有关，M越大，J越大。但在M一定时，J还与哪些因素有关呢？下面通过两个实例来说明。 Example 1 求质量为m半径为R的细圆环（或圆盘），对于垂直于环面（盘面）且通过环心（盘心）的转轴的转动惯量。 R x 比较结果： 。 由此可知，质量相同，但质量分布不同， 不同。 在总质量一定且质量分布一定的情况下，J还与哪些因素有关呢？ Example2 求均匀细棒绕 和 轴转动的转动惯量。（1）0轴通过棒的中心且垂直于棒。（2） 轴通过棒的一端且垂直于棒。 解（1） ：建立如图坐标系， ；任取一质量为 质元，它对轴的转动惯量为 ，整个棒绕中心轴的转动惯量J为：   。 解（2）：坐标原点位于棒的端点，同理可求出         由此可知，在总质量一定且质量分布也一定的情况下，转动惯量与所给定轴的位置有关。 小结： 刚体的转动惯量与三个因素有关。 A: 转动惯量与刚体的总质量有关（m） B: 在m一定的情况下，转动惯量与质量的分布有关（质量分布远离转轴，其J就越大） C: 在总质量一定且质量分布一定的情况下，转动惯量与给定的轴的位置有关。 回顾：（1）刚体绕定轴转动的三个特征：重点放在各质点绕轴转动的角速度（包括角加速度）相等； （2）转动惯量：1）：定义如质量不是连续分布用 ，如质量为连续分布用 。且无论质量是否连续分布，只要转轴位置一定，转动惯量为定值。 2）通过类比我们得出了转动惯量的物理含义—它是描述转动刚体转动惯性大小的物理量。 （3）通过一些实例，我们得出了与转动惯量有关的一些因素。 （4） 转动惯量的可加性 一个具有复杂形状的刚体，如果可以分割成若干个简单部分，则整个刚体对某一轴的转动惯量等于各个组成部分对同一轴转动惯量之和。 例1、大学物理练习题册刚体绕定轴的转动（一）第6题：求两球一杆组成的新刚体对0轴的转动惯量。 解：根据转动惯量的可加性，组成的新刚体绕轴的转动惯量等于杆绕中心轴0的转动惯量和两球分别绕0轴的转动惯量： 例3、如图所示，长为L质量为m的匀质细杆，可绕通过杆的端点o并与杆垂直的水平固定轴在铅直平面内转动，杆的另一端连接一质量为m的小球。杆从水平位置由静止开始自由下摆，忽略轴处的摩擦，当杆转至与竖直方向成 角时，小球与杆的角速度是多少？ 解：取杆、小球和地球为系统，下摆过程中，系统只受重力（内力 ）的作用，机械能守恒。 现将杆和小球视为一个新的刚体A，它绕O轴的转动惯量 ，刚体A在下落过程中重力势能转换成绕定轴转动的动能，根据机械能守恒定律 ， 解得 。 也可将杆与小球分开讨论： ，式中的 。其结果是一样的。 3、转动定律 维持刚体转动状态靠的是转动惯性，那么如何改变转动状态呢？上一章讲到改变物体平动状态需要力的作用，力的作用能改变刚体的转动状态吗？ 例如 ：门是以门轴为定轴转动的，力作用在门轴上或力的方向平行于门轴都是不行的，关键在于力的作用必须有垂直于轴的分量，且力的作用线与轴有一定的距离，满足上述条件的力，对门轴而言，就是对门轴的力矩。即力矩才能改变门的转动状态。 （1）力矩 ——可以改变刚体的转动状态