高等数学课件：极限运算法则

高等数学课件：极限运算法则 1.4 极限的运算法则 教学目的:掌握极限的四则运算法则，会求函数极限。 教学重点:极限的四则运算法则;极限计算。 教学难点:极限计算。 教学内容: 定理1.10 两个无穷小的和、差仍为无穷小。 xx,证明 设是时的无穷小，即，。 ,,(),()xxlim()0,x,lim()0,x,0xx,xx,00 0 ，, 0,xUx,(,),则，，时，有 ,,,0101 , ()x,,2 0 ，, 0,xUx,(,),，时，有 202 , ()x,,2 0,,,,,,min{,}xUx,(,),取，则时，不等式和同时成立。从()x,()x,,,12022 ,,而 ()()()()xxxx,,，,，,,,,,,22 这个性质可推广到有限多个的情形，有限多个无穷小的代数和仍为无穷小。但无穷多个 无穷小的和不一定是无穷小。 0 xx,Ux(),()xfx()fxx()(),,定理1.11 设是时的无穷小，在内有界，则是00xx,时的无穷小。 0 00 ,,0Ux()xUx,(,),证明 因fx()在内有界，故，，当时，。fxM(),，, 0M0101 0 xx,，, 0,xUx,(,),,()x又是时的无穷小，因此，，，时， ,,,00202 ,()x, ,M 0 ,,,,min{,}xUx,(,),取，则时，有 120 ,fxxM()(),,, ,,M xx,fxx()(),,即是时的无穷小。 0 推论 有限个无穷小的乘积仍为无穷小。 注意 无穷多个无穷小的乘积却不一定为无穷小。 1例1求。 xlimsinx,0x 11sin1,解 因，，根据定理1.11，。 x,lim0x,limsin0x,0x,0xx定理1.12 ，，则 lim()fxA,lim()gxB,xx,xx,00 (1)(为常数); ,,,lim[()()]lim[()]lim[()],,,,,,fxgxfxgxAB,,,,,xxxxxx,,,000 (2); lim[()()]lim()lim()fxgxfxgxAB,,,xxxxxx,,,000 fxA(),lim(3) ()。 B,0xx,0gxB() 性质(1)称为线性性质。 证明 因，，由定理1.9有 lim()fxA,lim()gxB,xx,xx,00 fxA(),，,，gxB(),，, xx,其中,,,是时的无穷小。则 0 [()()]()(),,,,,,,,fxgxAB,,,，, fxgxABAB()(),，，，,,,, xx,由定理 1.10,1.11知，,,,,,和AB,,,,，，都是时的无穷小，再根据定0 理1.9，(1)，(2)得证。 fx()111,lim,,fx()由于，根据(2)，只需证明即可。而 xx,0gxB()gxgx()() 11()Bgx,,,,,, gxBBgxBgx()()() 1下面证明有界。 Bgx() 00 xUx()xUx,()由于lim()gxB,()，所以，存在的某一去心邻域，时，B,00000xx,0 0B112gx(),xUx(),，于是，即在的某一去心邻域内有界。根据定002Bgx()2Bgx()B ,,11,limxx,理1.11，是时的无穷小，从而。因此， 0xx,0gxBBgx()() fxA(),lim ()。 B,0xx,0gxB() nn,1fxaxaxa(),，，，aaa,,,例 2 设，(为常数)，求。 lim()fx01n01nxx,0 nn,1解 lim()lim()fxaxaxa,，，，01nxxxx,,00 nn,1,，，，axaxa[lim][lim]lim01nxxxxxx,,,000 nn,1 ,，，，axaxa0010n ,fx()0 x,2例 3求 lim2x,2x,4 2解 ，所以不能用上面的运算法则，但分子、分母都有公因子，lim(4)0x,,x,2x,2 时，，因此，分子、分母消去公因子，于是 x,2x,,20x,2 x,2111. limlim,,,2xx,,22xxx,，，42lim(2)4x,2 ab,0 4 证明，为正整数时， 例mn,00 a,0, ,nm,b0mm,1,axaxa，，，,m01 0, limnm,,,nn,1x,,bxbxb，，，n01, , , ,,nm,, mm,1axaxa，，，01m证明 limnn,1x,,bxbxb，，，01n nm,时， aa1ma，，，mm,10maxaxa，，，xx01m ,nn,1bbbxbxb，，，n101nb，，，0mxx 11k,,注意到 正整数时，，于是有 lim(lim)0kk,,,,xxxx mm,1axaxa，，，01m limnn,1x,,bxbxb，，，01n aaaamm11，，，，，，lim()aa00mm,,xxxxx ,,lim,,xbbbbnn11，，，，，，lim()bb00mm,,xxxxx aaaamm11lim()limlimlim，，，，，，aa00mma,,,,,,,,xxxxxxxx0 ,,,bbbbbnn110lim()limlimlim，，，，，，bb00mm,,,,,,,,xxxxxxxx nm, 时， mm,1axaxa，，，01m limnn,1x,,bxbxb，，，01n aaaaaa00mm11，，，，，，lim(),,，,,，nmnmnnmnmn11,,xxxxxxx ,,lim,,xbbbbnn11，，，，，，lim()bb00nn,,xxxxx aaa0m1limlimlim，，，,,，nmnmn10,,,,,,xxxxxx ,,,lim0,,xbbbn10limlimlim，，，b0n,,,,,,xxxxx nm, 时， nn,1bxbxb，，，01n lim0,mm,1x,,axaxa，，，01m mm,1axaxa，，，01m根据无穷小与无穷大的关系，。 lim,,nn,1x,,bxbxb，，，01n a,0, ,nm,b0mm,1,axaxa，，，,m01综上所述， 。 0, limnm,,,nn,1x,,bxbxb，，，n01, , , ,,nm,,定理1.13 ，，则 limxa,limyb,nn,,,,nn ,,,(1)(为常数); lim()limlim,,,,,,xyxyab,,,,,nnnn,,,,,,nnn (2); lim()limlimxyxyab,,,nnnn,,,,,,nnn xanlim,(3) ()。 b,0n,,ybn yfx,[()],yfu,()ux,,()定理1.14 设函数lim()fuA,由与复合而成。，uu,0 o ,()xu,，,,0xUx,(,),lim(),xu,，且，时，。则lim[()]fxA,,。 00000xx,xx,00 ，,,0证明 由于lim()fuA,，则,,使当时，有 0,,,uu,,,,00uu,0 fuA(),,, ，,,0lim(),xu,又，所以对上述，，使当时，有 0,,,xx,,,00,xx,0 ,,()xu,,0 o ,,,,min(,),()xu,由已知，xUx,(,),时，。取，则时 0,,,xx,0,0000 ， 0(),,,,,xu0 从而有 。 fxA[()],,,, 这就证明了。 lim[()]fxA,,xx,0 复合函数的极限运算相当于作变量代换，即在定理1.14的条件下，有公式ux,,() 。 lim[()]lim()fxfuA,,,xxuu,,00 定理1.14' 设函数yfx,[()],由yfu,()与ux,,()复合而成。，lim()fuA,u,, 。则。 lim(),x,,lim[()]lim()fxfuA,,,xx,xxu,,,00 x,, 上述两个定理对的情形也成立。 作业: {}y4(设，数列有界，证明。 lim0x,lim0xy,nnnn,,,,nn 11，7(证明 函数在区间(0,1]内无界，但当时着个函数不是无穷大。 x,0fx()sin,xx 8.计算下列极限: 2sinsin1x,xx，，21111limlim(1); (3) ; (5) ，，，，; (6) lim(1)nx,1x,1n,,sin(1)x,x，1242n1lim。 ,,,n，，，k12,1k n22lim(1)(1)(1)，，,,，xxx9(设，计算。 x,1n,, 1fx()fx()10(证明:在自变量的同一变化过程中，若为无穷大，则是无穷小;若为fx() 1fx()0,无穷小，且，则是无穷大。 fx()