抛物线的定义

抛物线的定义 温宿二中 王蕊 一、教学目标 1.经历从具体情景中抽象出抛物线几何特征的过程; 2.掌握抛物线的几何图形，定义和标准方程; 3.进一步巩固圆锥曲线的研究方法，体会类比法，直接法，待定系数法和数形结合思想在数学中的应用; 4.感受抛物线的广泛应用和文化价值，体会学习数学的乐趣和数学美. 教学重点: 1.掌握抛物线的定义与相关概念; 2.掌握抛物线的标准方程; 教学难点:从抛物线的画法中抽象概括出抛物线的定义. 四、教学问题诊断 本节课的教学难点是从抛物线的画法中抽象概括出抛物线的定义.对教学难点的突破我采取的策略是: 1.类比学习椭圆的过程和方法去学习抛物线. 2.鉴于抛物线的画法比较复杂，用教具难以操作，因此我运用多媒体来演示画抛物线的过程.另外，画法中所隐含的抛物线的本质特征不是特别明显，对学生的抽象能力要求比较高，为此，我设置了两个问题，为学生发现抛物线的几何特征作铺垫. 3.学生在抽象概括抛物线定义时，容易忽略抛物线定义中“点不在直线上”这个条件.为了加深学生对这个条件的理解，教学中通过师生互动来引导学生逐步完善抛物线的定义，并以小组合作交流的方式讨论这个条件的必要性. 另外，在建系、推导抛物线标准方程的过程中，依据学生的认知习惯，同时激励学生主动学习，我采取了以下策略: 1.坐标系的建立——教师不作引导，由学生自己选择建系方式，再将学生的结果用投影仪展示出来，并进行归纳. 2.求抛物线的方程——全班学生分工，求出不同建系方式下的抛物线方程.通过比较，明确第2种建系方式所得的抛物线方程最简洁，并把这个方程叫做抛物线的标准方程. 3.明确抛物线标准方程的四种形式——给出问题4，先让学生独立思考，再组织学生以小组交流的方式进行讨论.以加深学生对抛物线标准方程的理解. 五、教学过程 教学过程 说明 一、课堂导入 1.生活中的抛物线: (1)投篮时篮球的运行轨迹是抛物线; 2)南京秦淮河三山桥的桥拱的形状是抛物线; (3)卫星天线是根据抛物线的原理制造的. 2.数学中的抛物线: 一元二次函数的图像是一条抛物线. 提出问题:为什么一元二次函数的图像是一条抛物线, 通过生活中的抛物线使学生认识到学习抛物线的必要性. 通过问题引入引发学生的认知冲突，激发学生的学习欲望. 二、抛物线的定义 1.抛物线的画法 (1)介绍作图规则. (2)动画展示作图过程. 提出问题:笔尖所对应的点满足的几何关系是什么, (3)分析作图过程 提出问题:在作图过程中，直尺，三角板，笔尖，点F中，哪些没有动,哪些动了, 提出问题:在作图过程中，绳长，，，，中，哪些量没有变,哪些量变了, (4)结论 点满足的几何关系是:动点到定点F的距离等于它到直尺的距离. 2.抛物线的定义 问题1:你能给抛物线下个定义吗, 抛物线的定义:平面内与一个定点和一条定直线(不过)的距离相等的点的集合叫作抛物线. 问题2:为什么定点不能在定直线上,若点在直线上，则轨迹为过定点垂直于直线的直线. 3.抛物线的相关概念: 定点:抛物线的焦点.定直线:抛物线的准线. 设，焦点到准线的距离. 抛物线的对称轴与抛物线的交点:抛物线的顶点 抛物线的画法比较复杂，让学生自己画抛物线，操作起来很困难，学生很难完成.因此我运用多媒体信息技术来演示画抛物线的过程. 通过两个问题的设置，为学生从画法中发现抛物线的几何特征奠定基础. 加深学生对抛物线定义中的条件“不过”的理解. 这是教材的第一个思考交流，目的是对抛物线定义的应用，同时也给出了课堂导入时所给问题的一种解决方法. 三、抛物线的方程 .方程推导 1)建 请同学们将抛物线画在草稿纸上，自己建立平面直角坐标系. (2)推导 问题3:以下三种建系方式，你认为哪种建系方式最好,请说明理由 提示:设，先将抛物线的焦点坐标和准线方程求出来，再来求抛物线的方程. 三种建系方式下的抛物线方程分别为:，，.不难得出，第二种建系方式下的抛物线方程最简洁，因此第二种建系方式最好. :焦点到准线的距离. 3.思考交流 问题4:你能否分别写出开口向左、向上、向下，顶点在原点，焦点在坐标轴上的抛物线的标准方程, 具体要求:以顶点在原点，焦点在轴正半轴上的抛物线的标准方程为基础，分别写出开口向左、向上、向下，顶点在原点，焦点在坐标轴上的抛物线的标准方程，不要求写过程.学生先独立思考，再小组合作交流. 教材只给出了一种建系方式，但学生在建系时可能不只一种.为了体现学生的主体地位，这里先让学生建系，教师再汇总学生的结果，并用投影仪展示. 通过问题3，让学生分工求出三种建系下的方程，为标准方程的理解奠定基础. 部学生在推导方程时存在困难，故给出提示. 这是教材的第二个思考交流，目的是让学生认识到抛物线的标准方程一共有四种形式，加深学生对抛物线标准方程的理解. 大部分学生解决问题4所用的方法都是图像变换法. 图像 抛物线的标准方程是指顶点放在坐标原点，焦点放在坐标轴上的抛物线的方程，一共有四种形式. 4.例题分析 例1.求出下列抛物线的焦点坐标和准线方程. (1);(2); 2.根据下列条件求抛物线的标准方程. (1)焦点:;(2)准线:. 课本中的例题只涉及了抛物线标准方程的一种形式，无法达到巩固知识的目的.因此，我更换了教材的例题，例1是由方程求图像，例2是由图像求方程.并且两个例题中的4个小题正好包含了抛物线标准方程的四种形式. 四、课堂小结 问题5:这节课你学到了什么,请谈谈你的收获. 1.知识内容:(1)抛物线的定义: (2)抛物线的标准方程: ?焦点在轴正半轴:; ?焦点在轴负半轴:; ?焦点在轴正半轴:; ?焦点在轴负半轴:. 2.学习方法与过程:类比椭圆的研究方法与过程. 3.学习中用到的数学思想和方法:(1)直接法;(2)待定系数法;(3)类比的思维方法;(4)数形结合思想. 培养学生梳理知识点，知识内容，建构知识体系的能力. 五、课后延伸 1.课后作业 书，P76，A组，2题，3题，4题. 2.课后思考 请你思考如何用抛物线的定义来一元二次函数的图像是一条抛物线, 3.课后延展 (1)抛物线型桥梁 通过图片展示南京秦淮河三山桥，湖北宜昌西陵长江大桥，宁波明州大桥这三座抛物线型桥梁. 提出问题:抛物线型拱桥有哪些特点,有哪些优点?在桥梁的设计上利用了抛物线的哪些特征, (2)卫星. 提出问题:我们知道卫星天线是根据抛物线原理来制造的.在制造卫星时利用了抛物线的哪些性质, 对此感兴趣或者学有余力的学生，可以在课后收集相关资料进行学习，并作进一步的探讨. 是对这节课所学方法的巩固和对初中所学相关内容的同化，也是为下节课作好铺垫. 感受抛物线的广泛应用和文化价值，激发学生学习数学的兴趣和研究问题的热情.